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/偏微分と常微分の違い（編集中）
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偏微分と常微分の違いは、定義式から「固定する変数の有無」というのがお墨付きの答えである。
偏微分と常微分の違いは、定義式から「固定する変数の有無」と言うのがお墨付きの答えである。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
#ceq(end)
ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」である。

しかし、その違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分のまま変わらない、ようにも見える。
実際、１変数関数に偏微分の定義を適応すれば、固定する変数が存在しないため、こうなる：
しかし、その違いは「関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分のまま変わらない」ようにも見える。
実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その場合の偏微分は常微分と一致する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
#ceq(end)
したがって、$$ f $$が１変数関数であれば偏微分が常微分に一致する。

#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$
    $$ = $$
    $$ \iro[ao]{\ppd{f}{x}} $$
#ceq(a)
    ……①
#ceq(end)

このため、偏微分と常微分の違いを説明するには、
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$になる$$ f $$を見つける必要がある。
同一の多変数関数に対し$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \neq $ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$を示す必要がある。

%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 偏微分と常微分が異なる$$ f $$ [#ub89104e]
* 偏微分と常微分の違い [#ub89104e]

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$を作るには、
$$ \iro[ao]{df} $$と$$ \iro[ak]{\pr f} $$が必要。
両方が含まれる式と言えば、多変数関数の全微分。

２変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定義される全微分$$ df $$について考える。
準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定義される全微分$$ df $$について考える。
#ceq(e)
    $$ \;\iro[ao]{df}\; $ = $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} $ \;dy\; $$
    $$ \;df\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} $ \;dy\; $$
#ceq(end)
もし$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$という関係であれば、$$ f $$を$$ f(x(t), y(t)) $$として$$ t $$の関数と見なせる。
このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在する：
ここで、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$であれば、$$ f $ = $ f(x(t), y(t)) $$と、$$ t $$の関数に書き換えられる。
このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在し、次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \ffd{\iro[ao]{df}}{dt}\, $ = $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    ;.　((偏微分を駆け足で学ぶ人には、恐らくこれが同一の関数に対して$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する最初の式で、混乱が始まりである。))
#ceq(end)
これの$$ t $$を$$ x $$に直せば$$ f $ = $ f(x, y(x)) $$となり
((この説明は[[EMANの物理学/解析力学/全微分>http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/total_dif.html]]の最後で行われた説明を参考している。EMANの物理学で使った$$ f(x(t), y(t), t) $$の$$ x $$を省いてから$$ t $$を$$ x $$に書き換えれば本節の説明になる。))、
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$と$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$が出揃う
。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $ = $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \iro[ak]{\cancel{\iro[kr]{\ddd{x}{x}}}} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{x} $$
#ceq(a)
    ……②
#ceq(end)
$$ f $$が$$ y $$に依存する限り$$ \ppd{f}{y} $ \neq $ 0 $$、$$ y $$が$$ x $$に依存する限り$$ \ddd{y}{x} $ \neq $ 0 $$。
両方成立なら、
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$
    $$ \neq $$
    $$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$
#ceq(a)
    ……③
#ceq(end)

%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 偏微分の矛盾 [#e07d7f50]

前節の説明は偏微分の説明として間違ってはない。
しかし、式の意味を考えると矛盾が生じ、偏微分の限界が見えてくる。

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** 青い偏微分 [#ua66c467]

まず、式②を作り出すため、$$ f(x, y) $$に$$ y(x) $$を代入して$$ f(x, y(x)) $$を作っているが、
この時点で$$ f(x, y(x)) $$は$$ x $$に関する１変数関数に化ける。

問題は、１変数関数に化けた以上、①の話が成り立ってしまい、式①と式②が衝突して矛盾になる：
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$
    $$ = $$
    $$ \iro[ao]{\ppd{f}{x}} $$
    $$ \neq $$
    $$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$
#ceq(end)

