ベクトル積分/ベクトル置換積分
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/ベクトル置換積分
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* ベクトル置換積分 [#v3fe5f4c]
猫式の[[ベクトル微分演算子>ベクトル微分演算子]]と[[ベクト...
|c: |c: ...
|* |*ストークスの定理 ...
|*通常表記|$$ \inte[R] $ \:F $ \sx $ d\:r $ = $ \inte[S] ...
|*猫式表記|$$ \inte[R] $ d^{-1} $ d^1\:r $ \sx $ \:F $ = ...
こうなれば、右辺のベクトル微分を分離形に変形してから、微...
しかし、ガウスの定理は曲りなりにも通るが、ストークスの定...
ただ、ストークスの定理でも簡単な法則を1つ導入することで...
以下では、先に成立するガウス定理の計算を示し、続いて破綻...
その後、イカサマ規則を導入して破綻する計算を無理やり通す。
/////////////////////////////////////////////////////////...
** ガウスの定理のベクトル演算 [#b33af8fb]
ガウスの定理の右辺$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ d^3V $ \ddd{...
#ceq(e)
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ d^3V $ \left( \ffd{1}{d\:r...
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ \left(d^3V \ffd{1}{d\:r}\r...
#ceq
微分を分離形に、&br;積の計算順序変更
#ceq
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $$
$$ \!\left( dxdydz \arrs{\ffd1{dx} \\ \ffd1{dy} \\ \f...
#ceq
&br;成分表示&br;
#ceq
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $$
$$
\!\arrs{
\ffd{dxdydz}{dx}
\\ \ffd{dxdydz}{dy}
\\ \ffd{dxdydz}{dz}
}\!
$$
$$ \sx $ d\:F $$
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ \!\arrs{ dydz \\ dxdz \\ d...
#ceq
&br;倍積実行、除算実行&br;
#ceq
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ d^2\:S \sx d\:F $$
#ceq
ベクトル記号表記
#ceq
$$ = $ \inte[V] $ d^{-2} $ d^2\:S $ \sx $ d^{-1} $ d\...
#ceq
累次積分に変形
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $ \sx $ \:F $ = $$...
#ceq
$$ d^{-1} $ d\:F $$のみ積分実行
#ceq(end)
/////////////////////////////////////////////////////////...
** ストークスの定理のベクトル演算(破綻版) [#i14b9306]
続いて、同じ手順をストークスの定理に。
ストークスの定理の右辺$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $...
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $ \sx $ \left(\ffd{...
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $ d\:F $ \sx $ \lef...
#ceq
微分の分離形に、&br;スカラ三重積の置換
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $$
$$
\!\left(
\!\arrs{
dydz \vphantom{\ddd{}{}}
\\ dxdz \vphantom{\ddd{}{}}
\\ dxdy \vphantom{\ddd{}{}}
}
\vx
\arrs{
\ffd1{dx}
\\ \ffd1{dy}
\\ \ffd1{dz}
}\!
\right)\!
$$
#ceq
&br;成分表示&br;
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $$
$$
\!\arrs{
dxdz \ffd1{dz} - dxdy \ffd1{dy}
\\ dxdy \ffd1{dx} - dydz \ffd1{dz}
\\ dydz \ffd1{dy} - dxdz \ffd1{dx}
}\!
$$
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $$
$$
\!\arrs{
dx - dx
\\ dy - dy
\\ dz - dz
}\!
$$
#ceq
&br;外積実行、除算実行&br;
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $ \:0 $$
$$ = $ 0 $$
#ceq(end)
というわけで、外積と除算の結果、ゼロ。
/////////////////////////////////////////////////////////...
** ストークスの定理のベクトル演算(無理やり版) [#c24ff3cc]
上の計算は、実は初っぱなの微分の分離型からもう成立してない
((もっとも分離型は認められていない。これはガウスの定理で...
しかし、逆から計算すれば分かるが、減算の項さえなければ成...
このため、計算を無理やりに通すため、次のイカサマ規則を導...
#ceq(e)
''イカサマ外積: 微小要素間の外積では減算項を無視する...
#ceq(end)
そもそも論がないが、証拠。
#ceq(e)
$$ \cdots $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $$
$$
\!\left(
\!\arrs{
dydz \vphantom{\ddd{}{}}
\\ dxdz \vphantom{\ddd{}{}}
\\ dxdy \vphantom{\ddd{}{}}
}
\vx
\arrs{
\ffd1{dx}
\\ \ffd1{dy}
\\ \ffd1{dz}
}\!
\right)\!
$$
#ceq(e)
$$ \Rightarrow $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $$
$$
\!\arrs{
dxdz \ffd1{dz} - \iro[ak]0
\\ dxdy \ffd1{dx} - \iro[ak]0
\\ dydz \ffd1{dy} - \iro[ak]0
}\!
$$
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $ \!\arrs{dx \\...
#ceq
イカサマ外積実行&br;除算実行
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $ d\:r $$
#ceq
ベクトル表記記号
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-1} $ d\:r $ \sx $ d^{-1} $ d\:F...
