- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
/ 偏微分
%indent
- 2013.0101.0329 暫定原稿
////////////////////////////////////////////////////////////////
* $$ F $$をベクトル$$ x $$で編微分 [#m9f119d2]
* $$ F $$を$$ x $$で偏微分 [#d759be2d]
;;一般に、１変数関数$$ F(x) $$の微分と言えば$$ \ddd{F}{x} $$である。
;:対して、多変数関数$$ G(x,y) $$になると、偏微分$$ \ppd{G}{x} $$と$$ \ppd{G}{y} $$、そして全微分$$ dG $$が登場する
((ベクトル解析では勾配$$ \:\nabla G $$も登場するが、実質上偏微分の拡張のため、偏微分と全微分ほど紛らわしくないため、ここでは考えない。))。
;:多変数関数の各種微分に対し、１変数の微分を特に常微分と呼ぶ。
;:問題は、この$$ d $$と$$ \partial $$の使い分けが微分を難しくする原因の一つである。
一般に１変数関数$$ F(x) $$の微分と言えば$$ \ddd{F}{x} $$である。
これが多変数関数$$ G(x,y) $$となると、偏微分$$ \ppd{G}{x} $$と$$ \ppd{G}{y} $$、そして、全微分$$ dG $$が登場する
((他に勾配$$ \:\nabla G $$なども登場するが、実質上偏微分の拡張であり、偏微分と全微分ほど紛らわしくないため、ここでは考えない。))。
問題は、この$$ d $$と$$ \partial $$の使い分けが微分を難しくする原因の一つである。
;;教科書的に纏めると、次のようになる：
| | | | |l:c
教科書的に纏めると、次のようになる：
| |l: | |l: |c
|名称 |被微分関数 |微分表記 |定義例 |
|常微分|１変数：$$ F(x) $$|$$ \ddd{F}{x} $$|$$ \lim_{\varDelta x \to 0} \ffd{F(x + \varDelta x) - F(x)}{\varDelta x} $$|
|偏微分|２変数：$$ F(x,y) $$|$$ \ppd{F}{x} $$|$$ \lim_{\varDelta x \to 0} \ffd{F(x + \varDelta x, y) - F(x, y)}{\varDelta x} $$|
|全微分|任意変数：$$ F $$|$$ dF $$|$$ \ppd{F}{x} dx + \ppd{F}{y} dy $$|
;:定義からも、偏微分が常微分の拡張で、全微分は別の概念ということが分かる。
;:また、１変数を２変数の特殊例と見なした場合、１変数のときに$$ \ddd{F}{x} $ = $ \ppd{F}{x} $$が成り立つ。
;:このため、常微分を$$ \partial $$で書くと恐らく注意される程度で済むだろう。
;:しかし、偏微分に$$ d $$、全微分に$$ \partial $$を使うのは問答無用のバツになる。
|偏微分|多変数：$$ F(x,y) $$|$$ \ppd{F}{x} $$|$$ \lim_{\varDelta x \to 0} \ffd{F(x + \varDelta x, y) - F(x, y)}{\varDelta x} $$|
|全微分|１変数：$$ F(x) $$|$$ dF $$|$$ \ddd{F}{x} dx $$|
|^ |多変数：$$ F(x,y) $$|^ |$$ \ppd{F}{x} dx + \ppd{F}{y} dy $$|
まず、多変数関数の各種微分に対し、１変数の微分を特に常微分と呼ぶ。
定義からも、偏微分が常微分の拡張で、全微分は別の概念ということが分かる。
;;自分の経験上、偏微分を始めたばかりでは「多変数は$$ \partial $$を使え」と覚えば済むから特に問題ない。
;:大抵は全微分を学び、次の$$ F(x(t), y(t)) $$の連鎖則で混乱が始まる。
次に、１変数関数を２変数関数の特殊例と見なした場合、１変数関数に限り$$ \ddd{F}{x} $ = $ \ppd{F}{x} $$が成り立つ。
このため、常微分を$$ \partial $$で書くと恐らく注意される程度で済むだろう。
しかし、偏微分に$$ d $$、全微分に$$ \partial $$を使うのは問答無用のバツになる。
自分の経験上、学生が混乱し始めるのは次の$$ F(x(t), y(t)) $$の連鎖則と出遭うときである。
#ceq(e)
$$ \ddd{F}{t} $ = $ \ppd{F}{x} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{F}{y} $ \ddd{y}{t} $$
#ceq(end)
;:この式がエグい所は２つ。
;:一つは、$$ dF $$と$$ \partial F $$、$$ dx $$と$$ \partial x $$、$$ dy $$と$$ \partial y $$が出揃うところである。
;:もう一つは、$$ \ddd{F}{t} $$、$$ \ddd{x}{t} $$、$$ \ddd{y}{t} $$は全微分ではなく常微分にしか見えないところである
((実際、$$ \ddd{x}{t} $$、$$ \ddd{y}{t} $$は正真正銘の１変数関数の常微分ではあるが。))。
;:このため、「多変数は$$ \partial $$を使え」が一気に通用しなくなって、混乱が起きる。
;:この式がエグいのは次の２点である。
+ ２変数関数でも$$ dF $$と$$ \partial F $$が、１変数関数でも$$ dx $$と$$ \partial x $$、$$ dy $$と$$ \partial y $$が出揃っている。
+ 全微分$$ dF $$、$$ dx $$、$$ dy $$を$$ dt $$で割って、常微分$$ \ddd{F}{t} $$、$$ \ddd{x}{t} $$、$$ \ddd{y}{t} $$を作っている。
![[PukiWiki]](image/NekoPunch.png "[PukiWiki]")
