余微分によるラプラシア表記 のソース

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%indent
* 概要 [#sa3e2b20]
* 計算 [#td74e6cf]
*** 3次元空間における1形式のラプラシアン [#i4b508fc]
//$$
//    \arrb[cc|cc]{
//        \:e_x &       &  F_x
//     \\ \:e_y & \:e_z &  F_y & F_z
//    }
//$$
;,$$ \:f $ := $ f_x $ \:e_x $ + $ f_y $ \:e_y $ + $ f_z $ \:e_z $ = $$
  $$
      \arrb{
          f_x & \:e_x
       \\ f_y & \:e_y
       \\ f_z & \:e_z
      }
  $$
  として、
;,$$ \bigtriangleup $ \:f $ := $ \grad $ \diver $ \:f $ - $ \rot $ \rot $ \:f $$を計算する。
 
$$ \bigtriangleup $ \:f $ = $ \grad $ \diver $ \:f $ - $ \rot $ \rot $ \:f $$
#ceq(e)
#ceq(e)
  $$ = $ \:\nabla $ ( $ \:\nabla $ \sx $ \:f $ ) $ - $ \:\nabla $ \vx $ ( $ \:\nabla $ \vx $ \:f $ ) $$
#ceq(e)
  $$ = $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{}{x} & \:e_x
     \\ \ppd{}{y} & \:e_y
     \\ \ppd{}{z} & \:e_z
    }
  $$
  $$ \left(\rule{0pt}{4em}\right. $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{}{x} & \:e_x
     \\ \ppd{}{y} & \:e_y
     \\ \ppd{}{z} & \:e_z
    }
  $$
  $$ \Sx $$
  $$
    \arrb{
        f_x & \:e_x    \ffdstrut
     \\ f_y & \:e_y    \ffdstrut
     \\ f_z & \:e_z    \ffdstrut
    }
  $$
  $$ \left)\rule{0pt}{4em}\right. $$
  $$ - $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{}{x} & \:e_x
     \\ \ppd{}{y} & \:e_y
     \\ \ppd{}{z} & \:e_z
    }
  $$
  $$ \vx $$
  $$ \left(\rule{0pt}{4em}\right. $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{}{x} & \:e_x
     \\ \ppd{}{y} & \:e_y
     \\ \ppd{}{z} & \:e_z
    }
  $$
  $$ \vx $$
  $$
    \arrb{
        f_x & \:e_x    \ffdstrut
     \\ f_y & \:e_y    \ffdstrut
     \\ f_z & \:e_z    \ffdstrut
    }
  $$
  $$ \left)\rule{0pt}{4em}\right. $$
#ceq(e)
  $$ = $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{}{x} & \:e_x
     \\ \ppd{}{y} & \:e_y
     \\ \ppd{}{z} & \:e_z
    }
  $$
  $$
    \arrb{ 
        \ppd{f_x}{x} 
      + \ppd{f_y}{y}
      + \ppd{f_z}{z}
      & \:1 \rule[-3.5em]{0pt}{7.5em}
    }
  $$
  $$ - $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{}{x} & \:e_x
     \\ \ppd{}{y} & \:e_y
     \\ \ppd{}{z} & \:e_z
    }
  $$
  $$ \vx $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} & \:e_x 
     \\ \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} & \:e_y 
     \\ \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} & \:e_z 
    }
  $$
#ceq(e)
  $$ = $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{}{x} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{x} \ppd{f_z}{z} & \:e_x
     \\ \ppd{}{y} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_z}{z} & \:e_y
     \\ \ppd{}{z} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{z} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{z} & \:e_z
    }
  $$
  $$ - $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{}{y} \Big( \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} \Big) - \ppd{}{z} \Big( \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} \Big) & \:e_x 
     \\ \ppd{}{z} \Big( \ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} \Big) - \ppd{}{x} \Big( \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} \Big) & \:e_y 
     \\ \ppd{}{x} \Big( \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} \Big) - \ppd{}{y} \Big( \ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} \Big) & \:e_z 
    }
  $$
#ceq(e)
  $$ = $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{}{x} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{x} \ppd{f_z}{z} & \:e_x
     \\ \ppd{}{y} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_z}{z} & \:e_y
     \\ \ppd{}{z} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{z} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{z} & \:e_z
    }
  $$
  $$ - $$
  $$
    \arrb{
        \ppd{}{y} \ppd{f_y}{x} - \ppd{}{y} \ppd{f_x}{y} - \ppd{}{z} \ppd{f_x}{z} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{x} & \:e_x 
     \\ \ppd{}{z} \ppd{f_z}{y} - \ppd{}{z} \ppd{f_y}{z} - \ppd{}{x} \ppd{f_y}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_x}{y} & \:e_y 
     \\ \ppd{}{x} \ppd{f_x}{z} - \ppd{}{x} \ppd{f_z}{x} - \ppd{}{y} \ppd{f_z}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{z} & \:e_z 
    }
  $$
#ceq(d)