1階線形常微分演算子
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* 凌宮表記術:$$ F $$の線形微分: $$ D._a \,y \equiv \big...
定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式は次のように...
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-ax...
#ceq(end)
;,定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、
;,微分演算子$$ D $ \equiv $ \ddd{}{x} $$による演算子法が...
#ceq(e)
$$ (D+a) $ y $ = $ R $$ ⇔ $$ y $ = $ (D+a)^{-1} $ R $$
#ceq(end)
;,微分演算子$$ D $$を使えば、微分方程式が簡潔になり、扱い...
;,しかし、上記の通り、演算子法の要は合成された微分演算子$...
;,特に$$ (D+a)^{-1} $$を計算する際、不定積分を意味する$$ ...
;,これに対し、凌宮数学では、$$ (D+a) $$を纏めて1つの演算...
;,((凌宮数学では演算子であることを明示するため、前置演算...
#ceq(e)
1階線形常微分演算子: $$ D._a $ \equiv $ \ddd{}{x} $ ...
#ceq(e)
1階線形常微分方程式: $$ D._a $ y $ = $ R $$ ⇔ $$ y...
#ceq(end)
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* $$ D_a $$と$$ D_0 $ = $ D $$の相互変換 [#x1878c34]
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** 指数変換演算子: $$ E_a $ = $ e^{ax} $$ [#ja535ebe]
;,前述の通り、$$ D_a^{-1} $$を計算するには、不定積分を意...
;,その変換方法は、解の公式から簡単に分かる。
;,まず、$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
;,不定積分を$$ D._0^{-1} $$に直すと、$$ y $ = $ e^{ax} $ ...
;,これと、$$ D._a $$で記述される解$$ y $ = $ D._a^{-1} $ ...
#ceq(e)
$$ D._a^{-1} $ = $ e^{-ax} $ D._0^{-1} $ e^{ax} $$
#ceq(end)
;,この変換式は、$$ D_a^{-1} $$を$$ e^{-ax} $$、$$ D_0^{-1...
;,そこで、凌宮数学では、$$ e^{ax} $$を指数変換演算子とし...
#ceq(e)
$$ E_a $ \equiv $ e^{ax} $$
#ceq(end)
;,一方で、$$ e^{-ax} $$は自ずと$$ a $$を$$ -a $$に置換し...
;,さらに、$$ E_a $ E_{-a} $ = $ e^{ax} $ e^{-ax} $ = $ 1 ...
#ceq(e)
$$ E_a^{-1} $ = $ E_{-a} $$
#ceq(end)
;,指数変換演算子を使えば、複合的な演算子$$ D_a^{-1} $$を...
#ceq(e)
$$ D_a^{-1} $ = $ E_{-a} $ D_0^{-1} $ E_{a} $$
#ceq(end)
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** 線形微分演算子と指数変換演算子の通過則(交換則) [#p47...
;,これまで、方程式の解に着目し、逆微分演算子$$ D_a $$と$$...
;,そこで、$$ (D_a^{-1})^{-1} $ = $ D_a $$の関係より、正変...
#ceq(e)
$$ D_a $$
#ceq(c)
$$ (D_a^{-1})^{-1} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ ( $ E_{-a} $ D_0^{-1} $ E_{a} $ )^{-1} $$
#ceq(a)
逆演算子$$ D_a^{-1} $$を分解
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ (E_{a})^{-1} $ (D_0^{-1})^{-1} $ (E_{-a})^{-1} $$
#ceq(a)
演算子は一般的に非可換のため、逆順に並ぶ
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ E_{-a} $ D_0 $ E_{a} $$
#ceq(end)
* [#wc5ce8c9]
未知関数$$ y $$と既知関数$$ R $$に着目すると、原方程式と...
- 原方程式は、未知関数$$ y $$に対し微分を含む操作を施すと...
- 解の公式は、既知関数$$ R $$に対し微分を含む操作を施すと...
そうすると、上記解答は次のように見える:
#ceq(e)
$$ \ddd{}{x} $ + $ a $ y $ = $ R $$
#ceq(e)
$$ D_a $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
原方程式
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} $ \ddd{}{x} $ + $ ae^{ax} $ y $ = $ e^{ax}...
#ceq(a)
両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^{ax})}{x} $ y $...
#ceq(a)
積の微分に嵌める(不定積分を実行)
#ceq(e)
⇔ $$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
1つの微分に纏める(部分積分を実行)
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} y $ = $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
積分する
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
#ceq(end)
;,上記の解き方では、$$ y $$と$$ R $$では単純な微分・積分...
