/偏微分と常微分の違い
%indent
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偏微分と常微分の違いを問われて、多くの人は「固定する変数の有無」と答える。
;:これは定義式を眺めば頷ける。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$
#ceq(end)
ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」である。

しかし、
「その違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分のまま変わらない」というようにも見える。
;:実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その場合の偏微分と常微分は一致する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
#ceq(end)

この疑問に答えるには、同じ関数に対し$$ \ppd{f}{x} $ \neq $ \ddd{f}{x} $$を示す必要がある。

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* 偏微分と常微分の違い [#ub89104e]

準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定義される全微分$$ df $$について考える。
#ceq(e)
    $$ df $ = $ \ppd{f}{x} $ dx $ + $ \ppd{f}{y} $ dy $$
#ceq(end)
ここで、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$であれば、$$ f $ = $ f(x(t), y(t)) $$と、$$ t $$の関数に書き換えられる。
このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在し、次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \ddd{f}{t} $ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
#ceq(end)
恐らく、偏微分を急いで学ぶ人にとって、これが同じ関数$$ f $$に対する$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する最初の式で、ここから混乱が始まる。

ここまでは多くのテキストで述べられている。
しかし、まだ$$ \ddd{f}{t} $$と$$ \ppd{f}{t} $$が同時に現れてない。
これらを揃えるには、$$ f(x(t), y(t), t) $$
((この関数は、[[EMANの物理学/解析力学/全微分>http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/total_dif.html]]で偏微分と常微分の違いを説明するのに用いられている。ページ自体は全微分の話である。偏微分と常微分の違いはその一番最後の節で述べられている。))
のような$$ t $$を含ませた関数を考える必要がある。

$$ f(x, y, t) $$から、$$ f $$の全微分は次のようになる。
#ceq(e)
    $$ df $ = $ \ppd{f}{x} $ dx $ + $ \ppd{f}{y} $ dy $ + $ \ppd{f}{t} $ dt $$
#ceq(end)
次ぎに、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$を適応すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数に化ける
((この時点で、$$ f $$は、$$ x $$と$$ y $$に関する２変数関数でありながら、$$ t $$に関する１変数関数にもなっている。変数の数が絶対的でなくなっている点に注意。))。
このため、常微分が存在し、次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ \ddd{t}{t} $$
#ceq(end)
ここで、$$ \ddd{t}{t} $ = $ 1 $$であるため、次の式が得られる。
#ceq(e)
    $$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず$$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となる。

EMANの物理では話しが終りであるが、
さらに一歩踏み込んで式の意味を読み取ろうとすると、微分表記$$ \ppd{f}{t} $$の限界が見えてくる。

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* $$ \ppd{f}{t} $$の限界 [#dea0c3af]

条件を少し変えて、$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。
実は$$ x $$は$$ t $$と無関係で、$$ y $$だけが$$ t $$の関数だった、という話。

すると、$$ f(x, y, t) $$は変わらないので、次の全微分は変わらず成立する。
#ceq(e)
    $$ df $ = $ \ppd{f}{x} $ dx $ + $ \ppd{f}{y} $ dy $ + $ \ppd{f}{t} $ dt $$
#ceq(end)
しかし、
今度は$$ y $ = $ y(t) $$を代入しても$$ f $$が$$ x $$と$$ t $$の関数にはなるが、
$$ t $$だけの関数にはならない。
このため、精々次のようにな偏微分しか作れない。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
同様に、$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となる。

//** その２
//
//$$ f(x(t), y(t), t) $$の具体例を考えてみよう。
//#ceq(e)
//    $$ f $ = $ 1x $ + $ 2y $ + $ 3t $$、　　$$ x $ = $ 2t $$、　　$$ y $ = $ 3t $$    
//#ceq(end)

//まず、$$ f $ = $ 1x $ + $ 2y $ + $ 3t $$のため、$$ \ppd{f}{t} $ = $ 3 $$は間違いない。

//次ぎに、$$ y = 3t $$を$$ 0 = -y + 3t $$に変形して$$ f $$の式に足せば$$ f = 1x + 1y + 6t $$が得られる。
//このため、$$ \ppd{f}{t} $ = $ 6 $$にもなれる。

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* 偏微分の範囲 [#kdd3351c]

以下では、これまでの問題を直観的に説明してみる。

;;まず、$$ f $ = $ \iro[md]{1x} $ + $ \iro[ao]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$を
$$ f $$
$$ = $ \iro[md]{x} $$
$$ + $ \iro[ao]{y} $ + $ \iro[ao]{y} $$
$$ + $ \iro[ak]{t} $ + $ \iro[ak]{t} + \iro[ak]{t} $$に変形する。
;:すると、自ずと
$$ df $$
$$ = $ \iro[md]{dx} $$
$$ + $ \iro[ao]{dy} $ + $ \iro[ao]{dy} $$
$$ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $$
$$ + $ \iro[ak]{dt} $$が得られる。
;:偏微分$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ 3 $$というのは、$$ \iro[ak]{dt} $$の個数を意味する。

;;$$ f $$に$$ x $ = $ 2t $$と$$ y $ = $ 3t $$を代入すると、$$ f $ = $ 11t $$となる。
;:全微分は$$ df $$
$$ = $ \iro[md]{dt} $ + $ \iro[md]{dt} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $$。
;:常微分$$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $ = $ 11 $$は
$$ \iro[md]{dx} $$、$$ \iro[ao]{dy} $$、$$ \iro[ak]{dt} $$に含まれる全ての$$ dt $$の個数を表す。

;;次ぎに、限界の話では$$ y $ = $ 3t $$のみを適応し、$$ f $ = $ x $ + $ 9t $$作った。
;:全微分は$$ df $$
$$ = $ \iro[md]{dx} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $$。
;:登場した青い偏微分は
$$ \iro[ao]{dy} $$と$$ \iro[ak]{dt} $$の分を数えた$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ 9 $$である。
;:対して、赤い偏微分は$$ \iro[ak]{dt} $$の分のみを数えた$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ 3 $$である。

;;ここで、１つの$$ y $$だけを$$ 3t $$に変換して、$$ f $ = $ x $ + $ y $ + $ 6t $$を作っることもできる。
;:この場合の全微分は$$ df $$
$$ = $ \iro[md]{dx} $$
$$ + $ \iro[ao]{dy} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $$になる。
;:偏微分は変換した１つの$$ \iro[ao]{dy} $$と$$ \iro[ak]{dt} $$の分を数えた$$ \ppd{f}{t} $ = $ 6 $$である。

以上を図に纏めると次のようになる：

【編集中：$$ dt $$を数える図】
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