• 2013.0101.0329 暫定原稿

    $$ F $$を$$ x $$で偏微分

一般に１変数関数$$ F(x) $$の微分と言えば$$ \ddd{F}{x} $$である。これが多変数関数$$ G(x,y) $$となると、偏微分$$ \ppd{G}{x} $$と$$ \ppd{G}{y} $$、そして、全微分$$ dG $$が登場する*1。問題は、この$$ d $$と$$ \partial $$の使い分けが微分を難しくする原因の一つである。

教科書的に纏めると、次のようになる：

名称被微分関数微分表記定義例
常微分１変数：$$ F(x) $$$$ \ddd{F}{x} $$$$ \lim_{\varDelta x \to 0} \ffd{F(x + \varDelta x) - F(x)}{\varDelta x} $$
偏微分多変数：$$ F(x,y) $$$$ \ppd{F}{x} $$$$ \lim_{\varDelta x \to 0} \ffd{F(x + \varDelta x, y) - F(x, y)}{\varDelta x} $$
全微分１変数：$$ F(x) $$$$ dF $$$$ \ddd{F}{x} dx $$
多変数：$$ F(x,y) $$$$ \ppd{F}{x} dx + \ppd{F}{y} dy $$

まず、多変数関数の各種微分に対し、１変数の微分を特に常微分と呼ぶ。定義からも、偏微分が常微分の拡張で、全微分は別の概念ということが分かる。

次に、１変数関数を２変数関数の特殊例と見なした場合、１変数関数に限り$$ \ddd{F}{x} $$$$ = $$$$ \ppd{F}{x} $$が成り立つ。このため、常微分を$$ \partial $$で書くと恐らく注意される程度で済むだろう。しかし、偏微分に$$ d $$、全微分に$$ \partial $$を使うのは問答無用のバツになる。

自分の経験上、学生が混乱し始めるのは次の$$ F(x(t), y(t)) $$の連鎖則と出遭うときである。

$$ \ddd{F}{t} $$$$ = $$$$ \ppd{F}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{F}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$

この式がエグいのは次の２点である。

  1. ２変数関数でも$$ dF $$と$$ \partial F $$が、１変数関数でも$$ dx $$と$$ \partial x $$、$$ dy $$と$$ \partial y $$が出揃っている。
  2. 全微分$$ dF $$、$$ dx $$、$$ dy $$を$$ dt $$で割って、常微分$$ \ddd{F}{t} $$、$$ \ddd{x}{t} $$、$$ \ddd{y}{t} $$を作っている。
*1 他に勾配$$ \:\nabla G $$なども登場するが、実質上偏微分の拡張であり、偏微分と全微分ほど紛らわしくないため、ここでは考えない。
    数学 一覧 検索 最新 バックアップ リンク元   ヘルプ   最終更新のRSS