ベクトル積分/基底積
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/基底積
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* 基底積 [#dcc18215]
[[基底成分表記>../基底成分表記]]で述べた通り、猫式では通...
微小ベクトルの$$ \wx $$と区別するため、$$ \wxv $$で表記す...
これより、微小ベクトルの3種類の演算は次のように書ける。
#ceq()
''1次形式 $$ \wx $$ 0次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 1次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 2次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
#ceq(end)
これは、微小ベクトルの外積の成分側は$$ \wxv $$というであ...
また、$$ \wxv $$は個々の形式において通常ベクトルの演算の...
非常に単純な関係だが、2種類の外積を区別しない限り簡単に...
しかし、例えば$$ [ d\:S | \:A \wxv \:B ] $$という表現は成...
基底側は等号の左側に無い記号を使っていて、バランスが悪い。
そこで、基底側にも成分側と同様に$$ \wxb $$演算子を形式的...
以下のように微小ベクトルの外積$$ \wx $$が$$ \wxb $$と$$ \...
ここで、$$ \wxb $$は基底側の積のため、''基底積''と呼ぶ。
#ceq()
''1次形式 $$ \wx $$ 0次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 1次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 2次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
#ceq(end)
記号の由来は$$ \wx $$の基底側に現われる積のために似せてい...
$$ \wxv $$は$$ \wx $$と同じく外積空間を作る外積ではあるの...
今は基底積の演算法則は重要ではないが、一応3次元の場合は...
微小ベクトルの外積として計算し、その微小基底と対応する通...
#ceq(e)
''微小ベクトルの1次形式 $$ \wxb $$ 0次形式''&br;
$$ d\:r $ \wxb $ \spc{ 1}{d^2\:S} $ = $ \spc{d^1\...
$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z} $$
$$ \wxb $$
$$ \arrb{1 & 1} $$
$$ = $$
$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z } $$
#ceq(e)
''微小ベクトルの1次形式 $$ \wxb $$ 1次形式''&br;
$$ d\:r $ \wxb $ \spc{d^1\:r}{d^2\:S} $ = $ \spc{d^2\...
$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z} $$
$$ \wxb $$
$$ \arrb{dx & B_x \\ dy & B_y \\ dz & B_z} $$
$$ = $$
$$
\arrb{
dydz & \:e_y \:e_z
\\ dxdy & \:e_z \:e_x
\\ dydx & \:e_x \:e_y
}
$$
#ceq(e)
''微小ベクトルの1次形式 $$ \wxb $$ 2次形式''&br;
$$ d\:r $ \wxb $ \spc{d^2\:S}{d^2\:S} $ = $ \spc{d^3 ...
$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z} $$
$$ \wxb $$
$$
\arrb{
dydz & \:e_y\:e_z
\\ dzdx & \:e_z\:e_x
\\ dxdy & \:e_x\:e_y
}
$$
$$ = $$
$$ \arrb{ \fracstrut dxdydz & \:e_x\:e_y\:e_z} $$
#ceq(end)
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 微小基底の累乗表現 [#qc3c7f4c]
基底積を用いれば、以下のように、全ての微小基底を$$ d\:r $...
#ceq(e)
$$ d^1\:r $ = $ d\:r $$
#ceq(e)
$$ d^2\:S $ = $ d\:r $ \wxb $ d\:r $$
#ceq(e)
$$ d^3 V $ = $ d\:r $ \wxb $ d^2\:S $ = $ d\:r $ \wx...
#ceq(end)
積がこの形になれば、累乗で書きたくなるのが数学的センスで...
しかし、$$ d\:r^2 $$は既にベクトルの内積$$ d\:r \sx d\:r ...
$$ d\:r^n $$の形で書くのは避けたい。
そこで、猫式では、基底積の累乗を$$ d\:r^{\wxb n} $$、また...
((同時に、内積を示す累乗表記は、紛らわしいときは内積であ...
また、便宜上、$$ d\:r^{\wx 0} $ = $ 1 $$と決める。
これより、基底積の演算は次のようになり、
#ceq()
''1次形式 $$ \wx $$ 0次形式'': $$ [ d\:r | \:A ]...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 1次形式'': $$ [ d\:r | \:A ]...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 2次形式'': $$ [ d\:r | \:A ]...
#ceq(end)
1次形式 $$ \wx $ n $$次形式の統一表現を得る。
#ceq()
$$ [ d\:r | \:A ] $ \wx $ [ d\:r^{\wx n} | \:B ] $ = ...
