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/偏微分と常微分の違い
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偏微分と常微分の違いを問われて、多くの人は「固定する変数の有無」と答える。

定義式を眺めば頷ける。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$
#ceq(end)
ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」の部分である。

しかし、その違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分と変わらないようにも見える。
;:実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その偏微分は常微分に一致する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $ = $ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
#ceq(end)

この疑問に答えるには、同じ関数に対し$$ \ppd{f}{x} $ \neq $ \ddd{f}{x} $$を示す必要がある。
;:その答えは「[[EMANの物理学/解析力学/全微分/偏微分と常微分の違い>http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/total_dif.html]]((ページを開いて一番下の節))」でやっと見つかった。

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* 偏微分と常微分の違い [#ub89104e]

まず、準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次の全微分$$ df $$が次のように定義される。
#ceq(e)
    $$ df = \ppd{f}{x} $ dx $ + $ \ppd{f}{y} $ dy $$
#ceq(end)
ここで、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$であれば、$$ f $ = $ f(x(t), y(t)) $$と書けて、$$ f $$は$$ t $$の関数ということになる。
このため、$$ t $$による$$ f $$常微分が存在し、次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \ddd{f}{t} = \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
#ceq(end)
恐らく、偏微分を急いで学ぶ人にとって、これが同じ関数$$ f $$に対して$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する初めて式のはず。
そして、多くの人はここで混乱するはず。

ここまでは多くのテキストで述べられている。
しかし、この式では、「分母」が$$ dt $$、$$ \pr x $$、$$ \pr y $$と異なっているため、まだ同じ微分とは言えない。
これを揃えたのがEMANの物理学で登場する$$ f(x(t), y(t), t) $$という上手い関数である。

まず、$$ f(x, y, t) $$であるため、全微分は次のようになる。
#ceq(e)
    $$ df = \ppd{f}{x} $ dx $ + $ \ppd{f}{y} $ dy $ + $ \ppd{f}{t} $ dt $$
#ceq(end)
次ぎに、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$を適応すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数になるため、常微分が次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \ddd{f}{t} $ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $ + $ \ppd{f}{t} $ \ddd{t}{t} $$
#ceq(end)
ここで、$$ \ddd{t}{t} $ = $ 1 $$であるため、次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となる。

しかし、EMANの物理では話しがココまでだが、この式の意味を読み取ろうとすると、微分表記$$ \ppd{f}{t} $$の限界が見えてくる。
EMANの物理では話しがココで終りである。
しかし、さらに一歩踏み込んで式の意味を読み取ろうとすると、微分表記$$ \ppd{f}{t} $$の限界が見えてくる。

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* $$ \ppd{f}{t} $$の限界、その１ [#lc82bd96]

条件を少し変えて、$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。
実は$$ x $$は$$ t $$と無関係で、$$ y $$だけが$$ t $$の関数だった、という話。

すると、$$ f(x, y, t) $$は変わらないので、次の全微分は変わらず成立する。
#ceq(e)
    $$ \ddd{f}{t} $ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $ + $ \ppd{f}{t} $ \ddd{t}{t} $$
#ceq(end)
しかし、今度は$$ y = y(t) $$を代入しても$$ f $$が$$ x $$と$$ t $$の関数にはなるが、$$ t $$だけの関数にはならない。
このため、精々次のようにな偏微分しか存在しない。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
同様に、$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となる。

記号衝突である。

* $$ \ppd{f}{t} $$の限界、その２ [#lc82bd96]

$$ f(x(t), y(t), t) $$の具体例を考えてみよう。
#ceq(e)
    $$ f = 2x + 3y + 4t $$、　　$$ x = 5t $$、　　$$ y = 6t $$    
    $$ f = 1x + 2y + 3t $$、　　$$ x = 2t $$、　　$$ y = 3t $$    
#ceq(end)

まず、$$ f = 2x + 3y + 4t $$のため、$$ \ppd{f}{t} $ = $ 4 $$は間違いない。
まず、$$ f = 1x + 2y + 3t $$のため、$$ \ppd{f}{t} $ = $ 3 $$は間違いない。

次ぎに、$$ y = 6t $$を$$ 0 = -y + 6t $$に変形して$$ f $$の式に足せば$$ f = 2x + 2y + 10t $$が得られる。
このため、$$ \ppd{f}{t} $ = $ 10 $$にもなれる。
次ぎに、$$ y = 3t $$を$$ 0 = -y + 3t $$に変形して$$ f $$の式に足せば$$ f = 1x + 1y + 6t $$が得られる。
このため、$$ \ppd{f}{t} $ = $ 6 $$にもなれる。

つまり、$$ \ppd{f}{t} $$は不定値である。

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* 偏微分の範囲 [#kdd3351c]

以下では、これまでの問題を直観的に説明してみる。

;;まず、$$ f = \iro[md]{1x} + \iro[ao]{2y} + \iro[ak]{3t} $$を$$ f = \iro[md]{x} + \iro[ao]{y} + \iro[ao]{y} + \iro[ak]{t} + \iro[ak]{t} + \iro[ak]{t} $$に変形する。
;:すると、自ずと$$ df = \iro[md]{dx} + \iro[ao]{dy} + \iro[ao]{dy} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} $$が得られる。
;:偏微分$$ \ppd{f}{t} $ = $ 3 $$というのは、$$ dt $$の個数を表す。

;;$$ f $$に$$ x = 2t $$と$$ y = 3t $$を代入すると、$$ f = 11t $$となる。
;:全微分は$$ df = \iro[md]{dt} + \iro[md]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} $$。
;:常微分$$ \ddd{f}{t} $ = $ 11 $$は全ての$$ dt $$の個数を表す。

;;次ぎに、限界その１では$$ y = 3t $$のみを適応して、$$ f = x + 9t $$となる。
;:全微分は$$ df = \iro[md]{dx} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} $$。
;:登場した青い偏微分は$$ \iro[ao]{dy} $$と$$ \iro[ao]{dt} $$の分を数えた$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ 9 $$である。
;:対して、赤い偏微分は$$ \iro[ak]{dt} $$の分のみを数えた$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ 3 $$である。

;;続けて、限界その２では１つの$$ y $$だけを$$ 3t $$に変換して$$ f = x + y + 6t $$を作った。
;:全微分は$$ df = \iro[md]{dx} + \iro[ao]{dy} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ao]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} + \iro[ak]{dt} $$。
;:登場した偏微分は変換された$$ \iro[ao]{dy} $$と$$ \iro[ao]{dt} $$の分を数えた$$ \ppd{f}{t} $ = $ 6 $$である。

以上を図に纏めると次のようになる：

【編集中：$$ dt $$を数える図】
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