;,一旦$$ uy $ = $ e^{ax} y $$と$$ e^{ax} R $$に変換してか...
;,そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ ...
- $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$が$$ y $$から$$ R $$へ...
- $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$は$$ R $$...
- 互いに逆演算
- ;,線形微分演算子$$ D_a $$を$$ D_a $ y $ \equiv $ \b...
- ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$を$$ \,I_a $ R $ \equiv $ e^...
- ;,$$ D_a $ \iro[gy]y $ = $ \iro[gy]R $$ ⇔ $$ \iro[gy]y ...
- ;,演算子として$$ D_a^{-1} $ = $ I_a $$
* 【編集中】 [#wb82b5bd]
- 問題: 定数係数2階線形常微分方程式の解法が覚えにくい
-- 場合分けを3つ覚える羽目になる
-- $$ y $ = $ e^{\lambda x} $$と置きながら$$ y $ = $ x $ ...
- 現状: 1階線分常微分演算子を2回適応すれば全て解決
-- 1階線形常微分方程式を演算子法の見方で捕らえられれば良い
- 依存関係:
-- 2階線形常微分方程式の基本的解法
-- 2階線形常微分演算子
-- 1階線形常微分演算子×2回に変換
-- 1階線形常微分演算子を定義
-- 1階線形常微分演算子の逆演算子を1階線形常''積''分演算...
-- 1階線形常積分演算子×2回を適応
- 確認事項:
-- 1階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
-- 2階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
- 展望:
-- 高階線形常微分方程式の演算子法
-- 演算子法の限界
終了行:
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* 凌宮表記術:$$ F $$の線形微分: $$ D._a \,y \equiv \big...
定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式は次のように...
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-ax...
#ceq(end)
;,定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、
;,微分演算子$$ D $ \equiv $ \ddd{}{x} $$による演算子法が...
#ceq(e)
$$ (D+a) $ y $ = $ R $$ ⇔ $$ y $ = $ (D+a)^{-1} $ R $$
#ceq(end)
;,微分演算子$$ D $$を使えば、微分方程式が簡潔になり、扱い...
;,しかし、上記の通り、演算子法の要は合成された微分演算子$...
;,特に$$ (D+a)^{-1} $$を計算する際、不定積分を意味する$$ ...
;,これに対し、凌宮数学では、$$ (D+a) $$を纏めて1つの演算...
;,((凌宮数学では演算子であることを明示するため、前置演算...
#ceq(e)
1階線形常微分演算子: $$ D._a $ \equiv $ \ddd{}{x} $ ...
#ceq(e)
1階線形常微分方程式: $$ D._a $ y $ = $ R $$ ⇔ $$ y...
#ceq(end)
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* $$ D_a $$と$$ D_0 $ = $ D $$の相互変換 [#x1878c34]
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** 指数変換演算子: $$ E_a $ = $ e^{ax} $$ [#ja535ebe]
;,前述の通り、$$ D_a^{-1} $$を計算するには、不定積分を意...
;,その変換方法は、解の公式から簡単に分かる。
;,まず、$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
;,不定積分を$$ D._0^{-1} $$に直すと、$$ y $ = $ e^{ax} $ ...
;,これと、$$ D._a $$で記述される解$$ y $ = $ D._a^{-1} $ ...
#ceq(e)
$$ D._a^{-1} $ = $ e^{-ax} $ D._0^{-1} $ e^{ax} $$
#ceq(end)
;,この変換式は、$$ D_a^{-1} $$を$$ e^{-ax} $$、$$ D_0^{-1...
;,そこで、凌宮数学では、$$ e^{ax} $$を指数変換演算子とし...
#ceq(e)
$$ E_a $ \equiv $ e^{ax} $$
#ceq(end)
;,一方で、$$ e^{-ax} $$は自ずと$$ a $$を$$ -a $$に置換し...
;,さらに、$$ E_a $ E_{-a} $ = $ e^{ax} $ e^{-ax} $ = $ 1 ...
#ceq(e)
$$ E_a^{-1} $ = $ E_{-a} $$
#ceq(end)
;,指数変換演算子を使えば、複合的な演算子$$ D_a^{-1} $$を...
#ceq(e)
$$ D_a^{-1} $ = $ E_{-a} $ D_0^{-1} $ E_{a} $$
#ceq(end)
%bodynote
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** 線形微分演算子と指数変換演算子の通過則(交換則) [#p47...
;,これまで、方程式の解に着目し、逆微分演算子$$ D_a $$と$$...
