/点積分
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*点積分 [#ob20d13a]
ベクトル解析で線積分、面積分、体積分とあるのに、点積分ないのが不思議。
線、面、体で、１次元、２次元、３次元なら、点は０次元に対応しているはず。
０は無を意味するが、扱わなければ今の数学は無い。
猫式では、以下の類推で、''点積分''なる積分を形式的に定義する。
|||l:|c
|* |*基底積表記 |*対応する微分形式 |
|* |*基底積表記 |c:*対応する微分形式 |
|*点積分|$$ \inte[P] d^{-0} F $ \sx $ d\:r^{\wx0} $$|０次形式：$$ F $$|
|*線積分|$$ \inte[R] $ d^{-1} $ \:F $ \sx $ d\:r^{\wx1} $$|１次形式：$$ f_x $ dx $ + $ f_y $ dy $ + $ f_z $ dz $$|
|*面積分|$$ \inte[S] $ d^{-2} $ \:F $ \sx $ d\:r^{\wx2} $$|２次形式：$$ f_{yz} $ dydz $ + $ f_{zx} $ dzdx $ + $ f_{xy} $ dxdy $$|
|*体積分|$$ \inte[V] $ d^{-3} $ F $ \sx $ d\:r^{\wx3} $$|３次形式：$$ f_{xyz} $ dxdydz $$|
//
点積分では、積分の回数を表す$$ d $$の指数が$$ 0 $$なのは、点積分は名ばかりで実際の計算では積分をしないことを表す。
また、$$ d^{-0} $$と$$ d\:r^{\wx0} $$は両方とも$$ 1 $$と見なせて、正味$$ \inte[P] $ F $$が残る。
猫式では、$$ \int $$は範囲指定の専用記号であり、$$ \inte[P] $ F $$は範囲$$ P $$における$$ F $$の値と読める。
例えば、$$ P $$は点$$ \:r $ = $ \:p $$とすると、
$$ \inte[P] $ F(\:r) $ = $ \inte[p] $ F(\:r) $ = $ F(\:p) $$。
つまり、点積分は代入と等価。
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*積分の基本定理と$$ \inte[a]^b $$の意味 [#o00c516c]
３次元のベクトル置換積分定理には、
線積分と面積分を結ぶストークスの定理、
面積分と体積分を結ぶガウスの定理がある。
点積分を考えば、点積分と線積分を結ぶ定理もあるはず。
実際、統一公式から式を形式的に組み立てると、それが積分の基本定理が出てくる。
|* |*基底積表記 |*慣用名 |*通常表記 |
|*点線&br;置換|$$ \inte[P] $ d^{-0} $ \:F $ \sx $ d\:r^{\wx0} $ = $ \inte[R] $ d^{-1} $ \ddd{\wxv \:F}{\:r} $ \sx $ d\:r^{\wx1} $$|積分の基本定理 |$$ F(b) - F(a) $ = $ \inte[a]^b $ \ddd{ F}{\:r} $ \sx $ d\:r $$|
|*線面&br;置換|$$ \inte[R] $ d^{-1} $ \:F $ \sx $ d\:r^{\wx1} $ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ \ddd{\wxv \:F}{\:r} $ \sx $ d\:r^{\wx2} $$|ストークスの定理|$$ \inte[R] $ \:F $ \sx $ d\:r $ = $ \inte[S] $ \ddd{\vx \:F}{\:r} $ \sx $ d\:S $$|
|*面体&br;置換|$$ \inte[S] $ d^{-2} $ \:F $ \sx $ d\:r^{\wx2} $ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ \ddd{\wxv \:F}{\:r} $ \sx $ d\:r^{\wx3} $$|ガウスの定理 |$$ \inte[S] $ \:F $ \sx $ d\:S $ = $ \inte[V] $ \ddd{\sx \:F}{\:r} $ \sx $ d V $$|
積分の基本定理とは普通１次元で$$ \inte[a]^b $ \ddd{F(r)}{r} $ dr $ = $ F(b) $ - $ F(a) $$を指す。
ベクトル場では$$ \inte[\:a]^{\:b} $ \ddd{F(\:r)}{\:r} $ \sx $ d\:r $ = $ F(\:b) $ - $ F(\:a) $$が成り立ち、そのベクトル版にあたる。
