%indent
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* $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ [#u62f0746]
;,１階線形常微分方程式は$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$の形をした微分方程式である。
;,ここで、$$ y $$と$$ R $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ R(x) $$で、係数$$ a $$は$$ x $$を含んでも良く、含まなくても良い(($$ a $$が$$ x $$に対して定数の場合は、定数係数１階線形常微分方程式と呼ばれる。))。
;,左辺が１階常微分$$ \ddd{y}{x} $$と（0階常微分）$$ y $$の線形結合であるため、１階線形常微分方程式と呼ばれる。
;,解の公式は次の積分式で与えられる：
#ceq(e)
定数係数： $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ ⇒ $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} R\, dx $$
(($$ y $ = $ e^{-ax} $ \Big( $ \int $ e^{ax} R dx $ + $ C $ \Big) $$と積分定数を明示する流儀もあるが、煩雑になるため凌宮数学では書かない。))
#ceq(e)
変数係数： $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ ⇒ $$ y $ = $ e^{-A} $ \int $ e^{A} R\, dx $$ ただし、$$ A $ = $ \int $ a $ dx $$
#ceq(end)
;,暗記さえできれば、定数係数で１階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
;,しかし問題は、丸暗記では前後に習得する知識と繋がらず、全体を効率良く学べない。
;,特に、直後に学ぶ定数係数''２''階線形常微分方程式は、''１''階を応用で簡単に解けてしまう。
;,これらに対し、凌宮数学では、２階ないし$$ N $$階の線形常微分方程式に繋がるような、
;,学習済み知識に基づいた１階線形常微分方程式の''もう少し考え易い''解き方を与える。
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* 考え方 [#x7399926]
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** 積分で解く [#hf246f9e]
;,一般に、ある関数$$ F $ = $ F(x) $$の常微分$$ \ddd{F}{x} $$が分かれば、不定積分で解けることが分かっている
((ここで、「解ける」とは「微分を無くせる」つまり「微分方程式で無くせる」意味である。得られる不定積分が計算できる保障はない。))。
#ceq(e)
$$ \ddd{F}{x} $ = $ f $$ ⇔ $$ F $ = $ \int f dx $$(($$ F $ = $ F(x) $$、$$ f $ = $ f(x) $$。))
#ceq(end)
;,$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$の場合は、左辺$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$を$$ \ddd{F}{x} $$に纏めらると、積分で解ける。
;,そのため、まずは$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$の「$$ + $$」を消したい。
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** １つの微分に纏める [#s0c1fc1c]
;,「$$ + $$」を消すには、等号の片方に「$$ + $$」が１つ、他方に「$$ + $$」が無い公式が必要である。
;,高校範囲で探す限り、等号の左右で「$$ + $$」の数が異なるのは''積の微分''しかない
((総当り気味になっているが、「積の微分」が持つ「$$ + $$の数を変える」性質を覚える学び方をしていれば総当りで無くなる。))：
#ceq(e)
$$ \ddd{(pq)}{x} $ = $ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$(($$ p $ = $ p(x) $$、$$ q $ = $ q(x) $$。))
#ceq(end)
;,しかし、$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$を$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$と比較しても、
;,$$ q $ = $ y $$が嵌るものの、$$ p $ = $ 1 $$ と$$ \ddd{p}{x} $ = $ a $$を同時に満たす$$ p $$は存在しない
(($$ p $ = $ 1 $$の時点で$$ \ddd{p}{x} $ = $ 0 $$となってしまうため、$$ a $ = $ 0 $$でない限り無理。))。
;,このため、$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$に嵌るように、$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$を調節する必要がある。
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** 積分因子を掛ける [#w6c99026]
;,上記の試算は$$ p $ = $ 1 $$の縛りが厳しすぎるため、$$ \ddd{p}{x} $ = $ 0 $$となり、$$ \ddd{p}{x} $ = $ a $$を満せなくなっている。
;,そのため、例えば$$ p $ = $ p(x) $$と自由にすれば、$$ \ddd{p}{x} $$を$$ a $$の方の条件に合わせば解ける。
;,$$ \ddd{y}{x} $$の係数を$$ p $$にするには、単純に全ての項に$$ p $$を掛ければ良い：
#ceq(e)
$$ p $ \ddd{y}{x} $ + $ apy $ = $ pR $$
#ceq(end)
;,一般に、積分するために掛ける関数$$ p $$を積分因子、積分因子を掛ける手法を積分因子法と呼ぶ。
;,積分因子法は、微分関係を比較的自由に調節できるため、微分方程式に良く利く。
;,$$ p $ \ddd{y}{x} $ + $ apy $ = $ pR $$を$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$と比較すると、
$$ \ddd{p}{x} $ = $ ap $$なる$$ p $$を探せば良いことが分かる。
;,幸い、これは変数分離形という易しい類の微分方程式であるため、簡単に求まる：
#ceq(e)
$$ \ddd{p}{x} $ = $ ap $$
#ceq(a)
$$ p = p(x) $$に関する変数分離形の常微分方程式
#ceq(e)
⇔ $$ \ffd{dp}{p} $ = $ a $ dx $$
#ceq(a)
変数分離
#ceq(e)
⇔ $$ \int \ffd{dp}{p} $ = $ \int $ a $ dx $$
