ベクトル積分/基底成分表記
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/基底成分表記
%indent
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 基底成分表記 [#gf3d8093]
ベクトルの成分表記には、
列ベクトル$$ \arrs{F_x \\ F_y \\ F_z} $$、
線形結合$$ F_x \:e_x + F_y \:e_y + F_z \:e_z $$、
総和規約$$ F_i \:e^i $$があり、普通はこの順番で習う。
列ベクトルは基底を省いた表記で、直観的で初心者に易しいた...
((厳密には、高校では成分を横に並べた横ベクトル$$ (F_x, F_...
その後、座標変換などを扱うとき、基底を省いた裏目で対応で...
続いて、線形結合は記述量が多くて大変なため、すぐに成分計...
しかし、総和規約の計算は添字計算の嵐で、機械的に計算が進...
直観的ではなく、基底間の対応と成分間の対応と式の意味が確...
これに対し、猫式ではベクトルを
$$
\arrb{
\:e_x & F_x
\\ \:e_y & F_y
\\ \:e_z & F_z
}
$$
と表記。
列ベクトルのように基底と成分の両方を並べ、縦線で分離。
基底と成分の位置さえ対応していれば、
$$
\arrb[cc|cc]{
\:e_x & & F_x
\\ \:e_y & \:e_z & F_y & F_z
}
$$
のような不規則な並びも許す((これを許すと、テンソル積に基...
//また、対応する基底と成分の倍積を項と呼び、全ての項がベ...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 混合基底 [#e4fc0392]
一般に、線積分は$$ \inte[R] $ \:F $ \sx $ \:r $$
$$ = $ \inte[R] $ \arrs{ F_x \\ F_y \\ F_z } $$
$$ \sx $ \arrs{ d x \\ d y \\ d z } $$
となるが、
基底成分表記では
$$ \inte[R] $ \arrb{ \:e_x & F_x \\ \:e_y & F_y \\ \:e_z ...
$$ \sx $ \arrb{ \:e_x & d x \\ \:e_y & d y \\ \:e_z ...
になる。
通常、基底と言えば$$ \:e_x $$、$$ \:e_y $$、$$ \:e_z $$を...
微分形式では、$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$を基底と見なし...
このため、ベクトル積分には2種類の基底が混在していること...
猫式では、区別のため、
通常空間の広がりを表す$$ \:e_x $$、$$ \:e_y $$、$$ \:e_z ...
微小空間の広がりを表す$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz ...
対応して、
$$ \arrb{ \:e_x & F_x \\ \:e_y & F_y \\ \:e_z & F_z } $$、
$$ \arrb{ d x & F_x \\ d y & F_y \\ d z & F_z } $$、
$$ \arrb{ \:e_x & d x \\ \:e_y & d y \\ \:e_z & d z } $$...
通常基底のみ、微小基底のみ、両方の基底を含むベクトルをそ...
''通常ベクトル''、''微小ベクトル''、''混合ベクトル''と呼...
また、混合ベクトルの一般型として、
$$
\arrb[c|c|c]
{ \:e_x & dx & F_x
\\ \:e_y & dy & F_y
\\ \:e_z & dz & F_z
}
$ = $
\arrb
{ \:e_x dx & F_x
\\ \:e_y dy & F_y
\\ \:e_z dz & F_z
}
$ = $
\arrb
{ \:e_x & dx F_x
\\ \:e_y & dy F_y
\\ \:e_z & dz F_z
}
$ = $
\arrb
{ dx & \:e_x F_x
\\ dy & \:e_y F_y
\\ dz & \:e_z F_z
}
$ = $
\arrs
{ dx \:e_x F_x
\\ dy \:e_y F_y
\\ dz \:e_z F_z
}
$$
のように表現する。
3つ区切りは基底毎の位取り表記、2つ区切りは基底側に書く...
区切り無しは基底と成分を気にせずに項を並べただけの表記。
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* ベクトルの積 [#hb3a54b3]
混合基底の演算もベクトル同様に、通常ベクトル演算、 微小ベ...
実際、ベクトル置換積分で登場するのは3種類の通常ベクトル...
その6種類の演算は以下の通り。
#ceq(e)
''通常ベクトルの倍積''&br;
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \arrb{1 & B } $$
$$ = $$
$$ \arrb{\:e_x & A_x B \\ \:e_y & A_y B \\ \:e_z & A_...
