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/ 偏微分
/偏微分
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- 2013.0101.0329 暫定原稿
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* $$ F $$を$$ x $$で偏微分 [#d759be2d]
一般に１変数関数$$ F(x) $$の微分と言えば$$ \ddd{F}{x} $$である。
これが多変数関数$$ G(x,y) $$となると、偏微分$$ \ppd{G}{x} $$と$$ \ppd{G}{y} $$、そして、全微分$$ dG $$が登場する
((他に勾配$$ \:\nabla G $$なども登場するが、実質上偏微分の拡張であり、偏微分と全微分ほど紛らわしくないため、ここでは考えない。))。
問題は、この$$ d $$と$$ \partial $$の使い分けが微分を難しくする原因の一つである。
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;;１変数関数$$ f(x) $$に対し、$$ x $$による微分を$$ \ddd{f}{x} $$と表記し、次のように定義される。
#ceq(e)
$$ \ddd{f}{x} $ = $ \lim_{\Dl x \to 0} \ddd{f(x + \Dl x) - f(x)}{\Dl x} $$
#ceq(end)
教科書的に纏めると、次のようになる：
| |l: | |l: |c
|名称 |被微分関数 |微分表記 |定義例 |
|常微分|１変数：$$ F(x) $$|$$ \ddd{F}{x} $$|$$ \lim_{\varDelta x \to 0} \ffd{F(x + \varDelta x) - F(x)}{\varDelta x} $$|
|偏微分|多変数：$$ F(x,y) $$|$$ \ppd{F}{x} $$|$$ \lim_{\varDelta x \to 0} \ffd{F(x + \varDelta x, y) - F(x, y)}{\varDelta x} $$|
|全微分|１変数：$$ F(x) $$|$$ dF $$|$$ \ddd{F}{x} dx $$|
|^ |多変数：$$ F(x,y) $$|^ |$$ \ppd{F}{x} dx + \ppd{F}{y} dy $$|
まず、多変数関数の各種微分に対し、１変数の微分を特に常微分と呼ぶ。
定義からも、偏微分が常微分の拡張で、全微分は別の概念ということが分かる。
次に、１変数関数を２変数関数の特殊例と見なした場合、１変数関数に限り$$ \ddd{F}{x} $ = $ \ppd{F}{x} $$が成り立つ。
このため、常微分を$$ \partial $$で書くと恐らく注意される程度で済むだろう。
しかし、偏微分に$$ d $$、全微分に$$ \partial $$を使うのは問答無用のバツになる。
自分の経験上、学生が混乱し始めるのは次の$$ F(x(t), y(t)) $$の連鎖則と出遭うときである。
;:２変数関数$$ f(x,y) $$に対し、同様に微分したものは偏微分と言って$$ \ppd{f}{x} $$と表記され、次のように定義される。
#ceq(e)
$$ \ddd{F}{t} $ = $ \ppd{F}{x} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{F}{y} $ \ddd{y}{t} $$
$$ \ppd{f}{x} $ = $ \lim_{\Dl x \to 0} \ddd{f(x + \Dl x, y, y) - f(x)}{\Dl x} $$
#ceq(end)
;:この式がエグいのは次の２点である。
+ ２変数関数でも$$ dF $$と$$ \partial F $$が、１変数関数でも$$ dx $$と$$ \partial x $$、$$ dy $$と$$ \partial y $$が出揃っている。
+ 全微分$$ dF $$、$$ dx $$、$$ dy $$を$$ dt $$で割って、常微分$$ \ddd{F}{t} $$、$$ \ddd{x}{t} $$、$$ \ddd{y}{t} $$を作っている。
$$ \pr $$を使った偏微分と区別して、$$ d $$を使った微分を特に常微分と言う。
しかし、２つの違いを正しく説明できる人は少ない。
勿論、「偏微分では$$ y $$を固定している」だけでは矛盾が生じる。
結論を言うと、偏微分と常微分は同じ微分演算であるため、微分としては共通の記号で書くべき。
しかし、微分以外の要素も複雑に絡んでいるため、表記を統合するためには、記号の意味から変える必要がある。
ただ、記号を書き換えるだけでは衝突が起きる。
以下では、まず同一関数$$ f $$に対し、偏微分$$ \ppd{f}{x} $$と常微分$$ \ddd{f}{x} $$が同時に存在し、異なる値を持つ場合について考える。
次ぎに、$$ \ppd{f}{x} $$自体が偏微分の完全表記ではないことについて述べ、偏微分の完全表記とその意味について考える。
最後に、偏微分の意味毎の分離表記について考え、偏微分と常微分を統合する。
この話しの目標は、関数$$ f $$があって、どんな関数だろうと$$ x $$で微分する限り$$ \ddd{f}{x} $$と表記することである。
* 目次 [#oae47e71]
- 偏微分と常微分の違い
- 偏微分の意味
- 偏微分の分離表記
- 偏微分と常微分の統合表記
- 微分公式の記述例
以下は予定（関連項目）
- 偏積分と常積分
- 物質微分
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