1次元ベクトル
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* [#g8619566]
;,大学では、2次元、3次元と$$ n $$次元ベクトルが色んな講...
;,しかし、基礎であるはずの1次元ベクトルは意外に扱われな...
;,1も分からないのに、2と3が分かる方が不思議である。
;,勿論、1次元のベクトルはスカラで、高校まで完璧に勉強し...
;,高校ではベクトルの半分しか学べない。
;,成分と基底が揃ってベクトルになるだが、基底の初登場は大...
;,こうして、高校と大学のギャップに嵌まる学生が量産される。
;,凌宮数学では、このギャップを埋めるため、小学校で学ぶ数...
;,数直線は1次元の直線座標系にあたり、解析幾何の原点とも...
;,これでやっと、小学校から大学までの知識を繋げられる。
//;,小学校では、数直線を使って数で点を表す方法を学ぶ。
//;,中学校では、数直線を2、3本使って座標系を作り、座標...
//;,高校では、座標を拡張して、ベクトルを習い始める。
//
//;,問題は、高校では座標しか書かなかいため、やってること...
//;,これに対し、大学では、抜けている座標系を記述するため...
//;,こうして、高校と大学のギャップに嵌まる学生が量産され...
//
//;,このギャップを埋めるため、凌宮数学では座標・座標系と...
//;,以下は、まず大学で疎かにされがちな1次元ベクトルにつ...
//;,1もできないのに、2と3ができる方が可笑しい。
* 数直線=1次元の座標系 [#h5a70143]
** $$ x $$座標系 [#nf7aef3e]
;,図1は$$ x $$座標系を描いた図である。
;,少し具体的に言うと、緑色の矢印と刻み、数字の部分が座標...
|*l:図1: $$ x $$座標系 |h
|&attachref(./x座標系.png,40%);|
;,左から右に向かう緑の矢印が''座標軸''である。この例では...
;,$$ x $$軸上の刻みが''座標''であり、近くにある数字が''座...
((実際、座標値を「座標」で呼ばれる場合が多い。そもそも「...
;,例えば、青線の左端の$$ 0 $$、右端が$$ 2 $$である。
;,また、任意の座標を表すとき、軸と同じ文字を使う習慣があ...
;,高校までは数式に座標軸を書かないため、式の文字は全て座...
;,図1の例では、$$ x = 2 $$とあれば座標値の$$ 2 $$を意味...
%bodynote
** 間隔の異なる2つの座標系 [#u7d4416b]
;,続けて、大学のベクトルに少しだけ近付けるため、軸が2本...
;,ただし、これは高校までに学んだ2本の軸を直交させた2次...
|*l:図2:$$ x $$座標系と$$ u $$座標系|h
|&attachref(./xu座標系.png,40%); |
;,この2本の座標軸はそれぞれ$$ \iro[md]{x} $$軸と$$ \iro[...
;,これに合わせて、座標系も$$ x $$座標系と$$ u $$座標系と...
;,青線の右端の座標値を見ると、$$ x $$軸では$$ \iro[md]{2}...
;,同様に、任意の座標で、$$ x $$軸の値が丁度$$ u $$軸の値...
;,この対応関係を式で書くと、$$ x = \ffd12 u $$となる。逆...
;,この例から、座標を特定するには、座標系と座標値の両方を...
;,単に座標値が$$ 2 $$の座標と言っても、緑の$$ \iro[md]{2}...
;,したがって、高校生が座標を正しく言うには、「$$ \iro[md]...
((実際、殆どの場合は座標系が1つしかないために言わなくて...
;,ここで問題になるのは、座標軸を言葉で言えるが、式では書...
;,このため、「$$ \iro[md]{x} $$軸での$$ \iro[md]{x} $$と$...