#ceq(end)
さらに、ストークスの定理とガウスの定理は次のように表記で...
#ceq()
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d\:r^{\wx2} & \ff...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] d^{-2} $ d $ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] d^{-1} $ \arrb{ d\:r^{\wx1} & \:F...
#ceq(e)
$$ = $ \inte[V] d^{-3} $ \arrb{ d\:r^{\wx3} & \ff...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-3} $ d $ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d\:r^{\wx2} & \:F...
#ceq(end)
$$ n+1 $$階から$$ n $$階に下る置換積分の統一表現は次のよ...
ただし、$$ \Omega $$は$$ n+1 $$次元の超空間、$$ \partial\...
#ceq(e)
$$ = $ \inte[ \Omega] d^{-(n+1)} $ ...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[\partial\Omega] \!\!\! d^{-(n+1)} $ d $ ...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[\partial\Omega] \!\!\! d^{-n} $ \arr...
#ceq(end)
この表記であれば、
微分$$ \ddd{}{\:r} $$の$$ d $$が$$ d^{-(n+1)} $$と打ち消...
$$ d\:r $$が$$ d\:r^{\wx(n+1)} $$と打ち消す感覚で等式の左...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* まとめ・つなぎ [#e7d87ca4]
前々回、[[ベクトル置換積分>../ベクトル置換積分]]では無理...
前回、[[基底成分表記>../基底成分表記]]では合法な手法で$$ ...
そして今回、表記自体を見直し、同じ式を$$ \ffd{2^3}{2} $ =...
その結果、全ての微小要素が$$ d\:r^{\wx n} $$の形で記述さ...
ところが、3次元空間では基底積の演算は3通りあるのに置換...
1次形式$$ \wx $$0次形式の式に対応した置換積分がまだ登場...
次回は$$ d\:r^{\wx0} $$に対応する積分と、$$ d\:r^{\wx0} $...
- つづき ── [[点積分>../点積分]]
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終了行:
/基底積
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* 基底積 [#dcc18215]
[[基底成分表記>../基底成分表記]]で述べた通り、猫式では通...
微小ベクトルの$$ \wx $$と区別するため、$$ \wxv $$で表記す...
これより、微小ベクトルの3種類の演算は次のように書ける。
#ceq()
''1次形式 $$ \wx $$ 0次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 1次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 2次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
#ceq(end)
これは、微小ベクトルの外積の成分側は$$ \wxv $$というであ...
また、$$ \wxv $$は個々の形式において通常ベクトルの演算の...
非常に単純な関係だが、2種類の外積を区別しない限り簡単に...
しかし、例えば$$ [ d\:S | \:A \wxv \:B ] $$という表現は成...
基底側は等号の左側に無い記号を使っていて、バランスが悪い。
そこで、基底側にも成分側と同様に$$ \wxb $$演算子を形式的...
以下のように微小ベクトルの外積$$ \wx $$が$$ \wxb $$と$$ \...
ここで、$$ \wxb $$は基底側の積のため、''基底積''と呼ぶ。
#ceq()
''1次形式 $$ \wx $$ 0次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 1次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 2次形式'': $$ [ d\:r | \:A ] ...
#ceq(end)
記号の由来は$$ \wx $$の基底側に現われる積のために似せてい...
$$ \wxv $$は$$ \wx $$と同じく外積空間を作る外積ではあるの...
今は基底積の演算法則は重要ではないが、一応3次元の場合は...
微小ベクトルの外積として計算し、その微小基底と対応する通...
#ceq(e)
''微小ベクトルの1次形式 $$ \wxb $$ 0次形式''&br;
$$ d\:r $ \wxb $ \spc{ 1}{d^2\:S} $ = $ \spc{d^1\...
$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z} $$
$$ \wxb $$
$$ \arrb{1 & 1} $$
$$ = $$
$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z } $$
#ceq(e)
''微小ベクトルの1次形式 $$ \wxb $$ 1次形式''&br;
$$ d\:r $ \wxb $ \spc{d^1\:r}{d^2\:S} $ = $ \spc{d^2\...
$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z} $$
$$ \wxb $$
$$ \arrb{dx & B_x \\ dy & B_y \\ dz & B_z} $$
$$ = $$
$$
\arrb{
dydz & \:e_y \:e_z
\\ dxdy & \:e_z \:e_x
\\ dydx & \:e_x \:e_y
}
$$
#ceq(e)
''微小ベクトルの1次形式 $$ \wxb $$ 2次形式''&br;
$$ d\:r $ \wxb $ \spc{d^2\:S}{d^2\:S} $ = $ \spc{d^3 ...