点積分を使えば、大雑把に$$ \inte[\:a]^{\:b} $ d^- $ \ddd{F(\:r)}{\:r} $ d\:r $ = $ \inte[\:a]^{\:b} $ F(\:r) $$。
厳密には、通常の線積分の$$ \inte[a]^b $$は$$ a $$から$$ b $$までの区間$$ \inte[R] $$、
点積分の$$ \inte[a]^b $$は$$ a $$と$$ b $$の２点$$ \inte[P] $$と意味が微妙に異なる。
猫式では、区別するため、次のように線積分を不定積分と点積分に分けて考え、$$ \inte[a]^b $$は常に点の範囲指定と読む。
//
#ceq(e)
$$ \phantom= $ \inte[R] $ d^- $ r $ dr $$
#ceq(a)
$$ = $ \inte[a]^b $ r $ dr $$
#ceq(a)
左側は猫式、右側は対応する通常表記
#ceq(e)
$$ = $ \inte[a]^b $ d^{-0} $ d^{-1} $ r $ dr^{\wx1} $ dr^{\wx0} $$
#ceq(a)
$$ = $ \!\left[ \fracstrut \inte r dr \right]_a^b $$
#ceq(a)
線積分を不定積分と点積分に分離
#ceq(e)
$$ = $ \inte[a]^b $ d^{-0} $ \ffd{r^2}{2} $ dr^{\wx0} $$
#ceq(a)
$$ = $ \!\left[\ffd{r^2}{2} \right]_a^b $$
#ceq(a)
不定積分実行
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{\;b^2}{2} $ - $ \ffd{\;a^2}{2} $$
#ceq(a)
$$ = $ \ffd{\;b^2}{2} $ - $ \ffd{\;a^2}{2} $$
#ceq(a)
点積分／代入実行
#ceq(end)
//
この解釈では、$$ \inte[a]^b $$は定積分の$$ \left[ \fracstrut \cdots \right]_a^b $$と等価になる。
一般に、線積分の被積分関数が$$ \ddd{F}{\:r} $$と書けない限り((これが点線置換の成立条件でもある。))、
積分値は経路に依存し、２つの端点だけでは決まらない。
このためにも、１次元という特殊な場合でも$$ \inte[a]^b $$は２つの端点の表現であって、区間ではないと考えた方が良い。
%bodynote
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* まとめ [#la263eee]
以上、基本に戻ったところで、全てのベクトル積分とそれらを結ぶ置換積分公式が出揃う。
３次元空間では次のように纏まる：
|* |*ベクトル積分 |* |*置換積分公式 |
|*点積分|$$ \inte[P] $ d^{-0} $ F $ \sx $ d\:r^{\wx0} $$|* | |
|^ |^ |*点線置換|$$ \inte[P] $ d^{-0} $ F $ \sx $ d\:r^{\wx0} $ = $ \inte[R] $ d^{-1} $ \ddd{\wxv F}{\:r} $ \sx $ d\:r^{\wx1} $$|
|*線積分|$$ \inte[R] $ d^{-1} $ \:F $ \sx $ d\:r^{\wx1} $$|^ |^ |
|^ |^ |*線面置換|$$ \inte[R] $ d^{-1} $ \:F $ \sx $ d\:r^{\wx1} $ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ \ddd{\wxv \:F}{\:r} $ \sx $ d\:r^{\wx2} $$|
|*面積分|$$ \inte[S] $ d^{-2} $ \:F $ \sx $ d\:r^{\wx2} $$|^ |^ |
|^ |^ |*面体置換|$$ \inte[S] $ d^{-2} $ \:F $ \sx $ d\:r^{\wx2} $ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ \ddd{\wxv \:F}{\:r} $ \sx $ d\:r^{\wx3} $$|
|*体積分|$$ \inte[V] $ d^{-3} $ F $ \sx $ d\:r^{\wx3} $$|^ |^ |
|^ |^ |* | |
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