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| | %indent
;,定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている:
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(end)
;,定数係数の1階線形常微分方程式は微分で定義される多くの分野で現れるため、
;,「変数分離法&定数変化法」
((EMANの物理学>物理数学>微分方程式>一階線形微分方程式: http://homepage2.nifty.com/eman/math/differential07.html))という定番解法が大学入学早々叩き込まれる。
;,変数分離法と定数変化法では解けることができても、直観的に解を得るのは難しい。
;,その上、高階の方程式を解くのに1階の解が多用されるため、ほぼ丸暗記する羽目になる。
;,例えば$$ D $ \equiv $ \ddd{}{x} $$とする演算子法では、逆演算子$$ \ffd{1}{D+a} $$の形で暗記対象になる
((EMANの物理学>物理数学>微分方程式>演算子法: http://homepage2.nifty.com/eman/math/differential12.html))
:
#ceq(e)
$$ (D+a) $ y $ = $ R $$ ⇔ $$ y $ = $ (D+a)^{-1} $ R $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(end)
;,これに対し、凌宮数学では直観を重視する演算子法を拡張し、
;,指数変換演算子$$ E_a $$を導入して、$$ (D+a) $$の$$ +a $$に単純な意味を与え、
;,高階の常微分方程式に繋げやすい解法を与える。
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
⇔ $$ (D + a) $ y $ = R $$
#ceq(e)
⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(end)
%bodynote
;,一般に、微分$$ D $ y $ = $ R $$に対し、不定積分$$ y $ = $ \int $ R $ dx $$が定義される。
;,このため、微分演算$$ D $$の逆演算$$ D^{-1} $$は不定積分$$ \int $$〜$$ dx $$となる。
;,定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式の積分を$$ D^{-1} $$で書き換えると:
#ceq(e)
$$ y $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} $ D^{-1} $ (\iro[ao]{e^{ax}} R) $$
#ceq(end)
;,このため、$$ D+a $$の逆演算子である$$ (D+a)^{-1} $$は形式的に次のように分解できる:
#ceq(e)
$$ (D+a)^{-1} $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} $ D^{-1} $ (\iro[ao]{e^{ax}} \ast) $$
#ceq(end)
;,問題は、$$ \ast $$と書いている箇所に$$ R $$が入るが、これを簡単に省けない。
;,$$ D^{-1} $$は$$ e^{ax} $$と$$ \ast $$の両方に掛かるが、$$ D^{-1} $ e^{ax} $$と書いた場合は$$ e^{ax} $$だけの積分に化けてしまう。
;,このため、積分対象を簡潔にかつ正しく記述するには、$$ e^{ax} $$も演算子にする必要がある。
;,$$ E_a $ = $ e^{ax} $$と指数変換演算子を定義すると、
;,$$ E_a $$は必ず何かに作用し、$$ D^{-1} $ E_a $$だけで$$ D^{-1} $ (e^{ax} \ast) $$を表現できるようになる。
;,$$ E_a $$を使えば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{\pm a} $$の演算子チェーンとして記述できる:
#ceq(e)
$$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_{-a}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(end)
;,さらに、$$ E_a $$は$$ e^{ax} $$の掛算であるため、逆演算子$$ E_a^{-1} $$は$$ e^{ax} $$の逆数の掛算となる:
#ceq(e)
$$ E_a^{-1} $ = $ (e^{ax})^{-1} $ = $ e^{-ax} $ = $ E_{-a} $$
#ceq(end)
これを利用すれば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{a} $$だけの演算子チェーンとして記述できる:
#ceq(e)
$$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(end)
;,意味は、$$ E_a $$で''指数変換''してから、''積分''して、$$ E_a $$の''逆変換''を掛ける、と読める。
;,$$ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $$の逆演算を取ると、$$ (D+a) $$が得られる:
#ceq(e)
$$ ( $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ )^{-1} $$
#ceq(e)
= $$ (E_a)^{-1} $ (D^{-1})^{-1} $ (E_a^{-1})^{-1} $$
#ceq(a)
チェーンの逆演算は、各演算子の逆演算を逆順に並び
(($$FGx=y$$を纏めて飛ばすと$$x=(FG)^{-1}y $$になるが、1つずつ飛ばすと$$FGx=y$$ ⇒ $$Gx=F^{-1}y$$ ⇒ $$x=G^{-1}F^{-1}y$$。))
#ceq(e)
= $$ E_a^{-1} $ D $ E_a $$
#ceq(a)
逆演算の逆演算は正演算
#ceq(end)
;,意味は、$$ E_a $$で''指数変換''してから、''微分''し、''逆変換''を掛ける、と読める。
;,ポイントは$$ D^{-1} $$が正演算に戻るだけで、$$ E_a^{-1} $$と$$ E_a $$に関しては変わりが無い。
#ceq(e)
$$ (D+a)^{\phantom{+1}} $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{\phantom{+1}} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(a)
指数変換→微分→逆変換
#ceq(e)
$$ (D+a)^{-1} $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(a)
指数変換→積分→逆変換
#ceq(end)
%bodynote
;,以上を纏めると、演算子分解法を使えば、定数係数1階数線形常微分方程式を以下のように解ける:
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
式1:常微分演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
式2:定数係数1階線形常微分演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D $ \iro[ao]{E_a} $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
式3:演算子分解
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $ R $$
#ceq(a)
式4:逆演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} \!\!\int\!\! \iro[ao]{e^{ax}} $ R $ dx $$
#ceq(a)
式5:通常表記に復元
#ceq(end)
%bodynote
上記式3を式4に書き換える途中、先頭の$$ E_a^{-1} $$だけを逆演算子に書き換えると式3’が得られる:
#ceq(e)
$$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
式2
#ceq(e)
⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(a)
式3’:$$ E_a^{-1} $$のみを逆演算子に書き換えた状態
#ceq(end)
;,式2と式3'を見比べれば、
;.$$ y $$と$$ R $$に関する''定数係数1階線形常微方程式は、''
;,''指数変換を施した''$$ E_a $ y $$と$$ E_a $ R $$に関する''定数項無しの微分方程式である''と解釈できる。
この考え方に基づくと、解答は次のように変る。
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
式1:常微分演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
式2:定数係数1階線形常微分演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(a)
式3’:定数係数無しの微分方程式に読み替え
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ R $$
#ceq(a)
式4:逆演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} \!\!\int\!\! e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
式5:通常表記に復元
#ceq(end)
%bodynote
;,$$ D $ = $ \ddd{}{x} $$と置けば1階線形常微分方程式を$$ (D+a) $ y $ = $ R $$に書き換えるのは容易だろう。
;,その先、$$ (D+a)^{-1} $ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$と答えを丸暗記するよりは、
;,段階的に$$ E_a^{-1} $ D $ E_a $ y $ = $ R $$と分解してから個別に逆演算に直す方が覚えやすく、
;,$$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$と両辺の指数変換$$ E_a $$を経ての$$ D $$と覚える方が理屈を付けやすいだろう。
;,$$ D+a $$に対し$$ E_a $$と$$ D $$しか登場しなければ、$$ E_a^{-1} $$と$$ E_a $$の順番を覚える必要が無くなる。
;,小さいことではあるが、片方に付くが他方に付かない「-1」などは、混乱の元でしか無い。
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