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%indent
;,内包量と外延量の適応限界を調べるため、検証基盤として、高校範囲の二項乗算の関係式を表１に一覧する。
;,参考した教科書は、啓林館『高等学校 物理�毅� 改訂版』
((平成9年1月31日 文部所検定済み 高等学校理科用 [61 啓林館｜物Ｂ 600]))である。
;,また、�兇聾綟�に追記する。
;,成立条件には、関係式を使う際に明示的に課された条件のみを記入している。
;,量記号は基本的に教科書で使われているものを使用しているため、衝突が起きていることに注意。
%bodynote
|*l:表１： 高校物理ＩＢ範囲の二項乗算の関係式|<|<|<|<|<|< |< |< |< |< |h
|l: | |lx:|lx: |l=: |lx:|lx: |lx:|lx: |l=:l: | |c
|* |< |< |< |*量の意味 |< |< |< |< |*成立条件 |*導入量 |
|*運動 |< |< |< |< |< |< |< |< |< |< |t=:
|*tx: |*$$ x $$|*＝|*$$ v $ t $$|変位 |＝ |速度 |× |時間 |$$ v $$＝一定##（等 速 直線運動）## |$$ v $$|
|^ |*$$ v $$|*＝|*$$ a $ t $$|速度 |＝ |加速度 |× |時間 |$$ a $$＝一定##（等加速度直線運動）## |$$ a $$|
|^ |*$$ F $$|*＝|*$$ k $ x $$|力 |＝ |バネ定数|× |変位 |$$ k $$＝一定##（弾性バネ比例区間）## |$$ k $$|
|^ |*$$ F $$|*＝|*$$ m $ a $$|力 |＝ |質量 |× |加速度 |$$ m $$＝一定 or $$ F $$＝一定 or $$ a $$＝一定 （※１）|$$ F $$|
|^ |*$$ F $$|*＝|*$$ \mu $ N $$|摩擦力 |＝ |摩擦係数|× |垂直抗力|$$ \mu $$＝一定（静止摩擦 or 一様摩擦面での動摩擦） |$$ \mu $$|
|^ |*$$ N $$|*＝|*$$ F $ l $$|モーメント|＝ |力 |× |距離 | |$$ N $$|
|^ |*$$ p $$|*＝|*$$ m $ v $$|運動量 |＝ |質量 |× |速度 |（暗黙的に$$ m $$＝一定） |$$ p $$|
|^ |*$$ I $$|*＝|*$$ F $ t $$|力積 |＝ |力 |× |時間 |$$ F $$＝一定 |$$ I $$|
|^ |*$$ W $$|*＝|*$$ F $ x $$|仕事 |＝ |力 |× |変位 |$$ F $$＝一定 |$$ W $$|
|^ |*$$ W $$|*＝|*$$ P $ t $$|仕事 |＝ |仕事率 |× |時間 |$$ P $$＝一定 |$$ P $$|
|^ |*$$ P $$|*＝|*$$ F $ v $$|仕事率 |＝ |力 |× |速度 |$$ F $$＝一定 |$$ W $$|
|*熱 |< |< |< | |＝ | |× | |< |< |t=:
|*tx: |*$$ C $$|*＝|*$$ m $ c $$|熱容量 |＝ |質量 |× |比熱 |$$ C $$＝一定 |$$ C $$|
|^ |*$$ Q $$|*＝|*$$ C $ T $$|熱量 |＝ |熱容量 |× |温度 |$$ c $$＝一定 |$$ c $$|
|^ |*$$ Q $$|*＝|*$$ m $ L $$|熱量 |＝ |質量 |× |溶解熱 |$$ L $$＝一定 |$$ c $$|
|^ |*$$ F $$|*＝|*$$ p $ S $$|力 |＝ |圧力 |× |面積 |$$ p $$＝一定 |$$ p $$|
|^ |*$$ W $$|*＝|*$$ p $ V $$|仕事 |＝ |圧力 |× |体積 |$$ p $$＝一定 | |
|*電磁気|< |< |< | |＝ | |× | |< |< |t=:
|*tx: |*$$ F $$|*＝|*$$ q $ E $$|力 |＝ |電荷 |× |電場 | | |
|^ |*$$ U $$|*＝|*$$ q $ V $$|エネルギ |＝ |電荷 |× |電位 |$$ V $$＝一定 |$$ V $$|
|^ |*$$ V $$|*＝|*$$ E $ x $$|電位 |＝ |電場 |× |変位 |$$ E $$＝一定 （一様電界） | |
|^ |*$$ Q $$|*＝|*$$ C $ V $$|電荷 |＝ |電気容量|× |電圧 |$$ C $$＝一定 |$$ C $$|
|^ |*$$ Q $$|*＝|*$$ I $ t $$|電荷 |＝ |電流 |× |時間 |$$ I $$＝一定 |$$ I $$|
|^ |*$$ V $$|*＝|*$$ R $ I $$|電圧 |＝ |電気抵抗|× |電流 |$$ R $$＝一定 |$$ R $$|
|^ |*$$ P $$|*＝|*$$ I $ V $$|電力 |＝ |電圧 |× |電流 | | |
