1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
| | #freeze
/虚数正弦
%indent
公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫式組立術の原点である。
運よく隠された規則があって、それを見出せば、公式を簡単に組み立てることができる。
三角公式の場合は「$$ \iro[ak]- $$」や「$$ \csin $$」になるのには理由が必要だが、
答えはオイラーの公式$$ e^{\ci \theta} $ = $ \ccos \theta $ + $ \ci \csin \theta $$を使って
次のように$$ \csin $$と$$ \ccos $$を複素指数で表すときに現われる$$ \ci \csin $$に隠されている。
#ceq(e)
$$
\left\{ \begin{array}{l}
e^{+\bi \theta} = \ccos \theta + \ci \csin \theta \ffdstrut
\\ e^{-\bi \theta} = \ccos \theta - \ci \csin \theta \ffdstrut
\end{array} \right.
$$
⇒
$$
\left\{ \begin{array}{r}
\phantom{\ci} \ccos \theta = \ffd12 \big( e^{+\bi \theta} + e^{-\bi \theta} \big)
\\ \ci \csin \theta = \ffd12 \big( e^{+\bi \theta} - e^{-\bi \theta} \big)
\end{array} \right.
$$
#ceq(end)
これを使えば加法定理は次のように導ける。
#ceq(e)
$$ \phantom= $ \ccos(\alpha \pm \beta) $ + $ \ci \csin(\alpha \pm \beta)$$
#ceq(e)
$$ = $ e^{\bi(\alpha \pm \beta)} $$
#ceq(a)
オイラーの公式
#ceq(e)
$$ = $ e^{\bi \alpha} $ \cdot $ e^{\pm \bi \beta} $$
#ceq(a)
指数法則
#ceq(e)
$$ = $ ( $ \ccos \alpha $ + $ \ci \csin \alpha $ ) $ \cdot $ ( $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \beta $ ) $$
#ceq(a)
オイラーの公式
#ceq(e)
$$ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alpha $ \ci \csin \beta $ + $ \ci \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \alpha $ \ci \csin \beta $$
#ceq(a)
展開
#ceq(e)
$$ = $ ( $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \alpha $ \ci \csin \beta $ ) $ + $ ( $ \ci \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alpha $ \ci \csin \beta $ ) $$
#ceq(a)
実部と虚部の分離
#ceq(end)
実部と虚部を別々に比較して$$ \ci $$と$$ \csin $$がセットになっている$$ \ci \csin $$版の加法定理を得る：
#ceq(e)
$$ \phantom{\ci} \ccos(\alpha \pm \beta) $ = $ \phantom{\ci} \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \alpha $ \ci \csin \beta $$
#ceq(e)
$$ \ci \csin(\alpha \pm \beta) $ = $ \ci \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \phantom{\ci} \ccos \alpha $ \ci \csin \beta $$
#ceq(end)
さらに虚数単位を計算して、通常の加法定理を得る：
#ceq(e)
$$ \ccos(\alpha \pm \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \mp $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \pm \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)
表面的ではあるが、
$$ \ci \csin $$版の方では全て$$ \pm $$に統一しているのに対し、
通常版では$$ \pm $$の中に$$ \mp $$が１つだけ混ざっている。
ポイントは$$ \mp $$は$$ \ci^2 $$の計算結果である。
$$ \ci $$と$$ \csin $$が必ず一緒に動くため、$$ \csin^2 $$の前には必ず$$ \ci^2 $$があって、これが「$$ \iro[ak]- $$」に化ける。
このため、次の法則が成立する：
#ceq(e)
''正弦陰性則： $$ \csin $$が２つ掛け合わせる毎に、項の前に「$$ \iro[ak]- $$」が１つ増える''
#ceq(end)
次に、通常の三角公式は全て実数である。
複素数の式が実数の式になるには、「全ての項が純虚数」または「全ての項が実数」を満たす必要がある。
純虚数の項では$$ \ci $$の数は奇数、実数の項では$$ \ci $$の数は偶数になる。
これも$$ \ci $$と$$ \csin $$が必ず一緒に動くため、
$$ \ci $$に対して言えることは、$$ \csin $$の数に対しても言えて、次の法則が成立する：
#ceq(e)
''正弦奇偶則： 正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数」または「全て偶数」''
#ceq(end)
名前の問題。
従来の余弦$$ \ccos $$や正弦$$ \csin $$と区別のため、
猫式では$$ \ccos $$を''実数余弦''、略して''実弦''、$$ \ci \csin $$を''虚数正弦''、略して''虚弦''と呼ぶ。
本質の問題。
図１に示すように、余弦と正弦は、二次元平面上で考えようが、複素数平面上で考えようが、
実数値の座標値に過ぎない。
一方、
図２に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素数値そのものである。
複素数のことは全て複素数で考えるのが猫式の流派である。
$$ \csin $$を使った時点でそれが虚数である。
三角関数のように複素数が姿を現わさないところでも、
$$ \csin $$を$$ \ci\csin $$に書き換えてるだけで見えない世界が見えてくるようになる。
|c:|c:|c
|&attachref(./CosSinMap.png,35%); &br; 図１: $$ \csin $$と$$ \ccos $$|*
|&attachref(./1cosIsinMap.png,35%); &br; 図２: $$ \ci \csin $$と$$ \ccos $$|
|
|
![[PukiWiki]](image/NekoPunch.png "[PukiWiki]")
CosSinMap.png
1cosIsinMap.png
