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/オイラーの連鎖式
%indent
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* 凌宮読解術：$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $ = $ \iro[ak]-1 $$ [#j3ff5608]
 
;,任意の２変数関数$$ z $ = $ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する
((熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$の形で学ぶことになる。))。
    #ceq(e)
    オイラーの連鎖式： $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
 
;,問題は、$$ \partial x $$などを形式的に約分して$$ 1 $$と書きたいどころ、期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
;,一般的な証明
  ((参考：[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]]))
  ((参考：[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))
  は式を色々弄ったら合ったようなもので、とても直観的とは言えない。
 
;,しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ勿体ない。
;,$$ dx $$が約分できる結果だけ見て$$ \partial x $$をそのまま消すから、計算が上手く行かない。
;,$$ dx $$が約分できる仕組みを見て$$ \partial x $$を正しく読み替えると、約分も負号も直観的に考えられる。
 
;,凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替えてから約分する：
#ceq(e)
    $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $$
    $$ = $$
    $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$
    $$ = $$
    $$ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
$$ k_x $$、$$ k_y $$、$$ k_z $$は全て普通の係数でしかないため、約分も符号処理も小学校レベルで済む。
 
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* ''&color(#C00){陰微分};と''&color(#06F){陽微分}; [#b7a03ef5]
 
;,微分には「関数を１次近似した近似式の係数」すなわち微分係数という解釈がある。
;,例えば、関数$$ z $ = $ f(x,y) $$は１次式$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$と近似できるが、
;,変数$$ x $$と$$ y $$の係数$$ a_x $$と$$ a_y $$が微分係数で、それぞれが$$ z $$の偏微分$$ \ppd{z}{x} $$、$$ \ppd{z}{y} $$となる。
 
;,一方で、$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$から$$ x $$や$$ y $$につて解いた一次式からも微分係数が得られる。
;,例えば、$$ x $$について解いた式からは、$$ \ppd{x}{y} $$、$$ \ppd{x}{z} $$が得られる。
;,同様に、$$ y $$について解いた式からは、$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{y}{x} $$が得られる。
 
|*l:表１： $$ z $ = $ f(x,y) $$の１次近似と微分係数|<|<|<|<|h
|l:                                                                                                       |c:                      |                                     |                               |                                                           |c
|*１次近似                                                                                                |*微分係数               |<                                    |<                              |*値                                                        |
|^                                                                                                        |*係数表記               |*関数表記                            |*変数表記                      |^                                                          |
|$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$                                                            |$$          a_x , a_y $$|$$          \ppd{f}{x},\ppd{f}{y}  $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$|$$           \ffd{a_x}{ 1 } $,$           \ffd{a_y}{ 1 } $$|t=:
|$$ x $ = $ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_x} $ + $ \ffd{\iro[ak]-a_y}{a_x} $ y $ + $ \ffd{         1  }{a_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$|$$ \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} $,$           \ffd{ 1 }{a_x} $$|
|$$ y $ = $ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_y} $ + $ \ffd{          1 }{a_y} $ z $ + $ \ffd{\iro[ak]-a_x}{a_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$|$$           \ffd{ 1 }{a_y} $,$ \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} $$|
 
;,ここで重要なのは、移項で「$$ \iro[ak]-$$」が発生することである。
;,その移項は独立変数について解くためで、移項で「$$ \iro[ak]-$$」付くのは別の独立変数の項に限る。
;,このため、分母・分子とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ak]- $$」を正しく書ける。
 
;,そこで、凌宮数学では以下のように陰微分と陽微分を定義する。
- ''&color(#C00){陰微分};''： 関数を&color(#C00){陰関数};と見なした&color(#C00){独立変数};と&color(#C00){独立変数};に関する微分
- ''&color(#06F){陽微分};''： 関数を&color(#06F){陽関数};と見なした&color(#06F){従属変数};と&color(#C00){独立変数};に関する微分
 
;,すると、関数の１次近似式の係数で微分の値を表すとき、微分の''&color(#C00){陰};&color(#06F){陽};''で「$$ \iro[ak]- $$」の''&color(#C00){有};&color(#06F){無};''を判定できる。
- ''&color(#C00){陰微分};''： 「$$ \iro[ak]- $$」''&color(#C00){有り};''
- ''&color(#06F){陽微分};''： 「$$ \iro[kr]- $$」''&color(#06F){無し};''
 
%bodynote
 
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* 参考：$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$への適応 [#t1b111fb]
 
;,高校で習う$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$は、陽関数$$ y $ = $ f(x) $$と陰関数$$ 0 $ = $ F(x,y) $$の２通りの考え方がある。
 
