1階線形常微分方程式
をテンプレートにして作成
[
凌宮
|
数学
|
一覧
|
検索
|
最新
] [
ソース
]
開始行:
%indent
/////////////////////////////////////////////////////////...
* $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ [#u62f0746]
;,1階線形常微分方程式は$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$の形をし...
;,ここで、$$ y $$と$$ R $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ R...
;,左辺が1階常微分$$ \ddd{y}{x} $$と(0階常微分)$$ y $$...
;,解の公式は次の積分式で与えられる:
#ceq(e)
定数係数: $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ ⇒ $$ y $ = ...
(($$ y $ = $ e^{-ax} $ \Big( $ \int $ e^{ax} R dx $ + $...
#ceq(e)
変数係数: $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ ⇒ $$ y $ = ...
#ceq(end)
;,暗記さえできれば、定数係数で1階の線形な常微分方程式に...
;,しかし問題は、丸暗記では前後に習得する知識と繋がらず、...
;,特に、直後に学ぶ定数係数''2''階線形常微分方程式は、''...
;,これらに対し、凌宮数学では、2階ないし$$ N $$階の線形常...
;,学習済み知識に基づいた1階線形常微分方程式の''もう少し...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 考え方 [#x7399926]
////////////////////////////////
** 積分で解く [#hf246f9e]
;,一般に、ある関数$$ F $ = $ F(x) $$の常微分$$ \ddd{F}{x}...
((ここで、「解ける」とは「微分を無くせる」つまり「微分...
#ceq(e)
$$ \ddd{F}{x} $ = $ f $$ ⇔ $$ F $ = $ \int f dx $$(($...
#ceq(end)
;,$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$の場合は、左辺$$ \ddd{...
;,そのため、まずは$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$の「$$ + $$」...
%bodynote
////////////////////////////////
** 1つの微分に纏める [#s0c1fc1c]
;,「$$ + $$」を消すには、等号の片方に「$$ + $$」が1つ、...
;,高校範囲で探す限り、等号の左右で「$$ + $$」の数が異なる...
((総当り気味になっているが、「積の微分」が持つ「$$ + $$...
#ceq(e)
$$ \ddd{(pq)}{x} $ = $ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x...
#ceq(end)
;,しかし、$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$を$$ \...
;,$$ q $ = $ y $$が嵌るものの、$$ p $ = $ 1 $$ と$$ \ddd{...
(($$ p $ = $ 1 $$の時点で$$ \ddd{p}{x} $ = $ 0 $$となっ...
;,このため、$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$に嵌...
%bodynote
////////////////////////////////
** 積分因子を掛ける [#w6c99026]
;,上記の試算は$$ p $ = $ 1 $$の縛りが厳しすぎるため、$$ \...
;,そのため、例えば$$ p $ = $ p(x) $$と自由にすれば、$$ \d...
;,$$ \ddd{y}{x} $$の係数を$$ p $$にするには、単純に全ての...
#ceq(e)
$$ p $ \ddd{y}{x} $ + $ apy $ = $ pR $$
#ceq(end)
;,一般に、積分するために掛ける関数$$ p $$を積分因子、積分...
;,積分因子法は、微分関係を比較的自由に調節できるため、微...
;,$$ p $ \ddd{y}{x} $ + $ apy $ = $ pR $$を$$ p $ \ddd{q}...
$$ \ddd{p}{x} $ = $ ap $$なる$$ p $$を探せば良いことが...
;,幸い、これは変数分離形という易しい類の微分方程式である...
#ceq(e)
$$ \ddd{p}{x} $ = $ ap $$
#ceq(a)
$$ p = p(x) $$に関する変数分離形の常微分方程式
#ceq(e)
⇔ $$ \ffd{dp}{p} $ = $ a $ dx $$
#ceq(a)
変数分離
#ceq(e)
⇔ $$ \int \ffd{dp}{p} $ = $ \int $ a $ dx $$
#ceq(a)
不定積分
#ceq(e)
⇔ $$ \log_e |p| $ = $ A $ + $ k $$
#ceq(a)
積分実行、原始関数を$$ A $ = $ A(x) $$、積分定数を$$ k ...