;,そこで、$$ (D_a^{-1})^{-1} $ = $ D_a $$の関係より、正変...
#ceq(e)
$$ D_a $$
#ceq(c)
$$ (D_a^{-1})^{-1} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ ( $ E_{-a} $ D_0^{-1} $ E_{a} $ )^{-1} $$
#ceq(a)
逆演算子$$ D_a^{-1} $$を分解
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ (E_{a})^{-1} $ (D_0^{-1})^{-1} $ (E_{-a})^{-1} $$
#ceq(a)
演算子は一般的に非可換のため、逆順に並ぶ
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ E_{-a} $ D_0 $ E_{a} $$
#ceq(end)
* [#wc5ce8c9]
未知関数$$ y $$と既知関数$$ R $$に着目すると、原方程式と...
- 原方程式は、未知関数$$ y $$に対し微分を含む操作を施すと...
- 解の公式は、既知関数$$ R $$に対し微分を含む操作を施すと...
そうすると、上記解答は次のように見える:
#ceq(e)
$$ \ddd{}{x} $ + $ a $ y $ = $ R $$
#ceq(e)
$$ D_a $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
原方程式
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} $ \ddd{}{x} $ + $ ae^{ax} $ y $ = $ e^{ax}...
#ceq(a)
両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^{ax})}{x} $ y $...
#ceq(a)
積の微分に嵌める(不定積分を実行)
#ceq(e)
⇔ $$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
1つの微分に纏める(部分積分を実行)
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} y $ = $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
積分する
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
#ceq(end)
;,上記の解き方では、$$ y $$と$$ R $$では単純な微分・積分...
;,一旦$$ uy $ = $ e^{ax} y $$と$$ e^{ax} R $$に変換してか...
;,そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ ...
- $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$が$$ y $$から$$ R $$へ...
- $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$は$$ R $$...
- 互いに逆演算
- ;,線形微分演算子$$ D_a $$を$$ D_a $ y $ \equiv $ \b...
- ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$を$$ \,I_a $ R $ \equiv $ e^...
- ;,$$ D_a $ \iro[gy]y $ = $ \iro[gy]R $$ ⇔ $$ \iro[gy]y ...
- ;,演算子として$$ D_a^{-1} $ = $ I_a $$
* 【編集中】 [#wb82b5bd]
- 問題: 定数係数2階線形常微分方程式の解法が覚えにくい
-- 場合分けを3つ覚える羽目になる
-- $$ y $ = $ e^{\lambda x} $$と置きながら$$ y $ = $ x $ ...
- 現状: 1階線分常微分演算子を2回適応すれば全て解決
-- 1階線形常微分方程式を演算子法の見方で捕らえられれば良い
- 依存関係:
-- 2階線形常微分方程式の基本的解法
-- 2階線形常微分演算子
-- 1階線形常微分演算子×2回に変換
-- 1階線形常微分演算子を定義
-- 1階線形常微分演算子の逆演算子を1階線形常''積''分演算...
-- 1階線形常積分演算子×2回を適応
- 確認事項:
-- 1階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
-- 2階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
- 展望:
-- 高階線形常微分方程式の演算子法
-- 演算子法の限界
ページ名:
xu基底系.png
6318件
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詳細
]
xu座標系.png
6327件
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詳細
]
x座標系.png
6433件
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詳細
]
2ApplePlate.png
333件
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]
Apple.png
611件
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詳細
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符号ix(ixj).png
363件
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詳細
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符号Ax(BxC).png
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詳細
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682件
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詳細
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符号判定Ax(BxC).png
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詳細
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PerpPerp.png
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BxC.png
840件
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AxBxC+-.png
412件
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Ax(BxC).png
1000件
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詳細
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Ax(BxC)+-.png
399件
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詳細
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原子半径の温度変化.jpg
1121件
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詳細
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密度の温度変化.jpg
899件
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詳細
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添字付き関数名.png
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添字式.png
442件
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根号式.png
420件
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分数式.png
421件
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
475件
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詳細
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
491件
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ベクトル除算.png
606件
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]
基底除算.png
618件
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立方体.jpg
149件
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]
中2文教P12図.PNG
547件
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ffd_p_q_2d.gif
300件
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詳細
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ffd_p_q.gif
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正弦減法.png
505件
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348件
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dyfrdceqtan.png
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xの差.png
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f=0y+9t.png
450件
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f=1y+6t.png
631件
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f=2y+3t.png
492件
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詳細
]
微小座標系.png
5996件
[
詳細
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偏微分の多義性.png
5791件
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HennBibunnAll.png
5773件
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