ベクトル積分の変数変換係数
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* 凌宮表記術: $$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$へ...
;;ベクトル積分は、線積分、面積分、体積分があり、座標系の...
;,その変数変換が線面体の違いと考えている次元の違いで、異...
;,その上、統一した表記法も確立してないため、高い学習コス...
;;凌宮数学では、基底積により微分基底を$$ d\:r^{\wx n} $$...
;,変数変換係数は変換前後の基底積の割算で表記する。
;;$$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係...
#ceq(e)
$$ d\:r^{\wx n} $ = \ddd{\:r^{\wx n}}{\:q^{\wx m}} $ d\...
#ceq(d)
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* 具体定義 [#od65ef9d]
;,ベクトル積分は、考えている空間の次元$$ m $$と積分領域の...
;,$$ m $$と$$ n $$は共に正自然数であり、$$ m $ \le $ n $$...
;,例えば、3次元までのベクトル解析では、以下の6通りになる。
|>|>|>|*表1: ベクトル積分の分類|c
|* |*on $$ \mathbb{R}^1 $$ ...
| |1次元空間上の ...
| |線上の ...
|*$$ \mathbb{R}^1 $$|$$ \mathbb{R}^1 $$on $$ \mathbb{R}^1...
| 1次元積分 |1次元空間上の1次元積分 ...
| 線積分 |線上の線積分 ...
|*$$ \mathbb{R}^2 $$| ...
| 2次元積分 | ...
| 面積分 | ...
|*$$ \mathbb{R}^3 $$| ...
| 3次元積分 | ...
| 体積分 | ...
;,以下では、ベクトル解析学の知見に基づき、各場合に対し変...
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^1 $$: 1次元空間上...
;;一般に、1次元から1次元の変数変換は常微分で表される。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ dx $ = $ \int_\gGm $ \ddd{x}{u} ...
#ceq(d)
;;凌宮表記では、同じ表記に定義する。
;,統一表記で書くと、$$ dr $ = $ dx $$、$$ dq $ = $ du $$...
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ dr $ = $ \int_\gGm $ \ddd{r}{q} ...
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$: 2次元空間上...
;;高次元での線積分では、成分毎に1次元の変数変換を行えば...
;,変換先が1次元のため、$$ x $$と$$ y $$は$$ u $$のみの関...
;,変換係数は常微分、つまり1変数関数の微分になる((凌宮数...
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du ...
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $ ...
#ceq(d)
;;凌宮表記では、変換係数を正基底と逆基底のテンソル積とし...
;,$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ dq $ = $ du $$と...
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{q} $$
$$:= $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$
$$ = $ \ffd{1}{du} $ \arrs{ dx \\ dy } $$
$$ = $ \ffd{1}{dq} $ d\:r $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}...
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$: 3次元空間上...
;;3次元は2次元と同様に考えれば良い。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du ...
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \...
#ceq(d)
;;凌宮の表記は2次元と同様に、
;.$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$、$$ dq $ = $ d...
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{q} $$
$$:= $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$
$$ = $ \ffd{1}{du} $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
$$ = $ \ffd{1}{dq} $ d\:r $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}...
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^2 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$: 2次元空間上...
;;一般に、2次元から2次元の変数変換は微小平行四辺形の面積...
;,$$ dx $ = $ \ppd{x}{u} $ du $ + $ \ppd{x}{v} $ dv $$、
;.$$ dy $ = $ \ppd{y}{u} $ du $ + $ \ppd{y}{v} $ dv $$で...
;,$$ (u,v) $$座標上では、$$ dx $$と$$ dy $$が平行四辺形を...
;.面積は$$ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \pp...
;,よって、
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $$
$$ = $ \int_\gSg $ \bigg( $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ -...
#ceq(d)
;,この変換係数には、変換元$$ (x,y) $$の変換先$$ (u,v) $$...
;,これらを成分に持つヤコビ行列の行列式でも表現できる。
#ceq(e)
ヤコビ行列:$$ \ppd{(x,y)}{(u,v)} $ = $ \arrs[cc]{ \ppd...
#ceq(e)
ヤコビアン:$$ \left| \ppd{(x,y)}{(u,v)} \right| $ = $ ...
$$ = $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{...
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $$
$$ = $ \int_\gSg $ \left|\arr[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}...
#ceq(d)
;,この他、あまり用いられないものの、2次元のベクトルのクロ...