#ceq(e)
⇔ $$ p $ = $ \pm e^{A + k} $$
#ceq(a)
両辺で指数を取る
#ceq(e)
⇔ $$ p $ = $ \pm e^{k} $ e^A $$
#ceq(a)
指数法則で定数部を分離
#ceq(end)
;,今、$$ p $$は$$ \pm e^{k} $ e^A $$を満たせば良いので、...
;,定数係数の場合は$$ A $ = $ \int $ a $ dx $ = $ a $ \int...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 略解例 [#f99103ca]
以上で解く筋道が通る:
- 微分方程式を解くために積分すれば良い
- 積分するために1つの微分に纏めれば良い
- 纏めるために積分因子を掛ければ良い
- 積分因子は上記の方法で見つけば良い
この筋道を逆から書けば「解答」となる:
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
原方程式
#ceq(e)
⇔ $$ e^A $ \ddd{y}{x} $ + $ ae^A $ y $ = $ e^A $ R $$
#ceq(a)
両辺に積分因子$$ e^A $$を掛ける、ただし$$ A $ = $ \int ...
#ceq(e)
⇔ $$ e^A $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^A)}{x} $ y $ = $ e...
#ceq(a)
積の微分に嵌める(不定積分を実行)
#ceq(e)
⇔ $$ \ddd{(e^A y)}{x} $ = $ e^A $ R $$
#ceq(a)
1つの微分に纏める(部分積分を実行)
#ceq(e)
⇔ $$ e^A y $ = $ \int $ e^A $ R $ dx $$
#ceq(a)
積分する
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-A} $ \int $ e^A $ R $ dx $$
#ceq(a)
両辺に$$ e^{-A} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
#ceq(end)
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 線形微分演算子 【編集中】 [#m298c1a3]
;,原方程式$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$は、$$ \bigg( \ddd{}{x...
;,未知関数$$ y $$から既知関数$$ R $$を求める少々複雑な微...
;,以下のように1階線形常微分演算子$$ D_a $$を定義すると、...
#ceq(e)
''1階線形常微分演算子'':$$ D_a $ \equiv $ \bigg( \ddd...
#ceq(e)
''1階線形常微分方程式'':$$ D_a $ y $ = $ R $$ ⇔ ...
#ceq(end)
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* まとめ・つなぎ [#ff9fe3c5]
/////////////////////////////////////////////////////////...
終了行:
%indent
/////////////////////////////////////////////////////////...
* $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ [#u62f0746]
;,1階線形常微分方程式は$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$の形をし...
;,ここで、$$ y $$と$$ R $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ R...
;,左辺が1階常微分$$ \ddd{y}{x} $$と(0階常微分)$$ y $$...
;,解の公式は次の積分式で与えられる:
#ceq(e)
定数係数: $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ ⇒ $$ y $ = ...
(($$ y $ = $ e^{-ax} $ \Big( $ \int $ e^{ax} R dx $ + $...
#ceq(e)
変数係数: $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ ⇒ $$ y $ = ...
#ceq(end)
;,暗記さえできれば、定数係数で1階の線形な常微分方程式に...
;,しかし問題は、丸暗記では前後に習得する知識と繋がらず、...
;,特に、直後に学ぶ定数係数''2''階線形常微分方程式は、''...
;,これらに対し、凌宮数学では、2階ないし$$ N $$階の線形常...
;,学習済み知識に基づいた1階線形常微分方程式の''もう少し...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 考え方 [#x7399926]
////////////////////////////////
** 積分で解く [#hf246f9e]
;,一般に、ある関数$$ F $ = $ F(x) $$の常微分$$ \ddd{F}{x}...
((ここで、「解ける」とは「微分を無くせる」つまり「微分...
#ceq(e)
$$ \ddd{F}{x} $ = $ f $$ ⇔ $$ F $ = $ \int f dx $$(($...
#ceq(end)
;,$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$の場合は、左辺$$ \ddd{...
;,そのため、まずは$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$の「$$ + $$」...
