積分定数 の変更点

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/積分定数
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* 凌宮表記術：$$ C $$は$$ x $$の定数：$$ C \overline{(x)} $$ [#qd94aff1]

;,$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
  $$ f $$が$$ x $$の関数''でない''場合に何も書けないのが世の不思議。
;,「関係がない」だからって「書くまでもない」と思ってはいけない。
;,「関数でない＝定数である」も立派な関係である。

;,そこで、凌宮数学では「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記する。
;,$$ F $$が$$ x $$の関数であることを表す$$ F(x) $$に、
  否定の意味で使われるオーバーラインを付けた表記となっている。

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* 応用：積分定数 [#uad9547c]

;,積分定数は名前通り、定数である。
;,不定積分の計算では必ず現れ、「ただし」と書くお約束である。
#ceq(e)
    $$ \int f(x) \,dx $ = $ F(x) $ + $ C $$     （ただし、$$ C $$ は積分定数）
#ceq(end)

;,凌宮数式の定数表記を使うと、とりあえず次のように書ける。
#ceq(e)
    $$ \int f(x) \,dx $ = $ F(x) $ + $ C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
;,ここで、積分と微分の関係から、$$ C \overline{(x)} $$は$$ \ddd{C}{x} $ = $ 0 $$を意味すると理解しても良い。


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* 本題：多変数関数の積分定数 [#q74ff171]

;,問題は多変数関数の場合。
#ceq(e)
    $$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$
#ceq(end)
;,理系の大学生はこれを見せられる上、
  「$$ g(y) $$は任意''関数''」や「$$ g(y) $$は$$ y $$だけの''関数''」のような但し書きを教わる。
;,そして「１変数のときと同じよね」とトドメを刺される。
;,そして「１変数のときと同じよね」と言われる。

;,この謎の''関数''$$ g(y) $$ が積分''定数''$$ C $$に対応するのは位置で勘ぐれなくもないが、
;,これで何がどう同じなのかまで分かれというのは無茶な話。

;,１変数関数と多変数関数で、一体何が同じで、何が異なるのかは、こんな表で考えれば良い：

    |*l:表１：$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$の$$C$$と変数の関係|<|<|h
    |c:                     |c:                 |c:                 |c
    |*##                  ##|*$$C$$は$$x$$の定数|*$$C$$は$$x$$の関数|
    |*　                    |◎                 |×                 |
    |*tx:                   |^                  |^                  |

    |*l:表２：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$の$$g$$と変数の関係|<|<|h
    |c:                     |c:                          |c:                          |c
    |*##                  ##|*$$\spc{C}{g}$$は$$x$$の定数|*$$\spc{C}{g}$$は$$x$$の関数|
    |*$$g$$は$$y$$の定数    |◎                          |×                          |
    |*$$g$$は$$y$$の関数    |◎                          |×                          |

;,つまり、$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることであって、$$ y $$の関数かどうかではない
((厳密には「$$ y $$の関数」の特殊例として「$$ y $$の定数」が含まれる。そう言う意味では、そもそも「''定数である''」と「''定数でない''」で議論すべき。))
;,この事実を素直に定数表記で表現すると次のようになる：
#ceq(e)
    １変数：$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y} = F(x) \phantom{,y} + C \overline{(x)} $$
#ceq(e)
    ２変数：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
被積分関数$$ f $$が１変数の$$ f(x) $$から２変数の$$ f(x,y) $$に変わっていることを除けば、少なくとも見た目は同じである。

さらに同じ部分を抜き出すと、より洗練された記述が得られる：
#ceq(e)
    $$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分すれば、$$ x $$の積分定数が現る。
#ceq(end)
これこそ何変数でも成り立つ不定積分のあるべき姿。

%bodynote


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