1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
| | /積分定数
%indent
;,$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
$$ f $$が$$ x $$の関数''でない''場合に何も書けないのが世の不思議。
;,「関係がない」だからって「書くまでもない」と思ってはいけない。
;,「関数でない=定数である」も立派な関係である。
;,そこで、凌宮数学では「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記する。
;,$$ F $$が$$ x $$の関数であることを表す$$ F(x) $$に、
否定の意味で使われるオーバーラインを付けた表記となっている。
;,積分定数は名前通り、定数である。
;,不定積分の計算では必ず現れ、「ただし」と書くお約束である。
#ceq(e)
$$ \int f(x) \,dx $ = $ F(x) $ + $ C $$ (ただし、$$ C $$ は積分定数)
#ceq(end)
;,凌宮数式の定数表記を使うと、とりあえず次のように書ける。
#ceq(e)
$$ \int f(x) \,dx $ = $ F(x) $ + $ C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
;,ここで、積分と微分の関係から、$$ C \overline{(x)} $$は$$ \ddd{C}{x} $ = $ 0 $$を意味すると理解しても良い。
;,問題は多変数関数の場合。
#ceq(e)
$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$
#ceq(end)
;,理系の大学生はこれを見せられる上、
「$$ g(y) $$は任意''関数''」や「$$ g(y) $$は$$ y $$だけの''関数''」のような但し書きを教わる。
;,そして「1変数のときと同じよね」と言われる。
;,この謎の''関数''$$ g(y) $$ が積分''定数''$$ C $$に対応するのは位置で勘ぐれなくもないが、
;,これで何がどう同じなのかまで分かれというのは無茶な話。
;,1変数関数と多変数関数で、一体何が同じで、何が異なるのかは、こんな表で考えれば良い:
|*l:表1:$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$の$$C$$と変数の関係|<|<|h
|c: |c: |c: |c
|*## ##|*$$C$$は$$x$$の定数|*$$C$$は$$x$$の関数|
|* |◎ |× |
|*tx: |^ |^ |
|*l:表2:$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$の$$g$$と変数の関係|<|<|h
|c: |c: |c: |c
|*## ##|*$$\spc{C}{g}$$は$$x$$の定数|*$$\spc{C}{g}$$は$$x$$の関数|
|*$$g$$は$$y$$の定数 |◎ |× |
|*$$g$$は$$y$$の関数 |◎ |× |
;,つまり、$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることであって、$$ y $$の関数かどうかではない
((厳密には「$$ y $$の関数」の特殊例として「$$ y $$の定数」が含まれる。そう言う意味では、そもそも「''定数である''」と「''定数でない''」で議論すべき。))
;,この事実を素直に定数表記で表現すると次のようになる:
#ceq(e)
1変数:$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y} = F(x) \phantom{,y} + C \overline{(x)} $$
#ceq(e)
2変数:$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
被積分関数$$ f $$が1変数の$$ f(x) $$から2変数の$$ f(x,y) $$に変わっていることを除けば、少なくとも見た目は同じである。
さらに同じ部分を抜き出すと、より洗練された記述が得られる:
#ceq(e)
$$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分すれば、$$ x $$の積分定数が現る。
#ceq(end)
これこそ何変数でも成り立つ不定積分のあるべき姿。
%bodynote
|