%bodynote
////////////////////////////////
** 1つの微分に纏める [#s0c1fc1c]
;,「$$ + $$」を消すには、等号の片方に「$$ + $$」が1つ、...
;,高校範囲で探す限り、等号の左右で「$$ + $$」の数が異なる...
((総当り気味になっているが、「積の微分」が持つ「$$ + $$...
#ceq(e)
$$ \ddd{(pq)}{x} $ = $ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x...
#ceq(end)
;,しかし、$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$を$$ \...
;,$$ q $ = $ y $$が嵌るものの、$$ p $ = $ 1 $$ と$$ \ddd{...
(($$ p $ = $ 1 $$の時点で$$ \ddd{p}{x} $ = $ 0 $$となっ...
;,このため、$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$に嵌...
%bodynote
////////////////////////////////
** 積分因子を掛ける [#w6c99026]
;,上記の試算は$$ p $ = $ 1 $$の縛りが厳しすぎるため、$$ \...
;,そのため、例えば$$ p $ = $ p(x) $$と自由にすれば、$$ \d...
;,$$ \ddd{y}{x} $$の係数を$$ p $$にするには、単純に全ての...
#ceq(e)
$$ p $ \ddd{y}{x} $ + $ apy $ = $ pR $$
#ceq(end)
;,一般に、積分するために掛ける関数$$ p $$を積分因子、積分...
;,積分因子法は、微分関係を比較的自由に調節できるため、微...
;,$$ p $ \ddd{y}{x} $ + $ apy $ = $ pR $$を$$ p $ \ddd{q}...
$$ \ddd{p}{x} $ = $ ap $$なる$$ p $$を探せば良いことが...
;,幸い、これは変数分離形という易しい類の微分方程式である...
#ceq(e)
$$ \ddd{p}{x} $ = $ ap $$
#ceq(a)
$$ p = p(x) $$に関する変数分離形の常微分方程式
#ceq(e)
⇔ $$ \ffd{dp}{p} $ = $ a $ dx $$
#ceq(a)
変数分離
#ceq(e)
⇔ $$ \int \ffd{dp}{p} $ = $ \int $ a $ dx $$
#ceq(a)
不定積分
#ceq(e)
⇔ $$ \log_e |p| $ = $ A $ + $ k $$
#ceq(a)
積分実行、原始関数を$$ A $ = $ A(x) $$、積分定数を$$ k ...
#ceq(e)
⇔ $$ p $ = $ \pm e^{A + k} $$
#ceq(a)
両辺で指数を取る
#ceq(e)
⇔ $$ p $ = $ \pm e^{k} $ e^A $$
#ceq(a)
指数法則で定数部を分離
#ceq(end)
;,今、$$ p $$は$$ \pm e^{k} $ e^A $$を満たせば良いので、...
;,定数係数の場合は$$ A $ = $ \int $ a $ dx $ = $ a $ \int...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 略解例 [#f99103ca]
以上で解く筋道が通る:
- 微分方程式を解くために積分すれば良い
- 積分するために1つの微分に纏めれば良い
- 纏めるために積分因子を掛ければ良い
- 積分因子は上記の方法で見つけば良い
この筋道を逆から書けば「解答」となる:
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
原方程式
#ceq(e)
⇔ $$ e^A $ \ddd{y}{x} $ + $ ae^A $ y $ = $ e^A $ R $$
#ceq(a)
両辺に積分因子$$ e^A $$を掛ける、ただし$$ A $ = $ \int ...
#ceq(e)
⇔ $$ e^A $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^A)}{x} $ y $ = $ e...
#ceq(a)
積の微分に嵌める(不定積分を実行)
#ceq(e)
⇔ $$ \ddd{(e^A y)}{x} $ = $ e^A $ R $$
#ceq(a)
1つの微分に纏める(部分積分を実行)
#ceq(e)
⇔ $$ e^A y $ = $ \int $ e^A $ R $ dx $$
#ceq(a)
積分する
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-A} $ \int $ e^A $ R $ dx $$
#ceq(a)
両辺に$$ e^{-A} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
#ceq(end)
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 線形微分演算子 【編集中】 [#m298c1a3]
;,原方程式$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$は、$$ \bigg( \ddd{}{x...