** 紫の偏微分 [#g8e415fa]
次に、３変数関数$$ f $ = $ f(x, y, z) $$について、同様に$$ y $ = $ y(x) $$を代入しにみる。

問題は、代入しても$$ f(x, y(x), z) $$になるため、$$ f $$は$$ x $$だけに関する１変数関数にならず、$$ x $$と$$ z $$に関する２変数関数になる。
その結果、式②の左辺にある$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$が$$ z $$のために偏微分$$ \iro[mr]{\ppd{f}{x}} $$で書くしかない。
#ceq(e)
    $$ \iro[mr]{\ppd{f}{x}} $ = $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \iro[ak]{\cancel{\iro[kr]{\ddd{x}{x}}}} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{x} $$
#ceq(end)




* [#xb159c48]

数学的には、関数として$$ f $$は２変数関数$$ f(x, y) $$に限定し、もはや$$ f(x, y(x)) $$は別の１変数関数$$ \gph(x) $$として扱うこともできる
((むしろ、$$ f $$を「関数」と限定すれば、別の関数とする方が厳密である。))。
その考え方では、式②が式④のように書き換わる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{\gph}{x}} $ = $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \iro[ak]{\cancel{\iro[kr]{\ddd{x}{x}}}} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{x} $$
#ceq(a)
    ……④
#ceq(end)

関数を書き分けた結果、常微分と偏微分も異なる関数を微分することになり、
「同一関数に対し$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$になる$$ f $$が存在する」とは言えなくなる。
こうなら、常微分も偏微分も$$ \ppd{}{x} $$に統一しても、被微分関数が１変数関数なら常微分、２変数関数なら偏微分と区別できることになる((もちろん$$ \ppd{}{x} $$に統一しても良い。ただ、全微分や積分も全て$$ \pr $$に合わせないと都合が悪い。))。

また、



* [#acdaa080]


ここまでは多くのテキストで述べられている。
これを利用し、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$を揃えるには、$$ f(x(t), y(t), t) $$
((この関数は、[[EMANの物理学/解析力学/全微分>http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/total_dif.html]]で偏微分と常微分の違いを説明するのに用いられている。ページ自体は全微分の話で、偏微分と常微分の違いはその一番最後の節で述べられている。))
のような$$ t $$を含む関数を考える必要がある。

まず、$$ f(x, y, t) $$から、$$ f $$の全微分は次のよう書ける。
#ceq(e)
    $$ \;df\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} $ \;dy\; $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ \;dt\; $$
#ceq(end)
次ぎに、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$を代入すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数に化ける
((この時点で、$$ f $$は、$$ x $$と$$ y $$に関する２変数関数でありながら、$$ t $$に関する１変数関数にもなっている。変数の数が絶対的でなくなっている点に注意。))。
このため、常微分が存在し、式の両辺を$$ dt $$で割ることで$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$を作り出せる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず、「偏微分と常微分は違う」という結論に至る。
#ceq(e)
    $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
#ceq(end)

%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 偏微分と偏微分の違い [#ub89104e]

偏微分と常微分の違いは前節の通りである。
しかし、これは一見良さそうだが、式の意味を読み取ろうとすると偏微分の矛盾が見えてくる
((注意：飽くまでも偏微分の矛盾である。EMANの物理の説明自体は、現在使われている偏微分の説明としては正しい。))。

例えば、$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数に化けられるなら、
冒頭で述べたように１変数関数を多変数関数の特例と見なせて、常微分と等価な青い偏微分が存在することになる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$　　（$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数）
#ceq(end)
これに、前節で得た$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$を合わせると、次の矛盾が得られる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)


%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 色んな$$ \ppd{f}{t} $$ [#dea0c3af]

条件を少し変えて、中途半端な$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。
「$$ x(t) $$と書いていたが、実は$$ x $$に$$ t $$が含まれて無く、$$ y $$だけに$$ t $$が含まれていた」という話。

すると、$$ f(x, y, t) $$であることに変わらないため、次の全微分も変わらず成立する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
しかし、今度は$$ f $$に$$ y $ = $ y(t) $$を代入しても$$ t $$だけの関数にはならない。
代わりに$$ f $$は$$ x $$と$$ t $$に関する２変数関数になるため、次の全微分が成り立つ。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
問題は、この紫の偏微分は赤い偏微分と別物で、両式を比較すると以下の関係が得られる。
#ceq(e)
    ;.　　　　　　　　$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
それも、$$ f $$が$$ y $$の影響を、$$ y $$が$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$の関係を持つ。

