/虚数正弦
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* 虚数正弦 $$ \bi \sin $$ [#xf7c3ed5]
* 虚数正弦 $$ \ci \csin $$ [#xf7c3ed5]
公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫式組立術の原点の一つである。
なぜ「$$ - $$」になるのか。
なぜ「$$ \sin $$」になるのか。
公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫式組立術の原点である。
運よく隠された規則があって、それを見出せば、公式を簡単に組み立てることができる。
三角公式の場合、
オイラーの公式$$ e^{\bi \theta} $ = $ \cos \theta $ + $ \bi \sin \theta $$を使えば、$$ \sin $$と$$ \cos $$を複素指数で表せる。
複素指数の形で三角公式を導出すると、$$ \sin $$が$$ \bi $$と一緒に動くのが分かる。
そして、$$ \bi \sin $$を一塊で扱う方が公式が規則的になる。
以下はオイラーの公式と三角関数の指数表示：
三角公式の場合は「$$ \iro[ak]- $$」や「$$ \csin $$」になるのには理由が必要だが、
答えはオイラーの公式$$ e^{\ci \theta} $ = $ \ccos \theta $ + $ \ci \csin \theta $$を使って
次のように$$ \csin $$と$$ \ccos $$を複素指数で表すときに現われる$$ \ci \csin $$に隠されている。
//複素指数の形で三角公式を導出すると、$$ \csin $$が$$ \ci $$と一緒に動くのが分かる。
//そして、$$ \ci \csin $$を一塊で扱う方が公式が規則的になる。
//以下はオイラーの公式と三角関数の指数表示：
#ceq(e)
$$
\left\{ \begin{array}{l}
e^{+\bi \theta} = \cos \theta + \bi \sin \theta \ffdstrut
\\ e^{-\bi \theta} = \cos \theta - \bi \sin \theta \ffdstrut
e^{+\bi \theta} = \ccos \theta + \ci \csin \theta \ffdstrut
\\ e^{-\bi \theta} = \ccos \theta - \ci \csin \theta \ffdstrut
\end{array} \right.
$$
⇒
$$
\left\{ \begin{array}{r}
\phantom{\bi} \cos \theta = \ffd12 \Big( e^{+\bi \theta} + e^{-\bi \theta} \Big)
\\ \bi \sin \theta = \ffd12 \Big( e^{+\bi \theta} - e^{-\bi \theta} \Big)
\phantom{\ci} \ccos \theta = \ffd12 \big( e^{+\bi \theta} + e^{-\bi \theta} \big)
\\ \ci \csin \theta = \ffd12 \big( e^{+\bi \theta} - e^{-\bi \theta} \big)
\end{array} \right.
$$
#ceq(end)
これらを使えば全ての三角公式を導ける。
例えば、加法定理は次のように導ける：
これを使えば加法定理は次のように導ける。
#ceq(e)
$$ \phantom= $ \ccos(\alpha \pm \beta) $ + $ \ci \csin(\alpha \pm \beta)$$
#ceq(e)
$$ = $ e^{\bi(\alpha \pm \beta)} $$
#ceq(a)
オイラーの公式
#ceq(e)
$$ = $ e^{\bi \alpha} $ \cdot $ e^{\pm \bi \beta} $$
#ceq(a)
指数法則
#ceq(e)
$$ = $ ( $ \ccos \alpha $ + $ \ci \csin \alpha $ ) $ \cdot $ ( $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \beta $ ) $$
#ceq(a)
オイラーの公式
#ceq(e)
$$ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alpha $ \ci \csin \beta $ + $ \ci \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \alpha $ \ci \csin \beta $$
#ceq(a)
乗算分配則
展開
#ceq(e)
$$ = $ ( $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \alpha $ \ci \csin \beta $ ) $ + $ ( $ \ci \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alpha $ \ci \csin \beta $ ) $$
#ceq(a)
実部と虚部の分離
#ceq(end)
実部と虚部を別々に比較して$$ \bi \sin $$版の加法定理を得る：
実部と虚部を別々に比較して$$ \ci $$と$$ \csin $$がセットになっている$$ \ci \csin $$版の加法定理を得る：
#ceq(e)
$$ \phantom{\ci} \ccos(\alpha \pm \beta) $ = $ \phantom{\ci} \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \alpha $ \ci \csin \beta $$
#ceq(e)
$$ \ci \csin(\alpha \pm \beta) $ = $ \ci \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \phantom{\ci} \ccos \alpha $ \ci \csin \beta $$
#ceq(end)
さらに虚数単位を計算して、通常の加法定理を得る：
#ceq(e)
$$ \ccos(\alpha \pm \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \mp $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \pm \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)
表面的ではあるが、
$$ \bi \sin $$版の方では全て$$ \pm $$に統一しているのに対し、
$$ \ci \csin $$版の方では全て$$ \pm $$に統一しているのに対し、
通常版では$$ \pm $$の中に$$ \mp $$が１つだけ混ざっている。