$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z} $$
$$ \wxb $$
$$
\arrb{
dydz & \:e_y\:e_z
\\ dzdx & \:e_z\:e_x
\\ dxdy & \:e_x\:e_y
}
$$
$$ = $$
$$ \arrb{ \fracstrut dxdydz & \:e_x\:e_y\:e_z} $$
#ceq(end)
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* 微小基底の累乗表現 [#qc3c7f4c]
基底積を用いれば、以下のように、全ての微小基底を$$ d\:r $...
#ceq(e)
$$ d^1\:r $ = $ d\:r $$
#ceq(e)
$$ d^2\:S $ = $ d\:r $ \wxb $ d\:r $$
#ceq(e)
$$ d^3 V $ = $ d\:r $ \wxb $ d^2\:S $ = $ d\:r $ \wx...
#ceq(end)
積がこの形になれば、累乗で書きたくなるのが数学的センスで...
しかし、$$ d\:r^2 $$は既にベクトルの内積$$ d\:r \sx d\:r ...
$$ d\:r^n $$の形で書くのは避けたい。
そこで、猫式では、基底積の累乗を$$ d\:r^{\wxb n} $$、また...
((同時に、内積を示す累乗表記は、紛らわしいときは内積であ...
また、便宜上、$$ d\:r^{\wx 0} $ = $ 1 $$と決める。
これより、基底積の演算は次のようになり、
#ceq()
''1次形式 $$ \wx $$ 0次形式'': $$ [ d\:r | \:A ]...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 1次形式'': $$ [ d\:r | \:A ]...
&br;''1次形式 $$ \wx $$ 2次形式'': $$ [ d\:r | \:A ]...
#ceq(end)
1次形式 $$ \wx $ n $$次形式の統一表現を得る。
#ceq()
$$ [ d\:r | \:A ] $ \wx $ [ d\:r^{\wx n} | \:B ] $ = ...
#ceq(end)
さらに、ストークスの定理とガウスの定理は次のように表記で...
#ceq()
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d\:r^{\wx2} & \ff...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] d^{-2} $ d $ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[R] d^{-1} $ \arrb{ d\:r^{\wx1} & \:F...
#ceq(e)
$$ = $ \inte[V] d^{-3} $ \arrb{ d\:r^{\wx3} & \ff...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-3} $ d $ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d\:r^{\wx2} & \:F...
#ceq(end)
$$ n+1 $$階から$$ n $$階に下る置換積分の統一表現は次のよ...
ただし、$$ \Omega $$は$$ n+1 $$次元の超空間、$$ \partial\...
#ceq(e)
$$ = $ \inte[ \Omega] d^{-(n+1)} $ ...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[\partial\Omega] \!\!\! d^{-(n+1)} $ d $ ...
#ceq(c)
$$ = $ \inte[\partial\Omega] \!\!\! d^{-n} $ \arr...
#ceq(end)
この表記であれば、
微分$$ \ddd{}{\:r} $$の$$ d $$が$$ d^{-(n+1)} $$と打ち消...
$$ d\:r $$が$$ d\:r^{\wx(n+1)} $$と打ち消す感覚で等式の左...
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* まとめ・つなぎ [#e7d87ca4]
前々回、[[ベクトル置換積分>../ベクトル置換積分]]では無理...
前回、[[基底成分表記>../基底成分表記]]では合法な手法で$$ ...
そして今回、表記自体を見直し、同じ式を$$ \ffd{2^3}{2} $ =...
その結果、全ての微小要素が$$ d\:r^{\wx n} $$の形で記述さ...
ところが、3次元空間では基底積の演算は3通りあるのに置換...
1次形式$$ \wx $$0次形式の式に対応した置換積分がまだ登場...
次回は$$ d\:r^{\wx0} $$に対応する積分と、$$ d\:r^{\wx0} $...
- つづき ── [[点積分>../点積分]]
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xu基底系.png
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BxC.png
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AxBxC+-.png
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Ax(BxC).png
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Ax(BxC)+-.png
401件
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原子半径の温度変化.jpg
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密度の温度変化.jpg
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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根号式.png
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分数式.png
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
480件
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
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ベクトル除算.png
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基底除算.png
626件
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立方体.jpg
153件
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中2文教P12図.PNG
555件
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ffd_p_q_2d.gif
304件
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ffd_p_q.gif
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Ouv.png
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Ors.png
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1cosIsinMap.png
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正弦減法.png
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dyfrdceqtan.png
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F対xの差商.png
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