#ceq
''1次形式 $$ \wx $$ 0次形式''&br;
$$ \arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z} $$
$$ \wx $$
$$ \arrb{1 & B } $$
$$ = $$
$$ \arrb{dx & A_xB \\ dy & A_yB \\ dz & A_zB } $$
#ceq
''通常ベクトルの外積''&br;
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \vx $$
$$ \arrb{\:e_x & B_x \\ \:e_y & B_y \\ \:e_z & B_z} $$
$$ = $$
$$
\arrb{
\:e_x & A_y B_z - A_z B_y
\\ \:e_y & A_z B_x - A_x B_z
\\ \:e_z & A_x B_y - A_y B_x
}
$$
#ceq
''1次形式 $$ \wx $$ 1次形式''&br;
$$ \arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z} $$
$$ \wx $$
$$ \arrb{dx & B_x \\ dy & B_y \\ dz & B_z} $$
$$ = $$
$$
\arrb{
dydz & A_y B_z - A_z B_y
\\ dxdy & A_z B_x - A_x B_z
\\ dydx & A_x B_y - A_y B_x
}
$$
#ceq
''微小ベクトルの内積''&br;
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \Sx $$
$$ \arrb{\:e_x & B_x \\ \:e_y & B_y \\ \:e_z & B_z} $$
$$ = $$
$$ \arrb{ \fracstrut\,1\,& A_x B_x + A_y B_y + A_z B_...
#ceq
''1次形式 $$ \wx $$ 2次形式''&br;
$$ \arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z} $$
$$ \wx $$
$$
\arrb{
dydz & B_{yz}
\\ dzdx & B_{zx}
\\ dxdy & B_{xy}
}
$$
$$ = $$
$$ \arrb{ \fracstrut dxdydz & A_x B_{yz} + A_y B_{zx}...
#ceq(end)
一般的に、通常基底にも$$ \wx $$を適用できる。
むしろ、通常ベクトルの倍積、外積、内積を先に$$ \wx $$で纏...
しかし、この手順では$$ \wx $$が通常基底と微分基底の両方に...
実際、ベクトル解析学の授業では微分形式を使わないし、
微分形式の授業では通常ベクトルの計算が常に展開されてる状...
しかし、これでは科目間に深い溝が出来てしまい、理解の妨げ...
そこで、微小基底の$$ \wx $$と区別するべく、猫式では通常ベ...
これより、通常ベクトルに関する外積演算は以下となる。
#ceq(e)
''通常ベクトルの1次形式 $$ \wxv $$ 0次形式''(''倍...
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \wxv $$
$$ \arrb{1 & B } $$
$$ = $$
$$ \arrb{\:e_x & A_xB \\ \:e_y & A_yB \\ \:e_z & A_zB...
#ceq(e)
''通常ベクトルの1次形式 $$ \wxv $$ 1次形式''(''外...
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \wxv $$
$$ \arrb{\:e_x & B_x \\ \:e_y & B_y \\ \:e_z & B_z} $$
$$ = $$
$$
\arrb{
\:e_y\:e_z & A_y B_z - A_z B_y
\\ \:e_x\:e_y & A_z B_x - A_x B_z
\\ \:e_y\:e_x & A_x B_y - A_y B_x
}
$$
#ceq(e)
''通常ベクトルの1次形式 $$ \wxv $$ 2次形式''(''内...
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \wxv $$
$$
\arrb{
\:e_y\:e_z & B_{yz}
\\ \:e_z\:e_x & B_{zx}
\\ \:e_x\:e_y & B_{xy}
}
$$
$$ = $$
$$ \arrb{ \fracstrut \:e_x\:e_y\:e_z & A_x B_{yz} + A...
#ceq(end)
2次形式と3次形式の基底が少し変わっているが、こっちの方...
今は余り気にせずに通常ベクトル基底の2種類の表現を等価と...
((この違いを扱うには、双対基底の知識が必要になる。その話...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 成分基底表記によるストークスの定理の計算 [#md2528be]
ストークスの定理は、猫式の基底成分表記とベクトル積分演算...
ただ、3次元を扱う限り、倍積、外積、内積の方が敷居が低い...
