フーリエ変換
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/フーリエ変換【編集中】
メモ: 逆基底で整理できても、表記上煩雑になるために旨みが...
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* フーリエ変換と逆基底と基底積 [#ud91638f]
;,フーリエ変換は周期現象の記述から制御工学など幅広い分野...
;,関数をベクトルと解釈すれば、フーリエ変換を双対基底の基...
;,問題は、通常表記では逆基底や基底積を簡潔に表記できない...
;,各分野間でに表記にブレが生じ、学ぶ側の学習コストを無駄...
;,これに対し、凌宮数学ではフーリエ変換を双対の視点で捉え、
;,逆基底表記および基底積表記を適応して、フーリエ変換の簡...
;,逆基底表記は双対関係の明記に、基底積表記は多次元フーリ...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 双対としてのフーリエ変換 [#fe3d1b3d]
;,フーリエ変換
(([[物理のかぎしっぽ/数学/フーリエ解析/フーリエ変換の...
(([[Wikipedia/フーリエ変換>http://ja.wikipedia.org/wiki/...
;,例えば、次のように定義される時間領域と周波数領域でのフ...
#ceq(e)
式1a 正変換: $$ F(\omega) $ = $ \phantom{\ffd{1}{2\pi...
;,式1b 逆変換: $$ f(t) $ = $ \ffd{1}{2\pi} $ \int^\inft...
#ceq(a)
;,$$ t $$は時間
;,$$ \omega $$は角周波数((工学では角周波数$$ \omega $$が...
#ceq(d)
;,具体的に、時間$$ t $$と周波数$$ \omega $$が互いに逆基底...
;,関数$$ f(t) $$と$$ F(\omega) $$をそれぞれ$$ t $$と$$ \o...
((関数をベクトルを見なす例: [[古典回路屋/フーリエ変換入...
;,$$ f(t) $$と$$ F(\omega) $$は同一現象を異なる基底に基づ...
;,一方で、空間は波数と双対関係になる。
;,このため、フーリエ変換の空間版は次のように定義される
(([[EMANの物理学/物理数学/フーリエ解析/フーリエ変換>ht...
#ceq(e)
式2a 正変換: $$ F(k) $ = $ \phantom{\ffd{1}{2\pi}} $ ...
;,式2b 逆変換: $$ f(x) $ = $ \ffd{1}{2\pi} $ \int^\inft...
#ceq(a)
;,$$ x $$は空間
;,$$ k $$は角波数((工学では角波数$$ k $$が多用される上に...
#ceq(d)
;,3次元空間を含む$$ n $$次元空間においてフーリエ変換を定...
(([[中央大学/理工学研究科/物理学専攻/中野研究室/数理...
#ceq(e)
式3a 正変換: $$ F(\:k) $ = $ \phantom{\ffd{1}{2\pi}} ...
;,式3b 逆変換: $$ f(\:r) $ = $ \ffd{1}{(2\pi)^n} $ \int...
#ceq(a)
;,$$ \:r $$は位置ベクトル
;,$$ \:k $$は波数ベクトル((波数ベクトル$$ \:k $$自体に$$ ...
#ceq(d)
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* 逆基底によるフーリエ変換の記述 [#xebd4832]
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*** 通常表記の課題1:変数定義の多様性 [#x9d554a7]
;,$$ \omega $$や$$ k $$と$$ \:k $$の通釈にあるように、
;,フーリエ変換において逆変換に現れる係数$$ 2\pi $$の扱い...
;,例えば、式1a・式1bの時間に関するフーリエ変換では、角周...
#ceq(e)
式4a 正変換: $$ F(\nu) $ = $ \int^\infty_{-\infty}\! ...
;,式4b 逆変換: $$ f(t) $ = $ \int^\infty_{-\infty}\! $ ...
#ceq(a)
;,$$ t $$は時間
;,$$ \nu $$は周波数
#ceq(d)
;,$$ \omega $ = $ 2\pi $ \nu $$がために、逆変換に付く係数...
;,積分変換のカーネル関数$$ e^{\pm\:i\cdots} $$に$$ 2\pi $...
;,このため、書く側は都度定義をし、読む側は都度確認する必...
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*** 逆基底の導入 [#o1c5ccf6]
;,変数定義の多様性を纏めるには、双対関係を記号化すれば良...
;,以下に、双対基底を記号化した凌宮数学の逆基底表記をフー...
周波数と周期の関係$$ \nu $ = $ \frac{1}{T} $$を式4a・式4b...
//;,ただ、カーネル関数で$$ \nu $ t $ = $ 1 $$となって関数...
//;,以下では便宜的に$$ \nu $$を$$ \frac{1}{T} $$で書き分...
((本当は$$ \ffd1t $$と書きたいが、周波数と時間が互いに独...
#ceq(e)
式5a 正変換: $$ F(\frac{1}{T}) $ = $ \int^\infty_{-\i...