問題は、そこに複素数の計算規則があって、$$ \mp $$は$$ \bi^2 $$の計算結果である。
さらに、$$ \bi $$と$$ \sin $$は一緒に動くため、$$ \sin^2 $$があるところは必ず$$ \bi^2 $$があり、「$$ - $$」が付く。
よって、次の法則が成り立つ：
ポイントは$$ \mp $$は$$ \ci^2 $$の計算結果である。
$$ \ci $$と$$ \csin $$が必ず一緒に動くため、$$ \csin^2 $$の前には必ず$$ \ci^2 $$があって、これが「$$ \iro[ak]- $$」に化ける。
このため、次の法則が成立する：
#ceq(e)
''正弦奇偶則： 正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数」または「全て偶数」''
''正弦陰性則： $$ \csin $$が２つ掛け合わせる毎に、項の前に「$$ \iro[ak]- $$」が１つ増える''
#ceq(end)
次に、通常の三角公式は全て実数である。
複素数の式が実数の式になるには、「全ての項が純虚数」または「全ての項が実数」を満たす必要がある。
純虚数の項では$$ \bi $$の数は奇数、実数の項では$$ \bi $$の数は偶数になる。
これに加え、$$ \bi $$と$$ \sin $$は一緒に動くため、
$$ \bi $$に対して言えることは、$$ \sin $$の数に対しても同じことが言えて、次の法則が成り立つ：
純虚数の項では$$ \ci $$の数は奇数、実数の項では$$ \ci $$の数は偶数になる。
これも$$ \ci $$と$$ \csin $$が必ず一緒に動くため、
$$ \ci $$に対して言えることは、$$ \csin $$の数に対しても言えて、次の法則が成立する：
#ceq(e)
''正弦陰性則： $$ \csin $$が２つ掛け合わせる毎に、項の前に「$$ \iro[ak]- $$」が１つ増える''
''正弦奇偶則： 正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数」または「全て偶数」''
#ceq(end)
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* 実弦・虚弦 [#fc21e487]
名前の問題。
従来の余弦$$ \cos $$や正弦$$ \sin $$と区別のため、
猫式では$$ \cos $$を実弦、$$ \bi \sin $$を虚弦と呼ぶ。
従来の余弦$$ \ccos $$や正弦$$ \csin $$と区別のため、
猫式では$$ \ccos $$を''実数余弦''、略して''実弦''、$$ \ci \csin $$を''虚数正弦''、略して''虚弦''と呼ぶ。
本質の問題。
図１に示すように、余弦と正弦は、二次元平面上で考えようが、複素数平面上で考えようが、
実数値の座標値に過ぎない。
一方、
図２に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素数値である。
図２に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素数値そのものである。
複素数のことは全て複素数で考えるのが猫式の流派である。
$$ \csin $$を使った時点でそれが虚数である。
三角関数のように複素数が姿を現わさないところでも、
$$ \csin $$を$$ \ci\csin $$に書き換えてるだけで見えない世界が見えてくるようになる。
|c:|c:|c
|&attachref(./CosSinMap.png,35%); &br; 図１: $$ \sin $$と$$ \cos $$|*
|&attachref(./1cosIsinMap.png,35%); &br; 図２: $$ \bi \sin $$と$$ \cos $$|
|&attachref(./CosSinMap.png,35%); &br; 図１: $$ \csin $$と$$ \ccos $$|*
|&attachref(./1cosIsinMap.png,35%); &br; 図２: $$ \ci \csin $$と$$ \ccos $$|
//$$ s = \sin \theta $$&br;
//$$ c = \cos \theta $$&br;
//$$ s = \csin \theta $$&br;
//$$ c = \ccos \theta $$&br;
//$$ \theta $$br;
//
//$$ \clr[md]{0} $$&br;
//$$ \clr[md]{1} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\theta} $$&br;
//$$ \clr[md]{s \!=\! \sin \theta} $$&br;
//$$ \clr[md]{c \!=\! \cos \theta} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\textrm{P} \!=\! (c, s) \!=\! (\cos \theta, \sin \theta)} $$&br;
//$$ \clr[md]{s \!=\! \csin \theta} $$&br;
//$$ \clr[md]{c \!=\! \ccos \theta} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\textrm{P} \!=\! (c, s) \!=\! (\ccos \theta, \csin \theta)} $$&br;
//
//$$ \clr[md]{0} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\theta} $$&br;
//$$ \clr[ai]{1} $$&br;
//$$ \clr[ak]{\bi} $$&br;
//$$ \clr[mr]{P \!=\! \cos \theta + \bi \sin \theta \!=\! C \!+\! S} $$&br;
//$$ \clr[ai]{C \!=\! \cos \theta} $$&br;
//$$ \clr[ak]{S \!=\! \bi \sin \theta} $$&br;
//$$ \clr[ak]{\ci} $$&br;
//$$ \clr[mr]{P \!=\! \ccos \theta + \ci \csin \theta \!=\! C \!+\! S} $$&br;
//$$ \clr[ai]{C \!=\! \ccos \theta} $$&br;
//$$ \clr[ak]{S \!=\! \ci \csin \theta} $$&br;
//
//$$ \clr[mr]{0} $$&br;
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//#hr
//#attach(noform)
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![[PukiWiki]](image/NekoPunch.png "[PukiWiki]")
CosSinMap.png
1cosIsinMap.png