#ceq(a)
不定積分
#ceq(e)
⇔ $$ \log_e |p| $ = $ A $ + $ k $$
#ceq(a)
積分実行、原始関数を$$ A $ = $ A(x) $$、積分定数を$$ k $$とする((左辺の積分からも積分定数が出てくるが、右辺に移項して「任意定数−任意定数＝任意定数」と纏められるため、省略。))
#ceq(e)
⇔ $$ p $ = $ \pm e^{A + k} $$
#ceq(a)
両辺で指数を取る
#ceq(e)
⇔ $$ p $ = $ \pm e^{k} $ e^A $$
#ceq(a)
指数法則で定数部を分離
#ceq(end)
;,今、$$ p $$は$$ \pm e^{k} $ e^A $$を満たせば良いので、以降では簡単そうな$$ e^A $$を積分因子に選ぶ。
;,定数係数の場合は$$ A $ = $ \int $ a $ dx $ = $ a $ \int $ dx $ = $ ax $$になり、積分因子は$$ e^{ax} $$となる。
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* 略解例 [#f99103ca]
以上で解く筋道が通る：
- 微分方程式を解くために積分すれば良い
- 積分するために１つの微分に纏めれば良い
- 纏めるために積分因子を掛ければ良い
- 積分因子は上記の方法で見つけば良い
この筋道を逆から書けば「解答」となる：
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
原方程式
#ceq(e)
⇔ $$ e^A $ \ddd{y}{x} $ + $ ae^A $ y $ = $ e^A $ R $$
#ceq(a)
両辺に積分因子$$ e^A $$を掛ける、ただし$$ A $ = $ \int $ a $ dx $$
#ceq(e)
⇔ $$ e^A $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^A)}{x} $ y $ = $ e^A $ R $$
#ceq(a)
積の微分に嵌める（不定積分を実行）
#ceq(e)
⇔ $$ \ddd{(e^A y)}{x} $ = $ e^A $ R $$
#ceq(a)
１つの微分に纏める（部分積分を実行）
#ceq(e)
⇔ $$ e^A y $ = $ \int $ e^A $ R $ dx $$
#ceq(a)
積分する
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-A} $ \int $ e^A $ R $ dx $$
#ceq(a)
両辺に$$ e^{-A} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
#ceq(end)
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* 線形微分演算子 【編集中】 [#m298c1a3]
;,原方程式$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$は、$$ \bigg( \ddd{}{x} + ay \Big) $ y $ = R $$と括れば、
;,未知関数$$ y $$から既知関数$$ R $$を求める少々複雑な微分演算にも見える。
;,以下のように１階線形常微分演算子$$ D_a $$を定義すると、演算$$ D_a $$と演算対象$$ y $$に明示的に分離できる。
#ceq(e)
''１階線形常微分演算子''：$$ D_a $ \equiv $ \bigg( \ddd{}{x} + a \Big) $$
#ceq(e)
''１階線形常微分方程式''：$$ D_a $ y $ = $ R $$ ⇔ $$ \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) $ y $ = $ R $$ ⇔ $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$
#ceq(end)
そうすると、上記解答は次のように見える：
#ceq(e)
$$ \ddd{}{x} $ + $ a $ y $ = $ R $$
#ceq(e)
$$ D_a $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
原方程式
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} $ \ddd{}{x} $ + $ ae^{ax} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^{ax})}{x} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
積の微分に嵌める（不定積分を実行）
#ceq(e)
⇔ $$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
１つの微分に纏める（部分積分を実行）
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} y $ = $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
積分する
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
#ceq(end)
;,上記の解き方では、$$ y $$と$$ R $$では単純な微分・積分の関係にならないため、
;,一旦$$ uy $ = $ e^{ax} y $$と$$ e^{ax} R $$に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
;,そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ y $$と$$ R $$に関する一対の複雑な微分と積分にも見える：
- $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$が$$ y $$から$$ R $$への複雑な微分
- $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$は$$ R $$から$$ y $$への複雑な積分
- 互いに逆演算
- ;,線形微分演算子$$ D_a $$を$$ D_a $ y $ \equiv $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ a $ \bigg) $$と定義し、
- ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$を$$ \,I_a $ R $ \equiv $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$と定義すると、
- ;,$$ D_a $ \iro[gy]y $ = $ \iro[gy]R $$ ⇔ $$ \iro[gy]y $ = $ I_a $ \iro[gy]R $$
- ;,演算子として$$ D_a^{-1} $ = $ I_a $$
%bodynote
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* まとめ・つなぎ [#ff9fe3c5]
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