;,運動方程式の導入には、２つの実験と１つの導出、１つの定義、１つの計算を用いている：
- 実験１： $$ m $$を一定に保ち、$$ F $$を変化させ、$$ a $$∝$$ F $$を得る。
- 実験２： $$ F $$を一定に保ち、$$ m $$を変化させ、$$ a $$∝$$ \ffd1m $$を得る。
- 導出１： $$ a $$ ∝ $$ F $$ and $$ a $$∝$$ \ffd1m $$ ⇒ $$ a $$∝$$ F $ \ffd1m $$ ⇒ $$ a $$＝$$ k $ F $ \ffd1m $$ （ただし、$$ k $$は比例定数）
- 定義１： $$ k $ \equiv $ 1 $$ and $$ a $ = $ k $ F $ \ffd1m $$ ⇒ $$ a $ = $ \ffd{F}{m} $$
- 計算１： $$ a $$＝$$ \ffd{F}{m} $$ ⇔ $$ F $$＝$$ m $ a $$
;,また、運動方程式の習得直後に自由落下で$$ W $ = $ m $ g $$を学ぶ。
;,ここで、$$ W $$は重力で$$ F $$の一種、$$ g $$は重力加速度で$$ a $$の一種である。
;,自由落下では$$ g $$を一定と見なすため、$$ a $$＝一定の等加速度運動となる。
;,実験１、実験２、自由落下では、それぞれ$$ m $$＝一定、$$ F $$＝一定、$$ a $$＝一定が成立条件である。
;,このため、運動方程式$$ F $ = $ m $ a $$に対し、２つの比例関係と１つの反比例関係の理解が求められる。
%bodynote
;,外延量・内包量の定義を「系の合併における加法性の有・無」とすると、
;,各量について、(1)系の定義、(2)合併の定義、(3)加法性の定義について考える必要がある。
;,2014年現在の現状としては、厳密な定義は見当たらず、曖昧な定義も統一されてないと見受ける。
;,以下では、厳密性を抜きにして、妥当と思う定義の例を示す。
;,まず、系については明確な定義は無いが、暗黙的に「物質の集まり」を想定しているように見える。
;,物質の集まりを系と定義すると、合併は物質の集まりの合併
((ここでの合併は、物質の集まりを物質の集合と見立てたときの和集合であり、時間の概念は問わない。参考：[[算数教育における加減算の意味分類]]))と考えられる。
;,物質の集合を$$ M_A $$と$$ M_B $$と置くと、合併の結果は和集合$$ M_S $ = $ M_A $ \cup $ M_B $$と定式化できる。
;,次に、加法性は、物質の集合に付随する量についての性質と考えられる。
;,物質の集合$$ M $$に付属する何かの属性を表す量を$$ Q(M) $$と表記すると、
;,加法性は$$ M_S $ = $ M_A $ \cup $ M_B $$に対して$$ Q(M_S) $ = $ Q(M_A) $ + $ Q(M_B) $$となる$$ Q $$の性質と定式化できる。
;,以上の定義では、加法性は、合併の方法と量の種類に依存する概念と言える。
;,このため、量だけで加法性の有無を議論するには、合併の方法に依らないことが条件となる。
;,しかし「合併の方法に依らない」というのは結構厳しい条件であるため、以下の数段階緩めた条件も考えられる。
;,''保存量の加法性''
;,物理量の中には、普遍的な保存則が成立する量がある。
;,表１の範囲では、質量$$ m $$、運動量$$ p $$、エネルギ$$ U $$、電荷$$ Q $$が該当する。
;,これらの保存則は、量子力学まで含んだ物理の範疇で成り立つと信じられている。
;,このため、物理法則に従う限り、合併である限り加法性が保証される。
;,''空間量の加法性''
;,絶対時間と絶対空間の概念を持つ古典力学では、時間と空間で物事を解析的に考える。
;,表１の範囲では、時間$$ t $$、変位$$ x $$、面積$$ S $$、体積$$ V $$が該当する。
;,これらは保存量ではないため、合併の方法次第で加法性を持たない場合がある。
;,しかし、独立変数として扱われる場合、その機能性から加法性が成立つ場合が多い((独立変数なら常に加法性が成立するかは検討中。))。
;,''限定的な加法性''
【検討中】
%bodynote
;,以上を表２に纏める
|*l:表２|<|h
|*保存量の加法性|l=:質量$$ m $$、運動量$$ p $$、エネルギ$$ U $$（仕事$$ W $$、熱量$$ Q $$）、電荷$$ Q $$のみ|
|*空間量の加法性|l=:時間$$ t $$、変位$$ x $$、面積$$ S $$、体積$$ V $$のみ |
;,上記、保存量の加法性と空間量の加法性に基づき、表１の二項乗算に対して分類した結果を表３に示す。
|*l:表３： 外延量・内包量による乗算関係の分類|< |< |< |< |< |< |< |< |< |< |h
|l: | |lx:|lx: |l=: | | | | |l=: | |c