;,未知関数$$ y $$から既知関数$$ R $$を求める少々複雑な微...
;,以下のように1階線形常微分演算子$$ D_a $$を定義すると、...
#ceq(e)
''1階線形常微分演算子'':$$ D_a $ \equiv $ \bigg( \ddd...
#ceq(e)
''1階線形常微分方程式'':$$ D_a $ y $ = $ R $$ ⇔ ...
#ceq(end)
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* まとめ・つなぎ [#ff9fe3c5]
/////////////////////////////////////////////////////////...
ページ名:
xu基底系.png
6323件
[
詳細
]
xu座標系.png
6333件
[
詳細
]
x座標系.png
6438件
[
詳細
]
2ApplePlate.png
336件
[
詳細
]
Apple.png
617件
[
詳細
]
符号ix(ixj).png
365件
[
詳細
]
符号Ax(BxC).png
377件
[
詳細
]
符号判定(AxB)xC.png
687件
[
詳細
]
符号判定Ax(BxC).png
755件
[
詳細
]
PerpPerp.png
762件
[
詳細
]
BxC.png
849件
[
詳細
]
AxBxC+-.png
419件
[
詳細
]
Ax(BxC).png
1009件
[
詳細
]
Ax(BxC)+-.png
402件
[
詳細
]
原子半径の温度変化.jpg
1128件
[
詳細
]
密度の温度変化.jpg
912件
[
詳細
]
添字付き関数名.png
472件
[
詳細
]
添字式.png
447件
[
詳細
]
根号式.png
425件
[
詳細
]
分数式.png
426件
[
詳細
]
現在中国語乗算因数の命名.jpg
482件
[
詳細
]
現在中国語乗算演算子読み.jpg
498件
[
詳細
]
ベクトル除算.png
617件
[
詳細
]
基底除算.png
626件
[
詳細
]
立方体.jpg
153件
[
詳細
]
中2文教P12図.PNG
555件
[
詳細
]
ffd_p_q_2d.gif
304件
[
詳細
]
ffd_p_q.gif
305件
[
詳細
]
Ouv.png
416件
[
詳細
]
Ors.png
443件
[
詳細
]
CosSinMap.png
671件
[
詳細
]
1cosIsinMap.png
580件
[
詳細
]
正弦減法.png
516件
[
詳細
]
Sp1.png
385件
[
詳細
]
Sp0.png
352件
[
詳細
]
Sp4.png
345件
[
詳細
]
Sp3.png
360件
[
詳細
]
Sp2.png
346件
[
詳細
]
yeqaplx3.png
501件
[
詳細
]
dyfrdceqtan.png
503件
[
詳細
]
Fx微分.png
641件
[
詳細
]
Fx差分.png
690件
[
詳細
]
Fx差.png
661件
[
詳細
]
F微分.png
688件
[
詳細
]
F差分.png
616件
[
詳細
]
F差.png
595件
[
詳細
]
x微分.png
644件
[
詳細
]
x差分.png
666件
[
詳細
]
x差.png
639件
[
詳細
]
F対xの微分商.png
2656件
[
詳細
]
F対xの差分商.png
2679件
[
詳細
]
F対xの差商.png
365件
[
詳細
]
Fの微分.png
376件
[
詳細
]
Fの差.png
335件
[
詳細
]
Fの差分.png
336件
[
詳細
]
xの微分.png
2627件
[
詳細
]
xの差分.png
2550件
[
詳細
]
xの差.png
2599件
[
詳細
]
f=0y+9t.png
456件
[
詳細
]
f=1y+6t.png
636件
[
詳細
]
f=2y+3t.png
497件
[
詳細
]
微小座標系.png
6001件
[
詳細
]
偏微分の多義性.png
5795件
[
詳細
]
HennBibunnAll.png
5775件
[
詳細
]
[
凌宮
|
数学
|
一覧
|
検索
|
最新
] [
ソース
]