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偏微分と常微分の違いは、定義式から「固定する変数の有無」と言うのがお墨付きの答えである。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
#ceq(end)
ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」である。
 
しかし、その違いは「関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分のまま変わらない」ようにも見える。
実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その場合の偏微分は常微分と一致する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
#ceq(end)
 
このため、偏微分と常微分の違いを説明するには、
同一の多変数関数に対し$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \neq $ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$を示す必要がある。
 
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* 偏微分と常微分の違い [#ub89104e]
 
準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定義される全微分$$ df $$について考える。
#ceq(e)
    $$ \;df\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} $ \;dy\; $$
#ceq(end)
ここで、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$であれば、$$ f $ = $ f(x(t), y(t)) $$と、$$ t $$の関数に書き換えられる。
このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在し、次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    ;.　((偏微分を駆け足で学ぶ人には、恐らくこれが同一の関数に対して$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する最初の式で、混乱が始まりである。))
#ceq(end)
ここまでは多くのテキストで述べられている。
これを利用し、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$を揃えるには、$$ f(x(t), y(t), t) $$
((この関数は、[[EMANの物理学/解析力学/全微分>http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/total_dif.html]]で偏微分と常微分の違いを説明するのに用いられている。ページ自体は全微分の話で、偏微分と常微分の違いはその一番最後の節で述べられている。))
のような$$ t $$を含む関数を考える必要がある。
 
まず、$$ f(x, y, t) $$から、$$ f $$の全微分は次のよう書ける。
#ceq(e)
    $$ \;df\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} $ \;dy\; $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ \;dt\; $$
#ceq(end)
次ぎに、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$を代入すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数に化ける
((この時点で、$$ f $$は、$$ x $$と$$ y $$に関する２変数関数でありながら、$$ t $$に関する１変数関数にもなっている。変数の数が絶対的でなくなっている点に注意。))。
このため、常微分が存在し、式の両辺を$$ dt $$で割ることで$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$を作り出せる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず、「偏微分と常微分は違う」という結論に至る。
#ceq(e)
    $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
#ceq(end)
 
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* 偏微分と偏微分の違い [#ub89104e]
 
偏微分と常微分の違いは前節の通りである。
しかし、これは一見良さそうだが、式の意味を読み取ろうとすると偏微分の矛盾が見えてくる
((注意：飽くまでも偏微分の矛盾である。EMANの物理の説明自体は、現在使われている偏微分の説明としては正しい。))。
 
例えば、$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数に化けられるなら、
冒頭で述べたように１変数関数を多変数関数の特例と見なせて、常微分と等価な青い偏微分が存在することになる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$　　（$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数）
#ceq(end)
これに、前節で得た$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$を合わせると、次の矛盾が得られる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
 
 
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* 色んな$$ \ppd{f}{t} $$ [#dea0c3af]
 
条件を少し変えて、中途半端な$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。
「$$ x(t) $$と書いていたが、実は$$ x $$に$$ t $$が含まれて無く、$$ y $$だけに$$ t $$が含まれていた」という話。
 
すると、$$ f(x, y, t) $$であることに変わらないため、次の全微分も変わらず成立する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
しかし、今度は$$ f $$に$$ y $ = $ y(t) $$を代入しても$$ t $$だけの関数にはならない。
代わりに$$ f $$は$$ x $$と$$ t $$に関する２変数関数になるため、次の全微分が成り立つ。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
問題は、この紫の偏微分は赤い偏微分と別物で、両式を比較すると以下の関係が得られる。
#ceq(e)
    ;.　　　　　　　　$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
それも、$$ f $$が$$ y $$の影響を、$$ y $$が$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$の関係を持つ。
 
同様に代入の加減をすれば、赤、紫、青以外にも、色んな偏微分を作ることができる。
 
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* 直感的な説明：偏微分の数え方 [#kdd3351c]
 
以下では、偏微分の矛盾を$$ f $ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$という具体例を用いて、直観的に纏めてみる。
 
まず、$$ f $$に$$ x $ = $ 2t $$と$$ y $ = $ 3t $$を少しずつ代入すると次の変形が得られる。
#ceq(e)
    $$ f $$
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$
#ceq(a)
    与式
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{1y} $ + $ \iro[pk]{6t} $$
#ceq(a)
    $$ y $ = $ 3t $$を用いて、１つの$$ y $$を$$ 3t $$に変換
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ \phantom+ $ \iro[mr]{9t} $$
#ceq(a)
    もう１つの$$ y $$も$$ 3t $$に変換
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \phantom{1x}\!\!\! $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ \phantom+ $ \iro[ao]{11t} $$
#ceq(a)
    $$ x $ = $ 2t $$を用いて、$$ x $$を$$ 2t $$に変換
#ceq(end)
 
それぞれの式から次の偏微分が考えられる：
#ceq(e)
    $$ f $$
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ak]{3} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{1y} $ + $ \iro[pk]{6t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[pk]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[pk]{6} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ + $ \iro[mr]{9t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[mr]{9} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \phantom{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y}\!\!\! $ \phantom+ $ \iro[ao]{11t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ao]{11} $ = $ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
#ceq(end)
 
その気になれば無数の偏微分を作れる。例えば、こんな色のも作れる。
#ceq(e)
    $$ f $$
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{-1x} $ \phantom+\!\!\!\! $ \phantom{1y}\!\!\! $ + $ \iro[mz]{13t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[mz]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[mz]{13} $$
#ceq(end)
 
纏めると：
+ 式変形により$$ t $$の数を自由に変えられる
+ それぞれの数に対して特色のある偏微分を作れる
+ $$ t $$以外に文字が無いときの偏微分が常微分である
 
これが凌宮数学の視点から見た偏微分と常微分である。
 
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* まとめ・つなぎ [#ca86b0a5]
 
多くの場合、赤い偏微分と青い偏微分しか使われないため、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$で区別できる。
ただ、他の偏微分に気づいた人から混乱が始まる。
 
この混乱を無くすには、色んな偏微分を厳密に書き分け、正しく整理する必要がある。
そうすれば、自ずと偏微分と常微分を一貫した表記で書けるようになる。
また、書き表せないものを書けるようになったとき、新しい発想ができるようになるかもしれない。
 
実際、熱力学では赤と青の他、紫に相当する偏微分も登場する。
そのため、$$ \ppd{f}{t} $$よりも強力な偏微分表記が用いられている。
それでも全ての偏微分を書き分けるには不十分であるが、
次回は、その強力な表記を通じて偏微分の意味について確認しておく。
 
//$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} \neq \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
偏微分/偏微分と常微分の違い のソース

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