;,3次元空間上の面積分との一貫性の観点では、クロス積表記の...
#ceq(e)
$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{x}{v} } $ \vx $ \arrs{ \dd...
$$ = $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{...
#ceq(d)
;,凌宮表記では、まず1次元ヤコビアンをテンソル積として定義...
;,次に$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx2} $ = $ \arrs{ dx \\ dy } $...
;,1次のヤコビアンから2次のヤコビアンに変換する演算「$$ {}...
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } \tx \arrs{ d...
$$ = $ \arrs[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u}...
#ceq(e)
$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx2} $$
$$ = $ \left[ \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd...
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $ \vx $ \arrs{...
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx2} $ = $ \int_\gSg $ \l...
#ceq(d)
;,変形の途中で現れる2次元のクロス積はあまり広く使われてな...
;,3次元空間上の2次元曲面の変換係数がヤコビアンで表せず、...
;,2次元空間上の変換係数もクロス積で解釈できた方が整理しや...
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** $$ \mathbb{R}^2 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$: 3次元空間上...
;;高次元での面積分では、線積分と同様に成分ごとに変数変換...
#ceq(e)
$$ \:S $ = $ \int_\gSg $ \arrs{ dy\,dz \\ dz\,dx \\ dx\...
$$ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \left|\ppd{(y,z)}{(u,v)}\righ...
$$ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \left|\ppd{(y,z)}{(u,v)}\righ...
#ceq(d)
;,3×2のヤコビ行列自体は定義されているが、正方行列でないた...
;,ヤコビアンを用いた変換係数の表記法はこれ以上簡潔にでき...
#ceq(e)
ヤコビ行列:$$ \ppd{(x,y,z)}{(u,v)} $ = $ \arrs[cc]{ \p...
#ceq(d)
;,ところで、2x2のヤコビアンを展開すると、交差積になってい...
;,そのため、クロス積で簡潔に記述手法が広く用いられている。
#ceq(e)
$$ \:S \ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \ppd{y}{u} \ppd{z}{v} -...
$$ = $ \int_\gSg $ $ \arrs{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\...
$$ = $ \int_\gSg $ $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} ...
#ceq(d)
;,凌宮表記では、2次元空間上の面積分と同様に、
;,1次のヤコビアンを定義してからクロス積で2次のヤコビアン...
;,$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx2} $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz} ...
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } \tx \arrs{ d...
$$ = $ \arrs[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u}...
#ceq(e)
$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx2} $$
$$ = $ \left[ \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd...
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } ...
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx2} $ = $ \int_\gSg $ \l...
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^3 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$: 3次元空間上...
;;一般に、3次元から3次元の変数変換は微小平行六面体の体積...
;,$$ dx $ = $ \ppd{x}{u} $ du $ + $ \ppd{x}{v} $ dw $ + $...
;,$$ dy $ = $ \ppd{y}{u} $ du $ + $ \ppd{y}{v} $ dw $ + $...
;,$$ dz $ = $ \ppd{z}{u} $ du $ + $ \ppd{z}{v} $ dw $ + $...
;,$$ (u,v,w) $$座標上では、$$ dx $$,$$ dy $$,$$ dz $$が平...
;,体積はヤコビアンまたはベクトルのスカラ三重積で表せる。
#ceq(e)
$$ dx $ dy $ dz $ = $ \left| \arr[ccc]{ \ddd{x}{u} & \d...
#ceq(d)
#ceq(e)
ヤコビ行列:$$ \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} $ = $ \arrs[ccc]{...
#ceq(e)
ヤコビアン:$$ \left| \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} \right| $$
$$ = $ \left| \arr[ccc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} & \ppd...
$$ = $ \arrs[ccc]{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\ \ppd{z}{...
$$ = $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ \sx $ \ppd{\...
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $ dz $$
$$ = $ \int_\gSg $ \left| \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} \right...
$$ = $ \int_\gSg $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ ...
#ceq(d)
;,凌宮表記では、3次元空間上の面積分を真似て、
;,1次のヤコビアンを定義してからスカラ三重積で2次のヤコビ...
;,$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx3} $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz} ...
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} \\ \ffd{1}{dw}...
$$ = $ \arrs[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w}...
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$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx3} $$
$$ = $ \left[ \arr[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd...
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } ...
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx3} $ = $ \int_\gSg $ \l...