;,座標軸間の変換では言葉で回りくどく考える羽目になる。
%bodynote
* 座標とベクトルの対応 [#i3012407]
;,図2をベクトルの発想で書き換えると図3になる。比較用に...
|*l:(図2)$$ x $$座標系と$$ u $$座標系(参考用再掲)|h
|&attachref(./xu座標系.png,40%);|
;,
|*l:図3:基底で書かれた$$ x $$座標系と$$ u $$座標系 |h
|&attachref(./xu基底系.png,40%);|
;,座標とベクトルは似て非なるものであるため、言葉が全く異...
;,表1は役割の対応関係を纏めた結果である。
|*l:表1: 座標とベクトルの対応関係|<|h
|*座標用語|*ベクトル用語|
| 座標 | ベクトル |
| 座標軸 | 基底 |
| 座標値 | 成分 |
;,座標軸は無限に長い矢印だったが、ベクトルでは''基底''と...
;,基底の向きは座標の向き、基底の長さで座標の間隔を表して...
;,この他、成分は座標値にそのまま対応する。
;,高校では座標軸も任意の座標値も同じ文字($$ x $$や$$ u $...
;,ベクトルでは基底も成分も同じ式に書き込むため、同じ記号...
;,一般に成分は$$ x $$のままに、基底には$$ \:e_x $$など別...
((基底の記号には幾つかの流派があるが、凌宮数学では軸との...
;,図2と図3の読み替えを纏めると、表2となる。
|*l:表2: 図2と図3の読み替え|<|<|<|<|<|h
| | |l=: ...
|*座標 |*ベクトル |*座標 ...
|$$ x $$軸での$$ \iro[md]{1} $$| $$ \:e_x $$|$$ x $$軸で...
|$$ u $$軸での$$ \iro[mz]{1} $$| $$ \:e_u $$|$$ u $$軸で...
;,基底は座標軸を表すと同時に、それぞれの軸での$$ 1 $$が表...
;,他の座標は、$$ 2 \:e_x $$や$$ 4 \:e_u $$のように、成分...
;,同様に、任意の座標は、任意の座標値を基底に掛け表せた$$ ...
;,また、ベクトルでは座標系に依らない座標にベクトル記号を...
;,図3の例では、青線の右端を表すベクトル$$ \:r $$がベクト...
;,$$ \:r $$は$$ x $$も$$ u $$も関係なく、$$ \:r $$である。
;,図3のベクトルを使えば「$$ \iro[md]{x} $$軸での$$ \iro[...
#ceq(e)
$$ r $ = $ x \:e_x $ = $ u \:e_u $$
#ceq(end)
;,座標関係の言葉に直訳すると「$$ \:r $$の座標は、$$ \iro[...
;,ベクトルの言葉に直訳すると「ベクトル$$ \:r $$は、基底$$...
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* ベクトル、基底、成分の相互変換 [#ec85220e]
;,$$ r $ = $ x \:e_x $ = $ u \:e_u $$について、これを以下...
|*l:表3: ベクトル、基底、成分の相互変換式|<|<|<|h
|* |*ベクトルを求める式 |*基底を求める式...
|*$$ x $$軸について|$$ r $ = $ x \:e_x $$|$$ \:e_x $ = \f...
|*$$ u $$軸について|$$ r $ = $ u \:e_u $$|$$ \:e_u $ = \f...
;,ベクトルを求める式は、大学の教科書であれば良く見かける。
;,これに対し、基底を求める式と成分を求める式は全く見当た...
;,それは、1次元ベクトルが教えられないのと、2次元から姿...
;,そもそも、ベクトルを求める式が小学校から学ぶような乗算...
;,ベクトルを求める式だけが、乗算で無くなっても書き方は変...
;,書き方を変えないお陰で、乗算が成り立たない場合も公式の...
;,残念なことに、基底を求める式と成分を求める式は、書き方...
;,例えば、成分を求める式は、ありえないベクトルの割るベク...
;,しかし、割り算でも書き方を変えなければ、公式の姿が変ら...
;,以上の理由により、凌宮数学ではの成分を求める式の姿を変...
;,ただし、基底を求める式では、成分だけで基底を復元するに...