|* |< |< |< |*量の意味 |< |< |< |< |*分類 |< |
|^ |< |< |< |^ |< |< |< |< |*保存量限り |*空間量込み |
|*運動 |< |< |< |< |< |< |< |< |< |< |t=:
|*tx: |*$$ x $$|*＝|*$$ v $ t $$|変位 |＝ |速度 |× |時間 |##内##＝##内##×##内##|''外''＝##内##×''外''|
|^ |*$$ v $$|*＝|*$$ a $ t $$|速度 |＝ |加速度 |× |時間 |##内##＝##内##×##内##|##内##＝##内##×''外''|
|^ |*$$ F $$|*＝|*$$ k $ x $$|力 |＝ |バネ定数|× |変位 |##内##＝##内##×##内##|##内##＝##内##×''外''|
|^ |*$$ F $$|*＝|*$$ m $ a $$|力 |＝ |質量 |× |加速度 |##内##＝''外''×##内##|##内##＝''外''×##内##|
|^ |*$$ F $$|*＝|*$$ \mu $ N $$|摩擦力 |＝ |摩擦係数|× |垂直抗力|##内##＝##内##×##内##|##内##＝##内##×##内##|
|^ |*$$ N $$|*＝|*$$ F $ l $$|モーメント|＝ |力 |× |距離 |##内##＝##内##×##内##|##内##＝##内##×''外''|
|^ |*$$ p $$|*＝|*$$ m $ v $$|運動量 |＝ |質量 |× |速度 |''外''＝''外''×##内##|''外''＝''外''×##内##|
|^ |*$$ I $$|*＝|*$$ F $ t $$|力積 |＝ |力 |× |時間 |''外''＝##内##×##内##|''外''＝##内##×''外''|
|^ |*$$ W $$|*＝|*$$ F $ x $$|仕事 |＝ |力 |× |変位 |''外''＝##内##×##内##|''外''＝##内##×''外''|
|^ |*$$ W $$|*＝|*$$ P $ t $$|仕事 |＝ |仕事率 |× |時間 |''外''＝##内##×##内##|''外''＝##内##×''外''|
|^ |*$$ P $$|*＝|*$$ F $ v $$|仕事率 |＝ |力 |× |速度 |##内##＝##内##×##内##|##内##＝##内##×##内##|
|*熱 |< |< |< | |＝ | |× | |< |< |t=:
|*tx: |*$$ C $$|*＝|*$$ m $ c $$|熱容量 |＝ |質量 |× |比熱 |##内##＝''外''×##内##|##内##＝''外''×##内##|
|^ |*$$ Q $$|*＝|*$$ C $ T $$|熱量 |＝ |熱容量 |× |温度 |''外''＝##内##×##内##|''外''＝##内##×##内##|
|^ |*$$ Q $$|*＝|*$$ m $ L $$|熱量 |＝ |質量 |× |溶解熱 |''外''＝''外''×##内##|''外''＝''外''×##内##|
|^ |*$$ F $$|*＝|*$$ p $ S $$|力 |＝ |圧力 |× |面積 |##内##＝##内##×##内##|##内##＝##内##×''外''|
|^ |*$$ W $$|*＝|*$$ p $ V $$|仕事 |＝ |圧力 |× |体積 |''外''＝##内##×##内##|''外''＝##内##×''外''|
|*電磁気|< |< |< | |＝ | |× | |< |< |t=:
|*tx: |*$$ F $$|*＝|*$$ q $ E $$|力 |＝ |電荷 |× |電場 |##内##＝''外''×##内##|##内##＝''外''×##内##|
|^ |*$$ U $$|*＝|*$$ q $ V $$|エネルギ |＝ |電荷 |× |電位 |''外''＝''外''×##内##|''外''＝''外''×##内##|
|^ |*$$ V $$|*＝|*$$ E $ x $$|電位 |＝ |電場 |× |変位 |##内##＝##内##×''外''|##内##＝##内##×''外''|
|^ |*$$ Q $$|*＝|*$$ C $ V $$|電荷 |＝ |電気容量|× |電圧 |''外''＝##内##×##内##|''外''＝##内##×##内##|
|^ |*$$ Q $$|*＝|*$$ I $ t $$|電荷 |＝ |電流 |× |時間 |''外''＝##内##×##内##|''外''＝##内##×''外''|
|^ |*$$ V $$|*＝|*$$ R $ I $$|電圧 |＝ |電気抵抗|× |電流 |##内##＝##内##×##内##|##内##＝##内##×##内##|
|^ |*$$ P $$|*＝|*$$ I $ V $$|電力 |＝ |電圧 |× |電流 |##内##＝##内##×##内##|##内##＝##内##×##内##|
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