偏微分と常微分の違いを問われて、多くの人は「固定する変数の有無」と答える。
定義式を眺めば頷ける。偏微分と常微分の違いは、定義式から「固定する変数の有無」というのがお墨付きの答えである。

$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$ $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$ $$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $$$$ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$

$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$ $$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$ $$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $$$$ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$

ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」の部分である。ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」である。
しかし、その違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分と変わらないようにも見える。

実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その偏微分は常微分に一致する。

しかし、その違いは「関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分のまま変わらない」ようにも見える。実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その場合の偏微分は常微分と一致する。

$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$ $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$ $$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $$$$ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$ $$ = $$$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$

この疑問に答えるには、同じ関数に対し$$ \ppd{f}{x} $$$$ \neq $$$$ \ddd{f}{x} $$を示す必要がある。

その答えは「EMANの物理学/解析力学/全微分/偏微分と常微分の違い*1」でやっと見つかった。

このため、偏微分と常微分の違いを説明するには、同一の多変数関数に対し$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$を示す必要がある。
*1 ページを開いて一番下の節

偏微分と常微分の違い

まず、準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次の全微分$$ df $$が次のように定義される。準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定義される全微分$$ df $$について考える。

$$ df = \ppd{f}{x} $$$$ dx $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ dy $$ $$ \;df\; $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \;dx\; $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \;dy\; $$

ここで、$$ x $$$$ = $$$$ x(t) $$、$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$であれば、$$ f $$$$ = $$$$ f(x(t), y(t)) $$と書けて、$$ f $$は$$ t $$の関数ということになる。このため、$$ t $$による$$ f $$常微分が存在し、次のようになる。ここで、$$ x $$$$ = $$$$ x(t) $$、$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$であれば、$$ f $$$$ = $$$$ f(x(t), y(t)) $$と、$$ t $$の関数に書き換えられる。このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在し、次のようになる。

$$ \ddd{f}{t} = \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$ $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$ ;.　*2

恐らく、偏微分を急いで学ぶ人にとって、これが同じ関数$$ f $$に対して$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する初めて式のはず。そして、多くの人はここで混乱するはず。
ここまでは多くのテキストで述べられている。しかし、この式では、「分母」が$$ dt $$、$$ \pr x $$、$$ \pr y $$と異なっているため、まだ同じ微分とは言えない。これを揃えたのがEMANの物理学で登場する$$ f(x(t), y(t), t) $$という上手い関数である。これを利用し、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$を揃えるには、$$ f(x(t), y(t), t) $$*3のような$$ t $$を含む関数を考える必要がある。
まず、$$ f(x, y, t) $$であるため、全微分は次のようになる。まず、$$ f(x, y, t) $$から、$$ f $$の全微分は次のよう書ける。

$$ df = \ppd{f}{x} $$$$ dx $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ dy $$$$ + $$$$ \ppd{f}{t} $$$$ dt $$ $$ \;df\; $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \;dx\; $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \;dy\; $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ \;dt\; $$

次ぎに、$$ x $$$$ = $$$$ x(t) $$、$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$を適応すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数になるため、常微分が次のようになる。次ぎに、$$ x $$$$ = $$$$ x(t) $$、$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$を代入すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数に化ける*4。このため、常微分が存在し、式の両辺を$$ dt $$で割ることで$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$を作り出せる。

$$ \ddd{f}{t} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{t} $$$$ \ddd{t}{t} $$ $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$ $$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$ $$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$ $$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

ここで、$$ \ddd{t}{t} $$$$ = $$$$ 1 $$であるため、次のようになる。$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず、「偏微分と常微分は違う」という結論に至る。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$ $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$

$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となる。
しかし、EMANの物理では話しがココまでだが、この式の意味を読み取ろうとすると、微分表記$$ \ppd{f}{t} $$の限界が見えてくる。
*2 偏微分を駆け足で学ぶ人には、恐らくこれが同一の関数に対して$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する最初の式で、混乱が始まりである。
*3 この関数は、EMANの物理学/解析力学/全微分で偏微分と常微分の違いを説明するのに用いられている。ページ自体は全微分の話で、偏微分と常微分の違いはその一番最後の節で述べられている。
*4 この時点で、$$ f $$は、$$ x $$と$$ y $$に関する２変数関数でありながら、$$ t $$に関する１変数関数にもなっている。変数の数が絶対的でなくなっている点に注意。

偏微分と偏微分の違い

偏微分と常微分の違いは前節の通りである。しかし、これは一見良さそうだが、式の意味を読み取ろうとすると偏微分の矛盾が見えてくる*5。
例えば、$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数に化けられるなら、冒頭で述べたように１変数関数を多変数関数の特例と見なせて、常微分と等価な青い偏微分が存在することになる。
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$　　（$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数）
これに、前節で得た$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$を合わせると、次の矛盾が得られる。
$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
*5 注意：飽くまでも偏微分の矛盾である。EMANの物理の説明自体は、現在使われている偏微分の説明としては正しい。

$$ \ppd{f}{t} $$の限界、その１

色んな$$ \ppd{f}{t} $$

条件を少し変えて、$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。実は$$ x $$は$$ t $$と無関係で、$$ y $$だけが$$ t $$の関数だった、という話。条件を少し変えて、中途半端な$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。「$$ x(t) $$と書いていたが、実は$$ x $$に$$ t $$が含まれて無く、$$ y $$だけに$$ t $$が含まれていた」という話。
すると、$$ f(x, y, t) $$は変わらないので、次の全微分は変わらず成立する。すると、$$ f(x, y, t) $$であることに変わらないため、次の全微分も変わらず成立する。

$$ \ddd{f}{t} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{t} $$$$ \ddd{t}{t} $$ $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$ $$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$ $$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$ $$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