//;,残念なことに、基底を求める式と成分を求める式は、書き...
//;,例えば、成分を求める式は、ありえないベクトルの割るベ...
//;,しかし、割り算でも書き方を変えなければ、公式の姿が変...
//;,以上の理由により、凌宮数学では上記3種類の相互計算式...
//;,2次元座標系でも、曲がった座標系でも、不等間隔な座標...
//;,それが凌宮数学のベクトル表記である。
* まとめ 【編集中】[#aa4b4c28]
// まとまらんorz
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* [#g8619566]
;,大学では、2次元、3次元と$$ n $$次元ベクトルが色んな講...
;,しかし、基礎であるはずの1次元ベクトルは意外に扱われな...
;,1も分からないのに、2と3が分かる方が不思議である。
;,勿論、1次元のベクトルはスカラで、高校まで完璧に勉強し...
;,高校ではベクトルの半分しか学べない。
;,成分と基底が揃ってベクトルになるだが、基底の初登場は大...
;,こうして、高校と大学のギャップに嵌まる学生が量産される。
;,凌宮数学では、このギャップを埋めるため、小学校で学ぶ数...
;,数直線は1次元の直線座標系にあたり、解析幾何の原点とも...
;,これでやっと、小学校から大学までの知識を繋げられる。
//;,小学校では、数直線を使って数で点を表す方法を学ぶ。
//;,中学校では、数直線を2、3本使って座標系を作り、座標...
//;,高校では、座標を拡張して、ベクトルを習い始める。
//
//;,問題は、高校では座標しか書かなかいため、やってること...
//;,これに対し、大学では、抜けている座標系を記述するため...
//;,こうして、高校と大学のギャップに嵌まる学生が量産され...
//
//;,このギャップを埋めるため、凌宮数学では座標・座標系と...
//;,以下は、まず大学で疎かにされがちな1次元ベクトルにつ...
//;,1もできないのに、2と3ができる方が可笑しい。
* 数直線=1次元の座標系 [#h5a70143]
** $$ x $$座標系 [#nf7aef3e]
;,図1は$$ x $$座標系を描いた図である。
;,少し具体的に言うと、緑色の矢印と刻み、数字の部分が座標...
|*l:図1: $$ x $$座標系 |h
|&attachref(./x座標系.png,40%);|
;,左から右に向かう緑の矢印が''座標軸''である。この例では...
;,$$ x $$軸上の刻みが''座標''であり、近くにある数字が''座...
((実際、座標値を「座標」で呼ばれる場合が多い。そもそも「...
;,例えば、青線の左端の$$ 0 $$、右端が$$ 2 $$である。
;,また、任意の座標を表すとき、軸と同じ文字を使う習慣があ...
;,高校までは数式に座標軸を書かないため、式の文字は全て座...
;,図1の例では、$$ x = 2 $$とあれば座標値の$$ 2 $$を意味...
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** 間隔の異なる2つの座標系 [#u7d4416b]
;,続けて、大学のベクトルに少しだけ近付けるため、軸が2本...
;,ただし、これは高校までに学んだ2本の軸を直交させた2次...
|*l:図2:$$ x $$座標系と$$ u $$座標系|h
|&attachref(./xu座標系.png,40%); |
;,この2本の座標軸はそれぞれ$$ \iro[md]{x} $$軸と$$ \iro[...
;,これに合わせて、座標系も$$ x $$座標系と$$ u $$座標系と...
;,青線の右端の座標値を見ると、$$ x $$軸では$$ \iro[md]{2}...
;,同様に、任意の座標で、$$ x $$軸の値が丁度$$ u $$軸の値...
;,この対応関係を式で書くと、$$ x = \ffd12 u $$となる。逆...
;,この例から、座標を特定するには、座標系と座標値の両方を...
;,単に座標値が$$ 2 $$の座標と言っても、緑の$$ \iro[md]{2}...
;,したがって、高校生が座標を正しく言うには、「$$ \iro[md]...