#ceq(e)
$$ \inte[S] $ d^{-2} $$
$$ \arrb{ \:e_x & \fracstrut \ppd{}{x} \\ \:e_y...
$$ \vx $ \arrb{ \:e_x & \fracstrut F_x \\ \:e_y...
$$ \sx $ \arrb{ \:e_x & \fracstrut d y d z \\ \:e_y...
$$ = $$
$$ \inte[R] $ d^- $$
$$ \arrb{ \:e_x & F_x \\ \:e_y & F_y \\ \:e_z &...
$$ \sx $ \arrb{ \:e_x & d x \\ \:e_y & d y \\ \:e_z &...
#ceq(end)
左辺$$ = $$
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $$
$$
\arrb{
\:e_x & \ppd{F_z}{y} - \ppd{F_y}{z}
\\ \:e_y & \ppd{F_x}{z} - \ppd{F_z}{x}
\\ \:e_z & \ppd{F_y}{x} - \ppd{F_x}{y}
}
$ \sx $
\arrb{
\:e_x & dydz
\\ \:e_y & dzdx
\\ \:e_z & dxdy
}
$$
#ceq
外積を実行
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $$
$$
\arrb{
1 & dydz \left( \ppd{F_z}{y} - \ppd{F_y}{z} \...
\\ 1 & dzdx \left( \ppd{F_x}{z} - \ppd{F_z}{x} \...
\\ 1 & dxdy \left( \ppd{F_y}{x} - \ppd{F_x}{y} \...
}
$$
#ceq
内積を実行
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $$
$$
\arrb{
dydz & \ppd{F_z}{y} - \ppd{F_y}{z}
\\ dzdx & \ppd{F_x}{z} - \ppd{F_z}{x}
\\ dxdy & \ppd{F_y}{x} - \ppd{F_x}{y}
}
$$
#ceq
微小基底にハイライト
&br;ココから、微小基底の計算を開始
&br;微分形式では普通この段階から扱い始める
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $$
$$
\arrb{
dx & \ppd{}{x}
\\ dy & \ppd{}{y}
\\ dz & \ppd{}{z}
}
$ \wx $
\arrb{
dx & F_x \fracstrut
\\ dy & F_y \fracstrut
\\ dz & F_z \fracstrut
}
$$
#ceq
1次形式$$ \wx $$1次形式に分解
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d $$
$$
\arrb{
dx & F_x
\\ dy & F_y
\\ dz & F_z
}
$$
#ceq
外微分演算子の定義、もしくは、全微分の関係、
&br;もしくは、連鎖則のセンスより、$$ d\:r \sx \ddd{}{...
&br;$$ d $$は0次形式のため、$$ \wx $$は省略可能
#ceq(e)
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^- $$
$$
\arrb{
dx & F_x
\\ dy & F_y
\\ dz & F_z
}
$$
#ceq
$$ d $$について累次積分を実行
&br;積分領域を適当に再解釈
&br;微小基底の計算はココまで
#ceq(e)
$$ = $ \inte[R] $ d^- $$
$$
\arrb{
1 & dx F_x
\\ 1 & dy F_y
\\ 1 & dz F_z
}
$ = $
\inte[R] d^-
\arrb{
\:e_x \sx \:e_x & dx F_x
\\ \:e_y \sx \:e_y & dy F_y
\\ \:e_z \sx \:e_z & dz F_z
}
$$
#ceq
再び通常基底にハイライト、通常基底を挿入
&br;このような割り込みは一般的に成立しないが、
&br;各成分に微小基底があるため、ここは可能
#ceq
$$ = $ \inte[R] $ d^- $$
$$
\arrb{
\:e_x & dx
\\ \:e_y & dy
\\ \:e_z & dz
}
$ \sx $
\arrb{
\:e_x & F_x
\\ \:e_y & F_y
\\ \:e_z & F_z
}
$$
#ceq
通常基底の内積に分解
#ceq(e)
=右辺
#ceq(end)
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 簡略表記 [#ybd3f103]
上の計算途中で、
$$
\arrb{
dx & F_x
\\ dy & F_y
\\ dz & F_z
}
$ = $
\arrb{
\:e_x & dx
\\ \:e_y & dy
\\ \:e_z & dz
}
$ \sx $
\arrb{
\:e_x & F_x
\\ \:e_y & F_y
\\ \:e_z & F_z
}
$$
とあるが、注釈にもあるように、
微小基底があるために通常基底の内積を取っても3つの項が混...
このような割り込みが可能となる。
このように、任意のベクトルに対し、通常基底((厳密には双対...
基底のベクトルと成分のベクトルの内積の形に分解できる。
// base, component
これを利用して$$ \arrb{\:B & \:C} $ = $ \:B \sx \:C $$と...