しかし、今度は$$ y = y(t) $$を代入しても$$ f $$が$$ x $$と$$ t $$の関数にはなるが、$$ t $$だけの関数にはならない。このため、精々次のようにな偏微分しか存在しない。しかし、今度は$$ f $$に$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$を代入しても$$ t $$だけの関数にはならない。代わりに$$ f $$は$$ x $$と$$ t $$に関する２変数関数になるため、次の全微分が成り立つ。

$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$ $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$ $$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$ $$ + $$$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$

同様に、$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となる。問題は、この紫の偏微分は赤い偏微分と別物で、両式を比較すると以下の関係が得られる。
;.　　　　　　　　$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
それも、$$ f $$が$$ y $$の影響を、$$ y $$が$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$の関係を持つ。
記号衝突である。同様に代入の加減をすれば、赤、紫、青以外にも、色んな偏微分を作ることができる。

$$ \ppd{f}{t} $$の限界、その２

直感的な説明：偏微分の数え方

$$ f(x(t), y(t), t) $$の具体例を考えてみよう。以下では、偏微分の矛盾を$$ f $$$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{2y} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{3t} $$という具体例を用いて、直観的に纏めてみる。
まず、$$ f $$に$$ x $$$$ = $$$$ 2t $$と$$ y $$$$ = $$$$ 3t $$を少しずつ代入すると次の変形が得られる。

$$ f = 2x + 3y + 4t $$、　　$$ x = 5t $$、　　$$ y = 6t $$ $$ f $$

$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{2y} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{3t} $$
与式
$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{1y} $$$$ + $$$$ \iro[pk]{6t} $$
$$ y $$$$ = $$$$ 3t $$を用いて、１つの$$ y $$を$$ 3t $$に変換
$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ \phantom+ $$$$ \phantom{1y} $$$$ \phantom+ $$$$ \iro[mr]{9t} $$
もう１つの$$ y $$も$$ 3t $$に変換
$$ = $$$$ \phantom{1x}\!\!\! $$$$ \phantom+ $$$$ \phantom{1y} $$$$ \phantom+ $$$$ \iro[ao]{11t} $$
$$ x $$$$ = $$$$ 2t $$を用いて、$$ x $$を$$ 2t $$に変換
まず、$$ f = 2x + 3y + 4t $$のため、$$ \ppd{f}{t} $$$$ = $$$$ 4 $$は間違いない。それぞれの式から次の偏微分が考えられる：
$$ f $$
$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{2y} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{3t} $$
⇒ $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[ak]{3} $$
$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{1y} $$$$ + $$$$ \iro[pk]{6t} $$
⇒ $$ \iro[pk]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[pk]{6} $$
$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ \phantom+ $$$$ \phantom{1y} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{9t} $$
⇒ $$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[mr]{9} $$
$$ = $$$$ \phantom{1x} $$$$ \phantom+ $$$$ \phantom{1y}\!\!\! $$$$ \phantom+ $$$$ \iro[ao]{11t} $$
⇒ $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{11} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
次ぎに、$$ y = 6t $$を$$ 0 = -y + 6t $$に変形して$$ f $$の式に足せば$$ f = 2x + 2y + 10t $$が得られる。このため、$$ \ppd{f}{t} $$$$ = $$$$ 10 $$にもなれる。その気になれば無数の偏微分を作れる。例えば、こんな色のも作れる。
$$ f $$
$$ = $$$$ \iro[ao]{-1x} $$$$ \phantom+\!\!\!\! $$$$ \phantom{1y}\!\!\! $$$$ + $$$$ \iro[mz]{13t} $$
⇒ $$ \iro[mz]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[mz]{13} $$
つまり、$$ \ppd{f}{t} $$は不定値である。纏めると：
  1. 式変形により$$ t $$の数を自由に変えられる
  2. それぞれの数に対して特色のある偏微分を作れる
  3. $$ t $$以外に文字が無いときの偏微分が常微分である
これが凌宮数学の視点から見た偏微分と常微分である。

まとめ・つなぎ

多くの場合、赤い偏微分と青い偏微分しか使われないため、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$で区別できる。ただ、他の偏微分に気づいた人から混乱が始まる。
この混乱を無くすには、色んな偏微分を厳密に書き分け、正しく整理する必要がある。そうすれば、自ずと偏微分と常微分を一貫した表記で書けるようになる。また、書き表せないものを書けるようになったとき、新しい発想ができるようになるかもしれない。
実際、熱力学では赤と青の他、紫に相当する偏微分も登場する。そのため、$$ \ppd{f}{t} $$よりも強力な偏微分表記が用いられている。それでも全ての偏微分を書き分けるには不十分であるが、次回は、その強力な表記を通じて偏微分の意味について確認しておく。
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