((実際、殆どの場合は座標系が1つしかないために言わなくて...
;,ここで問題になるのは、座標軸を言葉で言えるが、式では書...
;,このため、「$$ \iro[md]{x} $$軸での$$ \iro[md]{x} $$と$...
;,座標軸間の変換では言葉で回りくどく考える羽目になる。
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* 座標とベクトルの対応 [#i3012407]
;,図2をベクトルの発想で書き換えると図3になる。比較用に...
|*l:(図2)$$ x $$座標系と$$ u $$座標系(参考用再掲)|h
|&attachref(./xu座標系.png,40%);|
;,
|*l:図3:基底で書かれた$$ x $$座標系と$$ u $$座標系 |h
|&attachref(./xu基底系.png,40%);|
;,座標とベクトルは似て非なるものであるため、言葉が全く異...
;,表1は役割の対応関係を纏めた結果である。
|*l:表1: 座標とベクトルの対応関係|<|h
|*座標用語|*ベクトル用語|
| 座標 | ベクトル |
| 座標軸 | 基底 |
| 座標値 | 成分 |
;,座標軸は無限に長い矢印だったが、ベクトルでは''基底''と...
;,基底の向きは座標の向き、基底の長さで座標の間隔を表して...
;,この他、成分は座標値にそのまま対応する。
;,高校では座標軸も任意の座標値も同じ文字($$ x $$や$$ u $...
;,ベクトルでは基底も成分も同じ式に書き込むため、同じ記号...
;,一般に成分は$$ x $$のままに、基底には$$ \:e_x $$など別...
((基底の記号には幾つかの流派があるが、凌宮数学では軸との...
;,図2と図3の読み替えを纏めると、表2となる。
|*l:表2: 図2と図3の読み替え|<|<|<|<|<|h
| | |l=: ...
|*座標 |*ベクトル |*座標 ...
|$$ x $$軸での$$ \iro[md]{1} $$| $$ \:e_x $$|$$ x $$軸で...
|$$ u $$軸での$$ \iro[mz]{1} $$| $$ \:e_u $$|$$ u $$軸で...
;,基底は座標軸を表すと同時に、それぞれの軸での$$ 1 $$が表...
;,他の座標は、$$ 2 \:e_x $$や$$ 4 \:e_u $$のように、成分...
;,同様に、任意の座標は、任意の座標値を基底に掛け表せた$$ ...
;,また、ベクトルでは座標系に依らない座標にベクトル記号を...
;,図3の例では、青線の右端を表すベクトル$$ \:r $$がベクト...
;,$$ \:r $$は$$ x $$も$$ u $$も関係なく、$$ \:r $$である。
;,図3のベクトルを使えば「$$ \iro[md]{x} $$軸での$$ \iro[...
#ceq(e)
$$ r $ = $ x \:e_x $ = $ u \:e_u $$
#ceq(end)
;,座標関係の言葉に直訳すると「$$ \:r $$の座標は、$$ \iro[...
;,ベクトルの言葉に直訳すると「ベクトル$$ \:r $$は、基底$$...
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* ベクトル、基底、成分の相互変換 [#ec85220e]
;,$$ r $ = $ x \:e_x $ = $ u \:e_u $$について、これを以下...
|*l:表3: ベクトル、基底、成分の相互変換式|<|<|<|h
|* |*ベクトルを求める式 |*基底を求める式...
|*$$ x $$軸について|$$ r $ = $ x \:e_x $$|$$ \:e_x $ = \f...
|*$$ u $$軸について|$$ r $ = $ u \:e_u $$|$$ \:e_u $ = \f...
;,ベクトルを求める式は、大学の教科書であれば良く見かける。
;,これに対し、基底を求める式と成分を求める式は全く見当た...
;,それは、1次元ベクトルが教えられないのと、2次元から姿...
;,そもそも、ベクトルを求める式が小学校から学ぶような乗算...