通常ベクトルの内積と基底成分表記が簡単に行き来できる。
これより、微小ベクトルの3種類の演算は次のように書ける。
#ceq()
''1次形式 $$ \wx $$ 0次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 1次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 2次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
#ceq(end)
この簡略表記により、ストークスの定理とガウスの定理は次の...
#ceq()
$$ \inte[S] d^{-2} $ d^2\:S \sx \Big( \ddd{}{\:r} \vx \...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ d $ \arrb{ d^2\:S & \ffd{1}{...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] d^- $ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\:r} } \...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] d^- $ \arrb{ d\:r & \:F } $$
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] d^- $ d\:r \sx \:F $$
#ceq(e)
$$ \inte[V] d^{-3} $ d^3V \Big( \ddd{}{\:r} \sx \...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[V] d^{-3} $ d $ \arrb{ d^3V & \ffd{1}{d\...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\:r} ...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d^2\:S & \:F } $$
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ d^2\:S \sx \:F $$
#ceq(end)
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* まとめ・つなぎ [#e7d87ca4]
今回は、微分形式を経由して、積分公式を導きいた。
ベクトル形の積分公式と微分形式を橋渡しするため独自の表記...
やってることは、
$$ \arrb{ d^2\:S & \cdots } $ = $ \arrb{ d\:r & \cdots } ...
$$ \arrb{ d^3V & \cdots } $ = $ \arrb{ d\:r & \cdots } ...
$$ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\:r} } $$単位で消している。
これと同じことを、前回は$$ d^2\:S \vx \ffd{1}{d\:r} $ = $...
直観的には、
今回は$$ \ffd{8}{2} $ = $ \ffd{2}{2} \times 4 $ = $ 4 $$...
前回は$$ \ffd{8}{2} $ = $ 4 $$のように直接割ってる。
また、導入したイカサマ外積も基底側を作るためのものであっ...
このため、イカサマ外積は必然的に成立していて、必要な演算...
というわけで、次回は基底側の計算について考えてみる。
- つづき ── [[基底積>../基底積]]
/////////////////////////////////////////////////////////...
終了行:
/基底成分表記
%indent
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 基底成分表記 [#gf3d8093]
ベクトルの成分表記には、
列ベクトル$$ \arrs{F_x \\ F_y \\ F_z} $$、
線形結合$$ F_x \:e_x + F_y \:e_y + F_z \:e_z $$、
総和規約$$ F_i \:e^i $$があり、普通はこの順番で習う。
列ベクトルは基底を省いた表記で、直観的で初心者に易しいた...
((厳密には、高校では成分を横に並べた横ベクトル$$ (F_x, F_...
その後、座標変換などを扱うとき、基底を省いた裏目で対応で...
続いて、線形結合は記述量が多くて大変なため、すぐに成分計...
しかし、総和規約の計算は添字計算の嵐で、機械的に計算が進...
直観的ではなく、基底間の対応と成分間の対応と式の意味が確...
これに対し、猫式ではベクトルを
$$
\arrb{
\:e_x & F_x
\\ \:e_y & F_y
\\ \:e_z & F_z
}
$$
と表記。
列ベクトルのように基底と成分の両方を並べ、縦線で分離。
基底と成分の位置さえ対応していれば、
$$
\arrb[cc|cc]{
\:e_x & & F_x
\\ \:e_y & \:e_z & F_y & F_z
}
$$
のような不規則な並びも許す((これを許すと、テンソル積に基...
//また、対応する基底と成分の倍積を項と呼び、全ての項がベ...
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** 混合基底 [#e4fc0392]
一般に、線積分は$$ \inte[R] $ \:F $ \sx $ \:r $$
$$ = $ \inte[R] $ \arrs{ F_x \\ F_y \\ F_z } $$
$$ \sx $ \arrs{ d x \\ d y \\ d z } $$
となるが、
基底成分表記では
$$ \inte[R] $ \arrb{ \:e_x & F_x \\ \:e_y & F_y \\ \:e_z ...
$$ \sx $ \arrb{ \:e_x & d x \\ \:e_y & d y \\ \:e_z ...
になる。
通常、基底と言えば$$ \:e_x $$、$$ \:e_y $$、$$ \:e_z $$を...
微分形式では、$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$を基底と見なし...
このため、ベクトル積分には2種類の基底が混在していること...
猫式では、区別のため、
通常空間の広がりを表す$$ \:e_x $$、$$ \:e_y $$、$$ \:e_z ...
