射影空間における比の値 のソース

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* 背景 [#t460520f]
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;,数学には「比」という有用な概念があり、小学校から教えられる。
;,小学校では２項の比を扱い、割り算を以って比の値を定義する。
;,具体に、２つの数 $$ a $$ と $$ b $$ の比を $$ a $ : $ b $$ と書き、その値を $$ a $ \div $ b $$ とする。
 
;,他方、比は射影空間の元と一般化され、$$ b $$ が $$ 0 $$ の場合や、３項以上の連比も扱う。
;,$$ b $$ が $$ 0 $$ の場合はゼロ除算になるため、比の値が存在しないか $$ \infty $$ 扱いになる。
;,連比の場合は、比の値がベクトルとして扱われるし、ゼロ除算も正しく扱えるが一般的ではない。
 
;,以下では、比と比の値に関して整理し、３項以上の比の値について考える。
 
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* 単比（２項の比） [#l7437395]
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** 比 [#af3e2675]
 
;,直観的な定義は、２つの数$$ a $$と$$ b $$について、共通の数$$ k $$を両方に掛けても保つ関係を言う。
;,具体に、$$ a $ : $ b $$ と表記し、$$ a $ : $ b $ = $ ka $ : $ kb $$ が成り立つ関係を表す。
 
;,厳密な定義は、体 $$ K $$ 上の２次元射影空間 $$ KP_2 $$ として、
;,順序対と同値関係で $$ KP_2 $ = $ (K^2 - \{\:0\}) /:: $$ と定義される。
;,具体に、
- $$ a,b $ \in $ K $$ についてのベクトル $$ [a,b] $ \in $ K^2 $$ の内、
- 零ベクトル $$ \:0 $ = $ [0,0] $$ を除き、
- $$ \forall k \in K - \{0\} $ :\; $ [a,b] $ :: $ [ka, kb] $$ が同値関係
(($$ :: $$ は比例の古い表記 $$ a $ : $ b $ :: $ c $ : $ d $$ から取っている。))
((この同値関係は習慣的に$$ \sim $$で表記される場合が多い。))。
 
;,一番多用されるのは実数体上の射影空間$$ RP_2 $$。
;,有理数体と複素数体の上に成り立つ射影空間$$ QP_2 $$と$$ CP_2 $$も見かける。
;,例えば、
- 有理数の比： $$ \ffd23 $ : $ \ffd45 $$
- 　実数の比： $$ 1 : \sqrt2  $$
- 複素数の比： $$ (1+i) : (1-i) $$
 
;,他方、小学校で扱う「有理数」が負の数を含まないため、
;,有理数が体の要件を満たさず、その比も射影空間を為さない事実には細心の注意が必要である。
 
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** 比の値 [#o4316c05]
 
;,単比$$ a $ : $ b $$の値は、$$ a / b $$ と定義される場合が多い。
;,というのも、歴史的に除算と比の区別が無く、今でもフランスやドイツでは$$ a $ : $ b $$で割算を表す
((https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=62419?site=nli))。
;,日本では比と割算を表記上では区別するが、比の値で繋がっている
((「比の値」が学習指導要領で要求されている用語&br;　　ref: https://www.nier.go.jp/guideline/h28e/chap2-3.htm))
((昔は加比の理など比ならではの演算も扱うが、今は比の値の四則演算でできる範囲に留まっている。))。
 
;,なお、除算に関して、除数が$$ 0 $$の場合は未定義。
;,そのため、後項が$$ 0 $$の比$$ a:0 $$の値も未定義とされる場合が多い。
 
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** コンパクト化 ── １点コンパクト化 [#s8f02c38]
 
;,後項が$$ 0 $$の実数比に対応する実数値を定義できない不便さを補うのに、
;,実数に１点を$$ \infty $$追加したコンパクト化
((https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96))が有効である。
;,具体に、
#ceq(e)
  $$ b $ \neq $ 0 $$ならば
#ceq(c)
  $$ a:b $ = $ a/b $$、
#ceq(e)
  さもなければ
#ceq(c)
  $$ a:0 $ = $ \infty $$、
#ceq(d)
 
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** 図形的意味 ── 実射影直線 [#ne13ebdc]
 
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* 連比（３項以上の比） [#k51c7d27]
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** 比 [#s4e7d732]
 
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** 比の値 [#ne71cf70]
 
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** コンパクト化 [#da51569c]
 
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** 図形的意味 [#l5a6ed5d]
 
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