偏微分と常微分の違いのバックアップ(No.4)

偏微分と常微分の違いを問われて、多くの人は「固定する変数の有無」と答える。

定義式を眺めば頷ける。

$\iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}}$ $$ = $$ $\iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}}$

$\iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}}$ $$ = $$ $\iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}}$

ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「 $\iro[ak]{, y}$ 」の部分である。

しかし、その違いは関数 $$ f $$ の違いで、微分操作自体は青い部分と変わらないようにも見える。

実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その偏微分は常微分に一致する。

$\iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}}$ $$ = $$ $\iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}}$ $$ = $$ $\iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}}$

この疑問に答えるには、同じ関数に対し $\ppd{f}{x}$ $\neq$ $\ddd{f}{x}$ を示す必要がある。

その答えは「EMANの物理学/解析力学/全微分/偏微分と常微分の違い *1」でやっと見つかった。

*1 ページを開いて一番下の節

偏微分と常微分の違い

まず、準備として、２変数関数 $$ f(x,y) $$ について、次の全微分 $$ df $$ が次のように定義される。

$df = \ppd{f}{x}$ $$ dx $$ $$ + $$ $\ppd{f}{y}$ $$ dy $$

ここで、 $$ x $$ $$ = $$ $$ x(t) $$ 、 $$ y $$ $$ = $$ $$ y(t) $$ であれば、 $$ f $$ $$ = $$ $$ f(x(t), y(t)) $$ と書けて、 $$ f $$ は $$ t $$ の関数ということになる。このため、 $$ t $$ による $$ f $$ 常微分が存在し、次のようになる。

$\ddd{f}{t} = \ppd{f}{x}$ $\ddd{x}{t}$ $$ + $$ $\ppd{f}{y}$ $\ddd{y}{t}$

恐らく、偏微分を急いで学ぶ人にとって、これが同じ関数 $$ f $$ に対して $$ df $$ と $\pr f$ が並存する初めて式のはず。そして、多くの人はここで混乱するはず。

ここまでは多くのテキストで述べられている。しかし、この式では、「分母」が $$ dt $$ 、 $\pr x$ 、 $\pr y$ と異なっているため、まだ同じ微分とは言えない。これを揃えたのがEMANの物理学で登場する $$ f(x(t), y(t), t) $$ という上手い関数である。

まず、 $$ f(x, y, t) $$ であるため、全微分は次のようになる。

$df = \ppd{f}{x}$ $$ dx $$ $$ + $$ $\ppd{f}{y}$ $$ dy $$ $$ + $$ $\ppd{f}{t}$ $$ dt $$

次ぎに、 $$ x $$ $$ = $$ $$ x(t) $$ 、 $$ y $$ $$ = $$ $$ y(t) $$ を適応すれば、 $$ f $$ は $$ t $$ の関数になるため、常微分が次のようになる。

$\ddd{f}{t}$ $$ = $$ $\ppd{f}{x}$ $\ddd{x}{t}$ $$ + $$ $\ppd{f}{y}$ $\ddd{y}{t}$ $$ + $$ $\ppd{f}{t}$ $\ddd{t}{t}$

ここで、 $\ddd{t}{t}$ $$ = $$ $$ 1 $$ であるため、次のようになる。

$\iro[ao]{\ddd{f}{t}}$ $$ = $$ $\ppd{f}{x}$ $\ddd{x}{t}$ $$ + $$ $\ppd{f}{y}$ $\ddd{y}{t}$ $$ + $$ $\iro[ak]{\ppd{f}{t}}$

$$ f $$ が $$ x $$ と $$ y $$ と $$ t $$ の影響を受ける限り、どの項も消えず $\iro[ao]{\ddd{f}{t}}$ $\neq$ $\iro[ak]{\ppd{f}{t}}$ となる。

EMANの物理では話しがココで終りである。しかし、さらに一歩踏み込んで式の意味を読み取ろうとすると、微分表記 $\ppd{f}{t}$ の限界が見えてくる。

$\ppd{f}{t}$ の限界、その１

条件を少し変えて、 $$ f(x, y(t), t) $$ について考えてみよう。実は $$ x $$ は $$ t $$ と無関係で、 $$ y $$ だけが $$ t $$ の関数だった、という話。

すると、 $$ f(x, y, t) $$ は変わらないので、次の全微分は変わらず成立する。

$\ddd{f}{t}$ $$ = $$ $\ppd{f}{x}$ $\ddd{x}{t}$ $$ + $$ $\ppd{f}{y}$ $\ddd{y}{t}$ $$ + $$ $\ppd{f}{t}$ $\ddd{t}{t}$

しかし、今度は $$ y = y(t) $$ を代入しても $$ f $$ が $$ x $$ と $$ t $$ の関数にはなるが、 $$ t $$ だけの関数にはならない。このため、精々次のようにな偏微分しか存在しない。

$\iro[ao]{\ppd{f}{t}}$ $$ = $$ $\ppd{f}{y}$ $\ddd{y}{t}$ $$ + $$ $\iro[ak]{\ppd{f}{t}}$

同様に、 $$ f $$ が $$ x $$ と $$ y $$ と $$ t $$ の影響を受ける限り、どの項も消えず $\iro[ao]{\ppd{f}{t}}$ $\neq$ $\iro[ak]{\ppd{f}{t}}$ となる。

$\ppd{f}{t}$ の限界、その２

$$ f(x(t), y(t), t) $$ の具体例を考えてみよう。

$$ f = 1x + 2y + 3t $$ 、　　 $$ x = 2t $$ 、　　 $$ y = 3t $$

まず、 $$ f = 1x + 2y + 3t $$ のため、 $\ppd{f}{t}$ $$ = $$ $$ 3 $$ は間違いない。

次ぎに、 $$ y = 3t $$ を $$ 0 = -y + 3t $$ に変形して $$ f $$ の式に足せば $$ f = 1x + 1y + 6t $$ が得られる。このため、 $\ppd{f}{t}$ $$ = $$ $$ 6 $$ にもなれる。

偏微分の範囲

以下では、これまでの問題を直観的に説明してみる。

まず、 $f = \iro[md]{1x} + \iro[ao]{2y} + \iro[ak]{3t}$ を $f = \iro[md]{x} + \iro[ao]{y} + \iro[ao]{y} + \iro[ak]{t} + \iro[ak]{t} + \iro[ak]{t}$ に変形する。

すると、自ずと $df = \iro[md]{dx} + \iro[ao]{dy} + \iro[ao]{dy} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt}$ が得られる。

偏微分 $\ppd{f}{t}$ $$ = $$ $$ 3 $$ というのは、 $$ dt $$ の個数を表す。

$$ f $$ に $$ x = 2t $$ と $$ y = 3t $$ を代入すると、 $$ f = 11t $$ となる。

全微分は $df = \iro[md]{dt} + \iro[md]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt}$ 。

常微分 $\ddd{f}{t}$ $$ = $$ $$ 11 $$ は全ての $$ dt $$ の個数を表す。

次ぎに、限界その１では $$ y = 3t $$ のみを適応して、 $$ f = x + 9t $$ となる。

全微分は $df = \iro[md]{dx} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt}$ 。