;,式5b 逆変換: $$ f(t) $ = $ \int^\infty_{-\infty}\! $ ...
#ceq(d)
;,逆基底では正規化条件を$$ 1 $$と仮定するために、$$ t $$...
;,正規化条件が$$ 2\pi $$の$$ \frac{2\pi}{T} $ = $ \omega ...
;,カーネル関数が$$ e^{-2\pi\:i \frac{1}{T} t} $ = $ e^{-\...
#ceq(e)
式6a 正変換: $$ F(\frac{2\pi}{T}) $ = $ \int^\infty_{...
;,式6b 逆変換: $$ f(t) $ = $ \frac{1}{2\pi} $ \int^\inf...
#ceq(d)
;,空間領域では波長$$ \lambda $$を選べば同様に書換えできる。
#ceq(e)
式6a 正変換: $$ F(\frac{2\pi}{\lambda}) $ = $ \int^\i...
;,式6b 逆変換: $$ f(x) $ = $ \frac{1}{2\pi} $ \int^\inf...
#ceq(d)
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* 基底積による [#b1853834]
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*** 通常表記の課題2:体積分の座標別表記 [#wfbc725c]
;,式3aと式3bの$$ \:r $$と$$ \:k $$による積分は、体積分で...
;,特に$$ \:r $$は位置ベクトルそのものであるため、線積分と...
;,実際、文脈と積分領域での区別になる。
;,対して、一般的な3次元の体積分で良く用いられる記法では...
;,$$ dV_{\:r} $$と$$ dV_{\:k} $$と書き分けたどころで、他...
#ceq(e)
$$ G(x) $ = $ \int_{V}\! $ g(\:r) $ dV $$
#ceq(d)
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* [#s5649aaa]
終了行:
/フーリエ変換【編集中】
メモ: 逆基底で整理できても、表記上煩雑になるために旨みが...
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* フーリエ変換と逆基底と基底積 [#ud91638f]
;,フーリエ変換は周期現象の記述から制御工学など幅広い分野...
;,関数をベクトルと解釈すれば、フーリエ変換を双対基底の基...
;,問題は、通常表記では逆基底や基底積を簡潔に表記できない...
;,各分野間でに表記にブレが生じ、学ぶ側の学習コストを無駄...
;,これに対し、凌宮数学ではフーリエ変換を双対の視点で捉え、
;,逆基底表記および基底積表記を適応して、フーリエ変換の簡...
;,逆基底表記は双対関係の明記に、基底積表記は多次元フーリ...
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* 双対としてのフーリエ変換 [#fe3d1b3d]
;,フーリエ変換
(([[物理のかぎしっぽ/数学/フーリエ解析/フーリエ変換の...
(([[Wikipedia/フーリエ変換>http://ja.wikipedia.org/wiki/...
;,例えば、次のように定義される時間領域と周波数領域でのフ...
#ceq(e)
式1a 正変換: $$ F(\omega) $ = $ \phantom{\ffd{1}{2\pi...
;,式1b 逆変換: $$ f(t) $ = $ \ffd{1}{2\pi} $ \int^\inft...
#ceq(a)
;,$$ t $$は時間
;,$$ \omega $$は角周波数((工学では角周波数$$ \omega $$が...
#ceq(d)
;,具体的に、時間$$ t $$と周波数$$ \omega $$が互いに逆基底...
;,関数$$ f(t) $$と$$ F(\omega) $$をそれぞれ$$ t $$と$$ \o...
((関数をベクトルを見なす例: [[古典回路屋/フーリエ変換入...
;,$$ f(t) $$と$$ F(\omega) $$は同一現象を異なる基底に基づ...
;,一方で、空間は波数と双対関係になる。
;,このため、フーリエ変換の空間版は次のように定義される
(([[EMANの物理学/物理数学/フーリエ解析/フーリエ変換>ht...
#ceq(e)
式2a 正変換: $$ F(k) $ = $ \phantom{\ffd{1}{2\pi}} $ ...
;,式2b 逆変換: $$ f(x) $ = $ \ffd{1}{2\pi} $ \int^\inft...
#ceq(a)
;,$$ x $$は空間
;,$$ k $$は角波数((工学では角波数$$ k $$が多用される上に...
#ceq(d)
;,3次元空間を含む$$ n $$次元空間においてフーリエ変換を定...
(([[中央大学/理工学研究科/物理学専攻/中野研究室/数理...
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式3a 正変換: $$ F(\:k) $ = $ \phantom{\ffd{1}{2\pi}} ...
;,式3b 逆変換: $$ f(\:r) $ = $ \ffd{1}{(2\pi)^n} $ \int...
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;,$$ \:r $$は位置ベクトル
;,$$ \:k $$は波数ベクトル((波数ベクトル$$ \:k $$自体に$$ ...
