偏微分と常微分の違いを問われて、多くの人は「固定する変数の有無」と答える。

定義式を眺めば頷ける。

$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$

$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$

ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」の部分である。

しかし、その違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分と変わらないようにも見える。

実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その偏微分は常微分に一致する。

$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$

この疑問に答えるには、同じ関数に対し$$ \ppd{f}{x} $$$$ \neq $$$$ \ddd{f}{x} $$を示す必要がある。

その答えは「EMANの物理学/解析力学/全微分/偏微分と常微分の違い*1」でやっと見つかった。

*1 ページを開いて一番下の節

偏微分と常微分の違い

まず、準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次の全微分$$ df $$が次のように定義される。

$$ df = \ppd{f}{x} $$$$ dx $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ dy $$

ここで、$$ x $$$$ = $$$$ x(t) $$、$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$であれば、$$ f $$$$ = $$$$ f(x(t), y(t)) $$と書けて、$$ f $$は$$ t $$の関数ということになる。このため、$$ t $$による$$ f $$常微分が存在し、次のようになる。

$$ \ddd{f}{t} = \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$

恐らく、偏微分を急いで学ぶ人にとって、これが同じ関数$$ f $$に対して$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する初めて式のはず。そして、多くの人はここで混乱するはず。

ここまでは多くのテキストで述べられている。しかし、この式では、「分母」が$$ dt $$、$$ \pr x $$、$$ \pr y $$と異なっているため、まだ同じ微分とは言えない。これを揃えたのがEMANの物理学で登場する$$ f(x(t), y(t), t) $$という上手い関数である。

まず、$$ f(x, y, t) $$であるため、全微分は次のようになる。

$$ df = \ppd{f}{x} $$$$ dx $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ dy $$$$ + $$$$ \ppd{f}{t} $$$$ dt $$

次ぎに、$$ x $$$$ = $$$$ x(t) $$、$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$を適応すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数になるため、常微分が次のようになる。

$$ \ddd{f}{t} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{t} $$$$ \ddd{t}{t} $$

ここで、$$ \ddd{t}{t} $$$$ = $$$$ 1 $$であるため、次のようになる。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となる。

しかし、EMANの物理では話しがココまでだが、この式の意味を読み取ろうとすると、微分表記$$ \ppd{f}{t} $$の限界が見えてくる。

$$ \ppd{f}{t} $$の限界、その１

条件を少し変えて、$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。実は$$ x $$は$$ t $$と無関係で、$$ y $$だけが$$ t $$の関数だった、という話。

すると、$$ f(x, y, t) $$は変わらないので、次の全微分は変わらず成立する。

$$ \ddd{f}{t} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{t} $$$$ \ddd{t}{t} $$

しかし、今度は$$ y = y(t) $$を代入しても$$ f $$が$$ x $$と$$ t $$の関数にはなるが、$$ t $$だけの関数にはならない。このため、精々次のようにな偏微分しか存在しない。

$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

同様に、$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となる。

記号衝突である。

$$ \ppd{f}{t} $$の限界、その２

$$ f(x(t), y(t), t) $$の具体例を考えてみよう。

$$ f = 2x + 3y + 4t $$、　　$$ x = 5t $$、　　$$ y = 6t $$

まず、$$ f = 2x + 3y + 4t $$のため、$$ \ppd{f}{t} $$$$ = $$$$ 4 $$は間違いない。

次ぎに、$$ y = 6t $$を$$ 0 = -y + 6t $$に変形して$$ f $$の式に足せば$$ f = 2x + 2y + 10t $$が得られる。このため、$$ \ppd{f}{t} $$$$ = $$$$ 10 $$にもなれる。

つまり、$$ \ppd{f}{t} $$は不定値である。
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