Laplacian のバックアップの現在との差分(No.2)

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  • 1 (2020.0531 (日) 1712.3700)
  • 2 (2020.0531 (日) 1808.0400)

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\end{align*}

\def\co{\cos\theta}
\def\so{\sin\theta}
\def\cco{\cos^2\theta}
\def\sso{\sin^2\theta}
\def\cdo{\cos2\theta}
\def\sdo{\sin2\theta}

\def\ppr{\dfrac{\partial}{\partial r}}
\def\ppo{\dfrac{\partial}{\partial \theta}}
\def\pprr{\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}}
\def\ppoo{\dfrac{\partial^2}{\partial \theta^2}}
\def\ppro{\dfrac{\partial^2}{\partial r \partial \theta}}
\def\ppor{\dfrac{\partial^2}{\partial \theta \partial r}}

\def\ttt#1#2#3{\dfrac{#1}{#2}#3}
\def\btt#1#2{\left({#1#2}\right)}
\def\bttt#1#2#3{\left(\ttt#1#2#3\right)}

\def\Ai{\co\ppr \btt\co\ppr - \co\ppr \bttt\so{r}\ppo - \ttt\so{r}\ppo \btt\co\ppr + \dfrac{\so}{r}\ppo \bttt\so{r}\ppo}
\def\Bi{\so\ppr \btt\so\ppr + \so\ppr \bttt\co{r}\ppo + \ttt\co{r}\ppo \btt\so\ppr + \dfrac{\co}{r}\ppo \bttt\co{r}\ppo}

\def\Aii{\cco\pprr + \ttt\sdo{2r^2}\ppo  - \ttt\sdo{2r}\ppro + \ttt     \sso{r}\ppr - \ttt\sdo{2r}\ppor + \ttt\sdo{2r^2}\ppo + \ttt\sso{r^2}\ppoo}
\def\Bii{\sso\pprr + \ttt\sdo{2r^2}\ppo  + \ttt\sdo{2r}\ppro + \dfrac1r \cco   \ppr + \ttt\sdo{2r}\ppor - \ttt\sdo{2r^2}\ppo + \ttt\cco{r^2}\ppoo}

\def\Aiii{\cco\pprr + \ttt\sso{r^2}\ppoo - \ttt\sdo{r}\ppro + \ttt\sso{r}\ppr + \ttt\sdo{r^2}\ppo}
\def\Biii{\sso\pprr + \ttt\cco{r^2}\ppoo + \ttt\sdo{r}\ppro + \ttt\cco{r}\ppr - \ttt\sdo{r^2}\ppo}

\begin{align*}
 (\mathrm{I})
    &= \co\ppr \btt\co\ppr - \co\ppr \bttt\so{r}\ppo - \ttt\so{r}\ppo \btt\co\ppr + \dfrac{\so}{r}\ppo \bttt\so{r}\ppo
  \\&= \cco\pprr + \ttt\sdo{2r^2}\ppo  - \ttt\sdo{2r}\ppro + \ttt\sso{r}\ppr - \ttt\sdo{2r}\ppor + \ttt\sdo{2r^2}\ppo + \ttt\sso{r^2}\ppoo
  \\&= \cco\pprr + \ttt\sso{ r^2}\ppoo - \ttt\sdo{ r}\ppro + \ttt\sso{r}\ppr + \ttt\sdo{r^2}\ppo
  \\
 (\mathrm{II})
    &= \so\ppr \btt\so\ppr + \so\ppr \bttt\co{r}\ppo + \ttt\co{r}\ppo \btt\so\ppr + \dfrac{\co}{r}\ppo \bttt\co{r}\ppo
  \\&= \sso\pprr + \ttt\sdo{2r^2}\ppo  + \ttt\sdo{2r}\ppro + \dfrac1r \cco\ppr + \ttt\sdo{2r}\ppor - \ttt\sdo{2r^2}\ppo + \ttt\cco{r^2}\ppoo
  \\&= \sso\pprr + \ttt\cco{ r^2}\ppoo + \ttt\sdo{ r}\ppro + \ttt\cco{r}\ppr - \ttt\sdo{r^2}\ppo
 (\mathrm{I})  &= \Ai \\&= \Aii \\&= \Aiii \\
 (\mathrm{II}) &= \Bi \\&= \Bii \\&= \Biii
\end{align*}

\begin{align*}
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