微小空間の広がりを表す$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz ...
対応して、
$$ \arrb{ \:e_x & F_x \\ \:e_y & F_y \\ \:e_z & F_z } $$、
$$ \arrb{ d x & F_x \\ d y & F_y \\ d z & F_z } $$、
$$ \arrb{ \:e_x & d x \\ \:e_y & d y \\ \:e_z & d z } $$...
通常基底のみ、微小基底のみ、両方の基底を含むベクトルをそ...
''通常ベクトル''、''微小ベクトル''、''混合ベクトル''と呼...
また、混合ベクトルの一般型として、
$$
\arrb[c|c|c]
{ \:e_x & dx & F_x
\\ \:e_y & dy & F_y
\\ \:e_z & dz & F_z
}
$ = $
\arrb
{ \:e_x dx & F_x
\\ \:e_y dy & F_y
\\ \:e_z dz & F_z
}
$ = $
\arrb
{ \:e_x & dx F_x
\\ \:e_y & dy F_y
\\ \:e_z & dz F_z
}
$ = $
\arrb
{ dx & \:e_x F_x
\\ dy & \:e_y F_y
\\ dz & \:e_z F_z
}
$ = $
\arrs
{ dx \:e_x F_x
\\ dy \:e_y F_y
\\ dz \:e_z F_z
}
$$
のように表現する。
3つ区切りは基底毎の位取り表記、2つ区切りは基底側に書く...
区切り無しは基底と成分を気にせずに項を並べただけの表記。
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* ベクトルの積 [#hb3a54b3]
混合基底の演算もベクトル同様に、通常ベクトル演算、 微小ベ...
実際、ベクトル置換積分で登場するのは3種類の通常ベクトル...
その6種類の演算は以下の通り。
#ceq(e)
''通常ベクトルの倍積''&br;
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \arrb{1 & B } $$
$$ = $$
$$ \arrb{\:e_x & A_x B \\ \:e_y & A_y B \\ \:e_z & A_...
#ceq
''1次形式 $$ \wx $$ 0次形式''&br;
$$ \arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z} $$
$$ \wx $$
$$ \arrb{1 & B } $$
$$ = $$
$$ \arrb{dx & A_xB \\ dy & A_yB \\ dz & A_zB } $$
#ceq
''通常ベクトルの外積''&br;
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \vx $$
$$ \arrb{\:e_x & B_x \\ \:e_y & B_y \\ \:e_z & B_z} $$
$$ = $$
$$
\arrb{
\:e_x & A_y B_z - A_z B_y
\\ \:e_y & A_z B_x - A_x B_z
\\ \:e_z & A_x B_y - A_y B_x
}
$$
#ceq
''1次形式 $$ \wx $$ 1次形式''&br;
$$ \arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z} $$
$$ \wx $$
$$ \arrb{dx & B_x \\ dy & B_y \\ dz & B_z} $$
$$ = $$
$$
\arrb{
dydz & A_y B_z - A_z B_y
\\ dxdy & A_z B_x - A_x B_z
\\ dydx & A_x B_y - A_y B_x
}
$$
#ceq
''微小ベクトルの内積''&br;
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \Sx $$
$$ \arrb{\:e_x & B_x \\ \:e_y & B_y \\ \:e_z & B_z} $$
$$ = $$
$$ \arrb{ \fracstrut\,1\,& A_x B_x + A_y B_y + A_z B_...
#ceq
''1次形式 $$ \wx $$ 2次形式''&br;
$$ \arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z} $$
$$ \wx $$
$$
\arrb{
dydz & B_{yz}
\\ dzdx & B_{zx}
\\ dxdy & B_{xy}
}
$$
$$ = $$
$$ \arrb{ \fracstrut dxdydz & A_x B_{yz} + A_y B_{zx}...
#ceq(end)
一般的に、通常基底にも$$ \wx $$を適用できる。
むしろ、通常ベクトルの倍積、外積、内積を先に$$ \wx $$で纏...
しかし、この手順では$$ \wx $$が通常基底と微分基底の両方に...
実際、ベクトル解析学の授業では微分形式を使わないし、
微分形式の授業では通常ベクトルの計算が常に展開されてる状...
しかし、これでは科目間に深い溝が出来てしまい、理解の妨げ...
そこで、微小基底の$$ \wx $$と区別するべく、猫式では通常ベ...