#ceq
累次積分に変形
#ceq
$$ = $ \inte[R] $ d^{-1} $ d\:r $ \sx $ \:F $ = $$左辺
#ceq
$$ d^{-1} $ d\:F $$のみを積分実行
#ceq(end)
めでたしめでたし
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
** まとめ・つなぎ [#jf94f7f3]
猫式の[[ベクトル微分演算子>ベクトル微分演算子]]と[[ベクト...
複雑な置換積分の公式が簡単なベクトル演算になる。
上では細かく書いているが、要はベクトル計算のみで
$$ d^3V $ \ffd{1}{d\:r} $ = $ d^2\:S $$、$$ d^2\:S $ \vx ...
このセンスを持っていれば、ガウスの定理とストークスの定理...
#ceq(e)
$$ \inte[V] $ d^{-3} $ d^3V $ \!\Big(\! $ \ffd{1}{d...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[V] $ d^{-2} $ \!\Big(\! $ d^3V $ \ffd{1}{d...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $ \sx $ \:F $$
#ceq(e)
$$ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $ \sx $ \!\Big(\! $ \...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-1} $ \!\Big(\! $ d^2V $ \vx $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] $ d^{-1} $ d^1\:r $ \sx $ \:F $$
#ceq(end)
導入したイカサマ規則は、外積と別の計算と言えるほど外積の...
ストークスの法則自体は成立が保障されているから、$$ d^2\:S...
また、今の表記では式が成立して当然のようには見えないため...
そのため、次回はまずベクトル積分を正しく扱うために必要な...
- [[基底成分表記>../基底成分表記]]
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/ベクトル置換積分
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* ベクトル置換積分 [#v3fe5f4c]
猫式の[[ベクトル微分演算子>ベクトル微分演算子]]と[[ベクト...
|c: |c: ...
|* |*ストークスの定理 ...
|*通常表記|$$ \inte[R] $ \:F $ \sx $ d\:r $ = $ \inte[S] ...
|*猫式表記|$$ \inte[R] $ d^{-1} $ d^1\:r $ \sx $ \:F $ = ...
こうなれば、右辺のベクトル微分を分離形に変形してから、微...
しかし、ガウスの定理は曲りなりにも通るが、ストークスの定...
ただ、ストークスの定理でも簡単な法則を1つ導入することで...
以下では、先に成立するガウス定理の計算を示し、続いて破綻...
その後、イカサマ規則を導入して破綻する計算を無理やり通す。
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** ガウスの定理のベクトル演算 [#b33af8fb]
ガウスの定理の右辺$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ d^3V $ \ddd{...
#ceq(e)
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ d^3V $ \left( \ffd{1}{d\:r...
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ \left(d^3V \ffd{1}{d\:r}\r...
#ceq
微分を分離形に、&br;積の計算順序変更
#ceq
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $$
$$ \!\left( dxdydz \arrs{\ffd1{dx} \\ \ffd1{dy} \\ \f...
#ceq
&br;成分表示&br;
#ceq
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $$
$$
\!\arrs{
\ffd{dxdydz}{dx}
\\ \ffd{dxdydz}{dy}
\\ \ffd{dxdydz}{dz}
}\!
$$
$$ \sx $ d\:F $$
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ \!\arrs{ dydz \\ dxdz \\ d...
#ceq
&br;倍積実行、除算実行&br;
#ceq
$$ = $ \inte[V] $ d^{-3} $ d^2\:S \sx d\:F $$
#ceq
ベクトル記号表記
#ceq
$$ = $ \inte[V] $ d^{-2} $ d^2\:S $ \sx $ d^{-1} $ d\...
#ceq
累次積分に変形
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $ \sx $ \:F $ = $$...
#ceq
$$ d^{-1} $ d\:F $$のみ積分実行
#ceq(end)
/////////////////////////////////////////////////////////...
** ストークスの定理のベクトル演算(破綻版) [#i14b9306]
続いて、同じ手順をストークスの定理に。
ストークスの定理の右辺$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $...
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $ \sx $ \left(\ffd{...
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $ d\:F $ \sx $ \lef...
#ceq
微分の分離形に、&br;スカラ三重積の置換
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $$
$$
\!\left(
\!\arrs{
dydz \vphantom{\ddd{}{}}
\\ dxdz \vphantom{\ddd{}{}}
\\ dxdy \vphantom{\ddd{}{}}
}
\vx
\arrs{
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\\ \ffd1{dy}
\\ \ffd1{dz}
}\!
\right)\!
$$
#ceq
&br;成分表示&br;
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $$
$$
\!\arrs{
dxdz \ffd1{dz} - dxdy \ffd1{dy}
\\ dxdy \ffd1{dx} - dydz \ffd1{dz}
\\ dydz \ffd1{dy} - dxdz \ffd1{dx}
}\!
$$
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $$
$$
\!\arrs{
dx - dx
\\ dy - dy
\\ dz - dz
}\!
$$
#ceq
&br;外積実行、除算実行&br;
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $ \:0 $$
$$ = $ 0 $$
#ceq(end)
というわけで、外積と除算の結果、ゼロ。
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** ストークスの定理のベクトル演算(無理やり版) [#c24ff3cc]
上の計算は、実は初っぱなの微分の分離型からもう成立してない
((もっとも分離型は認められていない。これはガウスの定理で...