;,陽関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陽微分となり、陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が現れず、そのまま約分可能となる。
#ceq(e)
  $$ y $ = $ f(x) $ \approx $ a_0 $ + $ a_x $ x $$
  　　$$ \Rightarrow $$　　
  $$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ \ffd{a_x}{1} $ \ffd{1}{a_x} $ = $ 1 $$
#ceq(end)
 
;,陰関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陰微分となり、陰陰で「$$ \iro[ak]- $$」は２つ現れては打ち消される。
#ceq(e)
  $$ 0 $ = $ F(x,y) $ \approx $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ a_y $ y $$
  　　$$ \Rightarrow $$　　
  $$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $ = $ 1 $$
#ceq(end)
 
;,どちらの結果も$$ dx $$と$$ dy $$自体を約分しているように見えるため、符号を気にしなくとも計算できる。
 
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 本題：$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$への適応 [#x0f147ae]
 
;,大学で習う$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$は、
  陽関数$$ x $ = $ f(y,z) $$、$$ y $ = $ g(z,x) $$、$$ z $ = $ h(x,y) $$の３通りと、
;,陰関数$$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$を合わせて計４通りの考え方がある。
 
陽関数$$ z $ = $ f(x,y) $$で考える場合、
;,$$ \ppd{x}{y} $$が陰微分、$$ \ppd{y}{z} $$と$$ \ppd{z}{x} $$が陽微分となり、係数を約分しても陰陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が残る。
#ceq(e)
  $$ z $ = $ f(x,y) $ \approx $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$
#ceq(q)
  $$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
  $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $ \ffd{1}{a_y} $ \ffd{a_x}{1} $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
 
;,陽関数$$ x = $ g(y,z) $$や$$ y $ = $ h(z,x) $$で考えても、陰になる微分が変わるだけで、１陰２陽の関係は変わらない。
#ceq(e)
  $$ x $ = $ g(y,z) $ \approx $ b_0 $ + $ b_y $ y $ + $ b_z $ z $$
#ceq(q)
  $$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
  $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{b_y}{1} $ \Big( \iro[ak]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $ \ffd{1}{b_z} $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(e)
  $$ y $ = $ h(z,x) $ \approx $ c_0 $ + $ c_z $ z $ + $ c_x $ x $$
#ceq(q)
  $$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
  $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{1}{c_x} $ \ffd{c_z}{1} $ \Big( \iro[ak]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
 
;,陰関数$$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$で考える場合、陰陰陰と全て陰微分になるだけで、答えは変わらない。
#ceq(e)
  $$ 0 $ = $ F(x,y,z) $ \approx $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$
#ceq(c)
  　$$ \Rightarrow $$　
#ceq(c)
  $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
 
;,陰関数では全ての変数が独立変数であるため、''&color(#C00){陰関数};の微分は全て&color(#C00){陰微分};''になる。
;,したがって、''陰関数で考え、全ての微分を一律「$$ - $$」付きの陰微分として扱うのが楽''である。
 
|*l:表２： $$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$の１次近似と微分係数（参考）|<|<|<|<|<|h
|l:   |l:                                                                                |c:                       |                                              |                                           |                                                           |c
|>    |*１次近似                                                                         |*微分係数                |<                                             |<                                          |*値                                                        |
|>    |^                                                                                 |*記号表記                |*関数表記                                     |*変数表記                                  |^                                                          |
|>    |$$ 0 $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$                       |$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$|$$ \ppd{F}{x} $,$ \ppd{F}{y} $,$ \ppd{F}{z} $$|((陰関数では関数値$$ F $$と等値関係にある変数の表記は無い))|$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$                                  |t=:
|tx:　|$$ x $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_x} $ - $ \ffd{k_y}{k_x} $ y $ - $ \ffd{k_z}{k_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{a_y, a_z}  $$|$$ \iro[hi]{\ppd{f}{x},\ppd{f}{y}}          $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$            |$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_x} $$|
|tx:　|$$ y $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_y} $ - $ \ffd{k_z}{k_y} $ z $ - $ \ffd{k_x}{k_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z}  $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}}          $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$            |$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} $$|
|tx:　|$$ z $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_z} $ - $ \ffd{k_x}{k_z} $ z $ - $ \ffd{k_y}{k_z} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x}  $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}}          $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$            |$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_z} $$|
 
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* まとめ・つなぎ [#cfdeff2d]
;,オイラーの連鎖式の符号は、「偏微分が約分できない」の代名詞のように使われることがある。
;,しかし、それは常微分と偏微分の違いではなく、被微分変数と微分変数の関係の違いである。
;,微分の基本である微分係数に立ち戻って工夫をすれば、ちゃんと小学校レベルの約分になる。
 
;,「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、「偏微分だから約分できない」でもなく、
;,「微分から近似式の係数に簡単に変換でき、係数であれば簡単に約分できる」と教えて欲しい。
 
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