同様に代入の加減をすれば、赤、紫、青以外にも、色んな偏微分を作ることができる。

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* 直感的な説明：偏微分の数え方 [#kdd3351c]

以下では、偏微分の矛盾を$$ f $ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$という具体例を用いて、直観的に纏めてみる。

まず、$$ f $$に$$ x $ = $ 2t $$と$$ y $ = $ 3t $$を少しずつ代入すると次の変形が得られる。
#ceq(e)
    $$ f $$
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$
#ceq(a)
    与式
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{1y} $ + $ \iro[pk]{6t} $$
#ceq(a)
    $$ y $ = $ 3t $$を用いて、１つの$$ y $$を$$ 3t $$に変換
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ \phantom+ $ \iro[mr]{9t} $$
#ceq(a)
    もう１つの$$ y $$も$$ 3t $$に変換
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \phantom{1x}\!\!\! $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ \phantom+ $ \iro[ao]{11t} $$
#ceq(a)
    $$ x $ = $ 2t $$を用いて、$$ x $$を$$ 2t $$に変換
#ceq(end)

それぞれの式から次の偏微分が考えられる：
#ceq(e)
    $$ f $$
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ak]{3} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{1y} $ + $ \iro[pk]{6t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[pk]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[pk]{6} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ + $ \iro[mr]{9t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[mr]{9} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \phantom{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y}\!\!\! $ \phantom+ $ \iro[ao]{11t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ao]{11} $ = $ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
#ceq(end)

その気になれば無数の偏微分を作れる。例えば、こんな色のも作れる。
#ceq(e)
    $$ f $$
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{-1x} $ \phantom+\!\!\!\! $ \phantom{1y}\!\!\! $ + $ \iro[mz]{13t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[mz]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[mz]{13} $$
#ceq(end)

纏めると：
+ 式変形により$$ t $$の数を自由に変えられる
+ それぞれの数に対して特色のある偏微分を作れる
+ $$ t $$以外に文字が無いときの偏微分が常微分である

これが凌宮数学の視点から見た偏微分と常微分である。

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* まとめ・つなぎ [#ca86b0a5]

多くの場合、赤い偏微分と青い偏微分しか使われないため、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$で区別できる。
ただ、他の偏微分に気づいた人から混乱が始まる。

この混乱を無くすには、色んな偏微分を厳密に書き分け、正しく整理する必要がある。
そうすれば、自ずと偏微分と常微分を一貫した表記で書けるようになる。
また、書き表せないものを書けるようになったとき、新しい発想ができるようになるかもしれない。

//実際、熱力学では赤と青の他、紫に相当する偏微分も登場する。
//そのため、$$ \ppd{f}{t} $$よりも強力な偏微分表記が用いられている。
//それでも全ての偏微分を書き分けられないが、
//次回は、その強力な表記を通じて偏微分の意味について確認しておく。
//
実際、熱力学では赤と青の他、紫に相当する偏微分も登場する。
そのため、$$ \ppd{f}{t} $$よりも強力な偏微分表記が用いられている。
それでも全ての偏微分を書き分けるには不十分であるが、
次回は、その強力な表記を通じて偏微分の意味について確認しておく。

//$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} \neq \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

//$$ + $$
//$$ - $$
//$$ = $$
//$$ \iro[ao]{=} $$
//$$ \iro[mz]{0} $$
//$$ \iro[md]{\cdots} $$
//$$ \iro[or]{\cdots} $$

//$$ df $$
//$$ \iro[pk]{dy} $$
//$$ \iro[mr]{dy} $$
//$$ \iro[ao]{dx} $$
//$$ \iro[ao]{-1dx} $$
//
//$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
//
//$$ \iro[ak]{dt} $$
//$$ \iro[pk]{dt} $$
//$$ \iro[mr]{dt} $$
//$$ \iro[ao]{dt} $$
//$$ \iro[mz]{dt} $$
//
//$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[pk]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[mz]{\ppd{f}{t}} $$
偏微分/偏微分と常微分の違い の変更点

偏微分/偏微分と常微分の違いの変更点