しかし、逆から計算すれば分かるが、減算の項さえなければ成...
このため、計算を無理やりに通すため、次のイカサマ規則を導...
#ceq(e)
''イカサマ外積: 微小要素間の外積では減算項を無視する...
#ceq(end)
そもそも論がないが、証拠。
#ceq(e)
$$ \cdots $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $$
$$
\!\left(
\!\arrs{
dydz \vphantom{\ddd{}{}}
\\ dxdz \vphantom{\ddd{}{}}
\\ dxdy \vphantom{\ddd{}{}}
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\arrs{
\ffd1{dx}
\\ \ffd1{dy}
\\ \ffd1{dz}
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\right)\!
$$
#ceq(e)
$$ \Rightarrow $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $$
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\!\arrs{
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\\ dxdy \ffd1{dx} - \iro[ak]0
\\ dydz \ffd1{dy} - \iro[ak]0
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$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $ \!\arrs{dx \\...
#ceq
イカサマ外積実行&br;除算実行
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d\:F $ \sx $ d\:r $$
#ceq
ベクトル表記記号
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-1} $ d\:r $ \sx $ d^{-1} $ d\:F...
#ceq
累次積分に変形
#ceq
$$ = $ \inte[R] $ d^{-1} $ d\:r $ \sx $ \:F $ = $$左辺
#ceq
$$ d^{-1} $ d\:F $$のみを積分実行
#ceq(end)
めでたしめでたし
%bodynote
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** まとめ・つなぎ [#jf94f7f3]
猫式の[[ベクトル微分演算子>ベクトル微分演算子]]と[[ベクト...
複雑な置換積分の公式が簡単なベクトル演算になる。
上では細かく書いているが、要はベクトル計算のみで
$$ d^3V $ \ffd{1}{d\:r} $ = $ d^2\:S $$、$$ d^2\:S $ \vx ...
このセンスを持っていれば、ガウスの定理とストークスの定理...
#ceq(e)
$$ \inte[V] $ d^{-3} $ d^3V $ \!\Big(\! $ \ffd{1}{d...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[V] $ d^{-2} $ \!\Big(\! $ d^3V $ \ffd{1}{d...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $ \sx $ \:F $$
#ceq(e)
$$ \inte[S] $ d^{-2} $ d^2\:S $ \sx $ \!\Big(\! $ \...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-1} $ \!\Big(\! $ d^2V $ \vx $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] $ d^{-1} $ d^1\:r $ \sx $ \:F $$
#ceq(end)
導入したイカサマ規則は、外積と別の計算と言えるほど外積の...
ストークスの法則自体は成立が保障されているから、$$ d^2\:S...
また、今の表記では式が成立して当然のようには見えないため...
そのため、次回はまずベクトル積分を正しく扱うために必要な...
- [[基底成分表記>../基底成分表記]]
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ページ名:
xu基底系.png
6323件
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xu座標系.png
6333件
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x座標系.png
6438件
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2ApplePlate.png
336件
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Apple.png
617件
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符号ix(ixj).png
365件
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符号Ax(BxC).png
377件
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符号判定(AxB)xC.png
687件
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詳細
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符号判定Ax(BxC).png
755件
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PerpPerp.png
762件
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BxC.png
849件
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AxBxC+-.png
419件
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Ax(BxC).png
1009件
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Ax(BxC)+-.png
402件
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原子半径の温度変化.jpg
1128件
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密度の温度変化.jpg
912件
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添字付き関数名.png
472件
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添字式.png
447件
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根号式.png
425件
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分数式.png
426件
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
482件
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
498件
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ベクトル除算.png
617件
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基底除算.png
626件
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立方体.jpg
153件
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中2文教P12図.PNG
555件
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ffd_p_q_2d.gif
304件
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ffd_p_q.gif
305件
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Ouv.png
416件
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Ors.png
443件
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CosSinMap.png
671件
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1cosIsinMap.png
580件
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正弦減法.png
516件
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Sp1.png
385件
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Sp0.png
352件
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Sp4.png
345件
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Sp3.png
360件
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Sp2.png
346件
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yeqaplx3.png
501件
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dyfrdceqtan.png
503件
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Fx微分.png
641件
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Fx差分.png
690件
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Fx差.png
661件
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F微分.png
688件
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F差分.png
616件
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F差.png
595件
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x微分.png
644件
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x差分.png
666件
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x差.png
639件
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F対xの微分商.png
2656件
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F対xの差分商.png
2679件
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F対xの差商.png
365件
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Fの微分.png
376件
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Fの差.png
335件
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Fの差分.png
336件
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xの微分.png
2627件
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xの差分.png
2550件
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xの差.png
2599件
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f=0y+9t.png
456件
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f=1y+6t.png
636件
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f=2y+3t.png
497件
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微小座標系.png
6001件
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偏微分の多義性.png
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HennBibunnAll.png
5775件
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