ベクトル微分演算子/回転公式 のソース

  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
 50
 51
 52
 53
 54
 55
 56
 57
 58
 59
 60
 61
 62
 63
 64
 65
 66
 67
 68
 69
 70
 71
 72
 73
 74
 75
 76
 77
 78
 79
 80
 81
 82
 83
 84
 85
 86
 87
 88
 89
 90
 91
 92
 93
 94
 95
 96
 97
 98
 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146

/回転公式
%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 予備知識 [#m018dcc6]
- [[ベクトル微分演算子]]
- [[ベクトル三重積公式]]
 
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 回転公式 [#o5d2529e]
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 回転と元ベクトルの外積 [#eea6bdcf]
 
$$
  \:F \vx (\:\nabla \vx \:F)
   = \ffd12 \:\nabla(\:F^2) - (\:F \sx \:\nabla) \:F
$$
 
左辺$$ = $ \:A \vx \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d\:A \Big) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\:A \sx d\:A \Big) \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq
    ベクトル三重積：$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{d\:A \sx \:A + \:A \sx d\:A}{2} \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq
    積の微分$$ d(\:F \sx \:G) = d\:F \sx \:G + \:F \sx d\:G $$のための式変形
    (($$ d(F^2) = 2FdF $$のベクトル版$$ d(\:F^2) \equiv d(\:F \sx \:F) = 2\:F \sx d\:F $$のための式変形と解釈しても良い))
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{d(\:A \sx \:A)}{2} \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{2} \ffd{d(\:A^2)}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)
 
%bodynote
 
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 外積の回転 [#hcbc2d2b]
$$
  \:\nabla \vx (\:F \vx \:G)
   = (\:G \sx \:\nabla) \:F
   - (\:F \sx \:\nabla) \:G
   + (\:\nabla \sx \:G) \:F
   - (\:\nabla \sx \:F) \:G
$$
 
左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d(\:F \vx \:G) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ (d\:F \vx \:G) $ + $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ (\:F \vx d\:G) $$
#ceq
    積の微分：$$ d(\:F \vx \:G) $ = $ d\:F \vx \:G $ + $ \:F \vx d\:G $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $  \:G \Big) $ d\:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $  \:G $$
    $$ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $  \:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $  \:F \Big) $ d\:G $$
#ceq
    ベクトル三重積：$$ \:A $ \vx $ (\:B $ \vx $ \:C) $ = $ (\:A $ \sx $ \:C) $ \:B $ - $ (\:A $ \sx $ \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $ \:G $$
    $$ - $ \Big(\:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:G $ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $ \:F $$
#ceq
    内積の交換則：$$ \:A $ \sx $ \:B $ = $ \:B $ \sx $ \:A $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:F $$
    $$ - $ \Big(\:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:G $$
    $$ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $ \:F $$
    $$ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $ \:G $$
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)
 
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 回転の回転 [#u9fd4fe3]
$$
  \:\nabla $ \vx $ (\:\nabla \vx \:F)
   = \:\nabla $ (\:\nabla \sx \:F) $ - $ (\:\nabla \sx \:\nabla) $ \:F
   = \:\nabla $ (\:\nabla \sx \:F) $ - $ \triangle $ \:F
$$
 
左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d\:F \Big) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d^2\:F \Big) $$
#ceq
    （$$ d\:r $$が$$ \:r $$に依存しない限り）$$ \ffd{1}{d\:r} \vx $$と$$ d $$は交換可能。
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d^2\:F $$
#ceq
    ベクトル三重積：$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d^2\:F $$
#ceq
    倍積の交換則：$$ A \:B $ = $ \:B A $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ - $ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$
#ceq
    ラプラス演算子の凌宮表記の分数形：$$ \:\triangle \:F $ \Leftrightarrow $ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)
 
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 内積の勾配 [#y9bc4410]
$$
  \:\nabla (\:F \sx \:G)
   = (\:G \sx \:\nabla)\:F
   + (\:F \sx \:\nabla)\:G
   + \:F \vx (\:\nabla \vx \:G)
   + \:G \vx (\:\nabla \vx \:F)
$$
 
左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ d( $ \:F $ \sx $ \:G $ ) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big( $ d\:F $ \sx $ \:G $ + $ \:F $ \sx $ d\:G $ \Big) $$ 
#ceq(a)
    積の微分
#ceq(e)
#ceq(e)
    $$ = $ \Big( $ \:F $ \sx $ d\:G $ \Big) $ \ffd{1}{d\:r} $$ 
&br;$$ + $ \Big( $ \:G $ \sx $ d\:F $ \Big) $ \ffd{1}{d\:r} $$
#ceq(a)
    ;,通常表記に戻すため、三重積の因子を入換える必要がある。
    ;,内積とスカラ倍の三重積であるため、ベクトル三重積の公式を使用：
    ;,$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
    （右辺第１項に合わせて式変形）
#ceq(e)
#ceq(e)
    $$ = $ \:F $ \vx $ \Big( $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d\:G $ \Big) $ + $ \Big( $ \:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big) $ d\:G $$
&br;$$ + $ \:G $ \vx $ \Big( $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d\:F $ \Big) $ + $ \Big( $ \:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big) $ d\:F $$
#ceq(a)
    ;,ベクトル三重積公式の右辺第１項を左辺について解いて利用：
    ;,$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $ = $ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ + $ (\:A \sx \:B) $$
    ((括弧の外に出す因子を決める際、外積の$$ \ffd{1}{d\:r} $$と$$ d $$を優先的に結合させることがコツ。内積の方は離れても通常表記で対処できる。))
    ((逆に内積を優先的に結合させても、$$ ( $ \:G $ \vx $ \:\nabla $ ) $ \vx $ \:F $$の項を含んだ別の公式になるだけで、式変形自体は可能である。))
#ceq(e)
#ceq(e)
    $$ = $ \:F $ \vx $ ( $ \:\nabla $ \vx $ \:G $ ) $ + $ ( $ \:F $ \sx $ \:\nabla $ ) $ \:G $$
&br;$$ + $ \:G $ \vx $ ( $ \:\nabla $ \vx $ \:F $ ) $ + $ ( $ \:G $ \sx $ \:\nabla $ ) $ \:F $$
#ceq(a)
    通常表記では、$$ (\:A \sx \:\nabla) \:B $$で$$ \Big(\:A \sx \ddd{}{\:r}\Big) \:B $$を表す。
#ceq(e)
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)
 
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////