これより、通常ベクトルに関する外積演算は以下となる。
#ceq(e)
''通常ベクトルの1次形式 $$ \wxv $$ 0次形式''(''倍...
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \wxv $$
$$ \arrb{1 & B } $$
$$ = $$
$$ \arrb{\:e_x & A_xB \\ \:e_y & A_yB \\ \:e_z & A_zB...
#ceq(e)
''通常ベクトルの1次形式 $$ \wxv $$ 1次形式''(''外...
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \wxv $$
$$ \arrb{\:e_x & B_x \\ \:e_y & B_y \\ \:e_z & B_z} $$
$$ = $$
$$
\arrb{
\:e_y\:e_z & A_y B_z - A_z B_y
\\ \:e_x\:e_y & A_z B_x - A_x B_z
\\ \:e_y\:e_x & A_x B_y - A_y B_x
}
$$
#ceq(e)
''通常ベクトルの1次形式 $$ \wxv $$ 2次形式''(''内...
$$ \arrb{\:e_x & A_x \\ \:e_y & A_y \\ \:e_z & A_z} $$
$$ \wxv $$
$$
\arrb{
\:e_y\:e_z & B_{yz}
\\ \:e_z\:e_x & B_{zx}
\\ \:e_x\:e_y & B_{xy}
}
$$
$$ = $$
$$ \arrb{ \fracstrut \:e_x\:e_y\:e_z & A_x B_{yz} + A...
#ceq(end)
2次形式と3次形式の基底が少し変わっているが、こっちの方...
今は余り気にせずに通常ベクトル基底の2種類の表現を等価と...
((この違いを扱うには、双対基底の知識が必要になる。その話...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 成分基底表記によるストークスの定理の計算 [#md2528be]
ストークスの定理は、猫式の基底成分表記とベクトル積分演算...
ただ、3次元を扱う限り、倍積、外積、内積の方が敷居が低い...
#ceq(e)
$$ \inte[S] $ d^{-2} $$
$$ \arrb{ \:e_x & \fracstrut \ppd{}{x} \\ \:e_y...
$$ \vx $ \arrb{ \:e_x & \fracstrut F_x \\ \:e_y...
$$ \sx $ \arrb{ \:e_x & \fracstrut d y d z \\ \:e_y...
$$ = $$
$$ \inte[R] $ d^- $$
$$ \arrb{ \:e_x & F_x \\ \:e_y & F_y \\ \:e_z &...
$$ \sx $ \arrb{ \:e_x & d x \\ \:e_y & d y \\ \:e_z &...
#ceq(end)
左辺$$ = $$
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $$
$$
\arrb{
\:e_x & \ppd{F_z}{y} - \ppd{F_y}{z}
\\ \:e_y & \ppd{F_x}{z} - \ppd{F_z}{x}
\\ \:e_z & \ppd{F_y}{x} - \ppd{F_x}{y}
}
$ \sx $
\arrb{
\:e_x & dydz
\\ \:e_y & dzdx
\\ \:e_z & dxdy
}
$$
#ceq
外積を実行
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $$
$$
\arrb{
1 & dydz \left( \ppd{F_z}{y} - \ppd{F_y}{z} \...
\\ 1 & dzdx \left( \ppd{F_x}{z} - \ppd{F_z}{x} \...
\\ 1 & dxdy \left( \ppd{F_y}{x} - \ppd{F_x}{y} \...
}
$$
#ceq
内積を実行
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $$
$$
\arrb{
dydz & \ppd{F_z}{y} - \ppd{F_y}{z}
\\ dzdx & \ppd{F_x}{z} - \ppd{F_z}{x}
\\ dxdy & \ppd{F_y}{x} - \ppd{F_x}{y}
}
$$
#ceq
微小基底にハイライト
&br;ココから、微小基底の計算を開始
&br;微分形式では普通この段階から扱い始める
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $$
$$
\arrb{
dx & \ppd{}{x}
\\ dy & \ppd{}{y}
\\ dz & \ppd{}{z}
}
$ \wx $
\arrb{
dx & F_x \fracstrut
\\ dy & F_y \fracstrut
\\ dz & F_z \fracstrut
}
$$
#ceq
1次形式$$ \wx $$1次形式に分解
#ceq
$$ = $ \inte[S] $ d^{-2} $ d $$
$$
\arrb{
dx & F_x
\\ dy & F_y
\\ dz & F_z
}
$$
#ceq
外微分演算子の定義、もしくは、全微分の関係、
&br;もしくは、連鎖則のセンスより、$$ d\:r \sx \ddd{}{...