;,ベクトルを求める式だけが、乗算で無くなっても書き方は変...
;,書き方を変えないお陰で、乗算が成り立たない場合も公式の...
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;,例えば、成分を求める式は、ありえないベクトルの割るベク...
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;,以上の理由により、凌宮数学ではの成分を求める式の姿を変...
;,ただし、基底を求める式では、成分だけで基底を復元するに...
//;,残念なことに、基底を求める式と成分を求める式は、書き...
//;,例えば、成分を求める式は、ありえないベクトルの割るベ...
//;,しかし、割り算でも書き方を変えなければ、公式の姿が変...
//;,以上の理由により、凌宮数学では上記3種類の相互計算式...
//;,2次元座標系でも、曲がった座標系でも、不等間隔な座標...
//;,それが凌宮数学のベクトル表記である。
* まとめ 【編集中】[#aa4b4c28]
// まとまらんorz
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xu基底系.png
6322件
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詳細
]
xu座標系.png
6330件
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詳細
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x座標系.png
6437件
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詳細
]
2ApplePlate.png
336件
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詳細
]
Apple.png
614件
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詳細
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符号ix(ixj).png
365件
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詳細
]
符号Ax(BxC).png
377件
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詳細
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符号判定(AxB)xC.png
686件
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詳細
]
符号判定Ax(BxC).png
755件
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詳細
]
PerpPerp.png
761件
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詳細
]
BxC.png
848件
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詳細
]
AxBxC+-.png
419件
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詳細
]
Ax(BxC).png
1006件
[
詳細
]
Ax(BxC)+-.png
401件
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]
原子半径の温度変化.jpg
1127件
[
詳細
]
密度の温度変化.jpg
907件
[
詳細
]
添字付き関数名.png
469件
[
詳細
]
添字式.png
446件
[
詳細
]
根号式.png
423件
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詳細
]
分数式.png
424件
[
詳細
]
現在中国語乗算因数の命名.jpg
480件
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]
現在中国語乗算演算子読み.jpg
497件
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詳細
]
ベクトル除算.png
614件
[
詳細
]
基底除算.png
625件
[
詳細
]
立方体.jpg
153件
[
詳細
]
中2文教P12図.PNG
553件
[
詳細
]
ffd_p_q_2d.gif
302件
[
詳細
]
ffd_p_q.gif
303件
[
詳細
]
Ouv.png
415件
[
詳細
]
Ors.png
439件
[
詳細
]
CosSinMap.png
671件
[
詳細
]
1cosIsinMap.png
577件
[
詳細
]
正弦減法.png
514件
[
詳細
]
Sp1.png
385件
[
詳細
]
Sp0.png
352件
[
詳細
]
Sp4.png
345件
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詳細
]
Sp3.png
360件
[
詳細
]
Sp2.png
346件
[
詳細
]
yeqaplx3.png
501件
[
詳細
]
dyfrdceqtan.png
502件
[
詳細
]
Fx微分.png
638件
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詳細
]
Fx差分.png
688件
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詳細
]
Fx差.png
660件
[
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F微分.png
676件
[
詳細
]
F差分.png
612件
[
詳細
]
F差.png
594件
[
詳細
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x微分.png
641件
[
詳細
]
x差分.png
664件
[
詳細
]
x差.png
634件
[
詳細
]
F対xの微分商.png
2654件
[
詳細
]
F対xの差分商.png
2677件
[
詳細
]
F対xの差商.png
364件
[
詳細
]
Fの微分.png
374件
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詳細
]
Fの差.png
334件
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詳細
]
Fの差分.png
335件
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詳細
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xの微分.png
2627件
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xの差分.png
2549件
[
詳細
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xの差.png
2597件
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詳細
]
f=0y+9t.png
454件
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詳細
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f=1y+6t.png
635件
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詳細
]
f=2y+3t.png
494件
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微小座標系.png
5999件
[
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偏微分の多義性.png
5795件
[
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HennBibunnAll.png
5775件
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