#ceq(d)
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* 逆基底によるフーリエ変換の記述 [#xebd4832]
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*** 通常表記の課題1:変数定義の多様性 [#x9d554a7]
;,$$ \omega $$や$$ k $$と$$ \:k $$の通釈にあるように、
;,フーリエ変換において逆変換に現れる係数$$ 2\pi $$の扱い...
;,例えば、式1a・式1bの時間に関するフーリエ変換では、角周...
#ceq(e)
式4a 正変換: $$ F(\nu) $ = $ \int^\infty_{-\infty}\! ...
;,式4b 逆変換: $$ f(t) $ = $ \int^\infty_{-\infty}\! $ ...
#ceq(a)
;,$$ t $$は時間
;,$$ \nu $$は周波数
#ceq(d)
;,$$ \omega $ = $ 2\pi $ \nu $$がために、逆変換に付く係数...
;,積分変換のカーネル関数$$ e^{\pm\:i\cdots} $$に$$ 2\pi $...
;,このため、書く側は都度定義をし、読む側は都度確認する必...
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*** 逆基底の導入 [#o1c5ccf6]
;,変数定義の多様性を纏めるには、双対関係を記号化すれば良...
;,以下に、双対基底を記号化した凌宮数学の逆基底表記をフー...
周波数と周期の関係$$ \nu $ = $ \frac{1}{T} $$を式4a・式4b...
//;,ただ、カーネル関数で$$ \nu $ t $ = $ 1 $$となって関数...
//;,以下では便宜的に$$ \nu $$を$$ \frac{1}{T} $$で書き分...
((本当は$$ \ffd1t $$と書きたいが、周波数と時間が互いに独...
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式5a 正変換: $$ F(\frac{1}{T}) $ = $ \int^\infty_{-\i...
;,式5b 逆変換: $$ f(t) $ = $ \int^\infty_{-\infty}\! $ ...
#ceq(d)
;,逆基底では正規化条件を$$ 1 $$と仮定するために、$$ t $$...
;,正規化条件が$$ 2\pi $$の$$ \frac{2\pi}{T} $ = $ \omega ...
;,カーネル関数が$$ e^{-2\pi\:i \frac{1}{T} t} $ = $ e^{-\...
#ceq(e)
式6a 正変換: $$ F(\frac{2\pi}{T}) $ = $ \int^\infty_{...
;,式6b 逆変換: $$ f(t) $ = $ \frac{1}{2\pi} $ \int^\inf...
#ceq(d)
;,空間領域では波長$$ \lambda $$を選べば同様に書換えできる。
#ceq(e)
式6a 正変換: $$ F(\frac{2\pi}{\lambda}) $ = $ \int^\i...
;,式6b 逆変換: $$ f(x) $ = $ \frac{1}{2\pi} $ \int^\inf...
#ceq(d)
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* 基底積による [#b1853834]
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*** 通常表記の課題2:体積分の座標別表記 [#wfbc725c]
;,式3aと式3bの$$ \:r $$と$$ \:k $$による積分は、体積分で...
;,特に$$ \:r $$は位置ベクトルそのものであるため、線積分と...
;,実際、文脈と積分領域での区別になる。
;,対して、一般的な3次元の体積分で良く用いられる記法では...
;,$$ dV_{\:r} $$と$$ dV_{\:k} $$と書き分けたどころで、他...
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$$ G(x) $ = $ \int_{V}\! $ g(\:r) $ dV $$
#ceq(d)
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* [#s5649aaa]
ページ名:
xu基底系.png
6324件
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xu座標系.png
6335件
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x座標系.png
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詳細
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2ApplePlate.png
336件
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Apple.png
617件
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符号ix(ixj).png
367件
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詳細
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符号判定Ax(BxC).png
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PerpPerp.png
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BxC.png
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AxBxC+-.png
419件
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Ax(BxC).png
1011件
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Ax(BxC)+-.png
403件
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原子半径の温度変化.jpg
1129件
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密度の温度変化.jpg
913件
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添字付き関数名.png
472件
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448件
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根号式.png
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分数式.png
427件
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
482件
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
500件
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ベクトル除算.png
619件
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基底除算.png
628件
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詳細
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立方体.jpg
154件
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中2文教P12図.PNG
557件
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ffd_p_q_2d.gif
308件
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ffd_p_q.gif
308件
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Ouv.png
418件
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Ors.png
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CosSinMap.png
671件
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1cosIsinMap.png
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正弦減法.png
517件
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yeqaplx3.png
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dyfrdceqtan.png
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F対xの差商.png
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Fの差.png
337件
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Fの差分.png
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2627件
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2550件
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xの差.png
2599件
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f=0y+9t.png
457件
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f=1y+6t.png
638件
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f=2y+3t.png
498件
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微小座標系.png
6003件
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偏微分の多義性.png
5795件
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HennBibunnAll.png
5775件
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