&br;$$ d $$は0次形式のため、$$ \wx $$は省略可能
#ceq(e)
#ceq(e)
$$ = $ \inte[S] $ d^- $$
$$
\arrb{
dx & F_x
\\ dy & F_y
\\ dz & F_z
}
$$
#ceq
$$ d $$について累次積分を実行
&br;積分領域を適当に再解釈
&br;微小基底の計算はココまで
#ceq(e)
$$ = $ \inte[R] $ d^- $$
$$
\arrb{
1 & dx F_x
\\ 1 & dy F_y
\\ 1 & dz F_z
}
$ = $
\inte[R] d^-
\arrb{
\:e_x \sx \:e_x & dx F_x
\\ \:e_y \sx \:e_y & dy F_y
\\ \:e_z \sx \:e_z & dz F_z
}
$$
#ceq
再び通常基底にハイライト、通常基底を挿入
&br;このような割り込みは一般的に成立しないが、
&br;各成分に微小基底があるため、ここは可能
#ceq
$$ = $ \inte[R] $ d^- $$
$$
\arrb{
\:e_x & dx
\\ \:e_y & dy
\\ \:e_z & dz
}
$ \sx $
\arrb{
\:e_x & F_x
\\ \:e_y & F_y
\\ \:e_z & F_z
}
$$
#ceq
通常基底の内積に分解
#ceq(e)
=右辺
#ceq(end)
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 簡略表記 [#ybd3f103]
上の計算途中で、
$$
\arrb{
dx & F_x
\\ dy & F_y
\\ dz & F_z
}
$ = $
\arrb{
\:e_x & dx
\\ \:e_y & dy
\\ \:e_z & dz
}
$ \sx $
\arrb{
\:e_x & F_x
\\ \:e_y & F_y
\\ \:e_z & F_z
}
$$
とあるが、注釈にもあるように、
微小基底があるために通常基底の内積を取っても3つの項が混...
このような割り込みが可能となる。
このように、任意のベクトルに対し、通常基底((厳密には双対...
基底のベクトルと成分のベクトルの内積の形に分解できる。
// base, component
これを利用して$$ \arrb{\:B & \:C} $ = $ \:B \sx \:C $$と...
通常ベクトルの内積と基底成分表記が簡単に行き来できる。
これより、微小ベクトルの3種類の演算は次のように書ける。
#ceq()
''1次形式 $$ \wx $$ 0次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 1次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 2次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
#ceq(end)
この簡略表記により、ストークスの定理とガウスの定理は次の...
#ceq()
$$ \inte[S] d^{-2} $ d^2\:S \sx \Big( \ddd{}{\:r} \vx \...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ d $ \arrb{ d^2\:S & \ffd{1}{...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] d^- $ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\:r} } \...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] d^- $ \arrb{ d\:r & \:F } $$
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] d^- $ d\:r \sx \:F $$
#ceq(e)
$$ \inte[V] d^{-3} $ d^3V \Big( \ddd{}{\:r} \sx \...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[V] d^{-3} $ d $ \arrb{ d^3V & \ffd{1}{d\...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\:r} ...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d^2\:S & \:F } $$
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ d^2\:S \sx \:F $$
#ceq(end)
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* まとめ・つなぎ [#e7d87ca4]
今回は、微分形式を経由して、積分公式を導きいた。
ベクトル形の積分公式と微分形式を橋渡しするため独自の表記...
やってることは、
$$ \arrb{ d^2\:S & \cdots } $ = $ \arrb{ d\:r & \cdots } ...
$$ \arrb{ d^3V & \cdots } $ = $ \arrb{ d\:r & \cdots } ...
$$ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\:r} } $$単位で消している。
これと同じことを、前回は$$ d^2\:S \vx \ffd{1}{d\:r} $ = $...
直観的には、
今回は$$ \ffd{8}{2} $ = $ \ffd{2}{2} \times 4 $ = $ 4 $$...
前回は$$ \ffd{8}{2} $ = $ 4 $$のように直接割ってる。
また、導入したイカサマ外積も基底側を作るためのものであっ...
このため、イカサマ外積は必然的に成立していて、必要な演算...
というわけで、次回は基底側の計算について考えてみる。
- つづき ── [[基底積>../基底積]]
/////////////////////////////////////////////////////////...
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