#ceq(d)
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* 各表記による変換係数の記述 [#cc706f5b]
;,以下に、表記毎に纏める。
;,3次元のベクトル解析で扱う空間と積分は以下の6通り。
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** 凌宮表記 [#z11ee2b3]
;,$$ m $$次元空間上の$$ n $$次元積分:$$ \mathbb{R}^m $$ ...
;,統一的に$$ \int_\gDl $ d\:r^n $ = $ \int_\gDl $ \left( ...
|* |*on $$ \mathbb{R}^1 $$ ...
|*$$ \mathbb{R}^1 $$|1次元空間上の1次元積分&br;線上の線積...
|*$$ \mathbb{R}^2 $$| ...
|*$$ \mathbb{R}^3 $$| ...
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* 凌宮表記術: $$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$へ...
;;ベクトル積分は、線積分、面積分、体積分があり、座標系の...
;,その変数変換が線面体の違いと考えている次元の違いで、異...
;,その上、統一した表記法も確立してないため、高い学習コス...
;;凌宮数学では、基底積により微分基底を$$ d\:r^{\wx n} $$...
;,変数変換係数は変換前後の基底積の割算で表記する。
;;$$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係...
#ceq(e)
$$ d\:r^{\wx n} $ = \ddd{\:r^{\wx n}}{\:q^{\wx m}} $ d\...
#ceq(d)
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* 具体定義 [#od65ef9d]
;,ベクトル積分は、考えている空間の次元$$ m $$と積分領域の...
;,$$ m $$と$$ n $$は共に正自然数であり、$$ m $ \le $ n $$...
;,例えば、3次元までのベクトル解析では、以下の6通りになる。
|>|>|>|*表1: ベクトル積分の分類|c
|* |*on $$ \mathbb{R}^1 $$ ...
| |1次元空間上の ...
| |線上の ...
|*$$ \mathbb{R}^1 $$|$$ \mathbb{R}^1 $$on $$ \mathbb{R}^1...
| 1次元積分 |1次元空間上の1次元積分 ...
| 線積分 |線上の線積分 ...
|*$$ \mathbb{R}^2 $$| ...
| 2次元積分 | ...
| 面積分 | ...
|*$$ \mathbb{R}^3 $$| ...
| 3次元積分 | ...
| 体積分 | ...
;,以下では、ベクトル解析学の知見に基づき、各場合に対し変...
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^1 $$: 1次元空間上...
;;一般に、1次元から1次元の変数変換は常微分で表される。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ dx $ = $ \int_\gGm $ \ddd{x}{u} ...
#ceq(d)
;;凌宮表記では、同じ表記に定義する。
;,統一表記で書くと、$$ dr $ = $ dx $$、$$ dq $ = $ du $$...
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ dr $ = $ \int_\gGm $ \ddd{r}{q} ...
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$: 2次元空間上...
;;高次元での線積分では、成分毎に1次元の変数変換を行えば...
;,変換先が1次元のため、$$ x $$と$$ y $$は$$ u $$のみの関...
;,変換係数は常微分、つまり1変数関数の微分になる((凌宮数...
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du ...
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $ ...
#ceq(d)
;;凌宮表記では、変換係数を正基底と逆基底のテンソル積とし...
;,$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ dq $ = $ du $$と...
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{q} $$
$$:= $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$
$$ = $ \ffd{1}{du} $ \arrs{ dx \\ dy } $$
$$ = $ \ffd{1}{dq} $ d\:r $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}...
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$: 3次元空間上...
;;3次元は2次元と同様に考えれば良い。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du ...
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \...
#ceq(d)
;;凌宮の表記は2次元と同様に、
;.$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$、$$ dq $ = $ d...
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{q} $$
$$:= $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$
$$ = $ \ffd{1}{du} $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
$$ = $ \ffd{1}{dq} $ d\:r $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}...
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^2 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$: 2次元空間上...
;;一般に、2次元から2次元の変数変換は微小平行四辺形の面積...
;,$$ dx $ = $ \ppd{x}{u} $ du $ + $ \ppd{x}{v} $ dv $$、
;.$$ dy $ = $ \ppd{y}{u} $ du $ + $ \ppd{y}{v} $ dv $$で...
;,$$ (u,v) $$座標上では、$$ dx $$と$$ dy $$が平行四辺形を...
;.面積は$$ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \pp...
;,よって、
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $$
$$ = $ \int_\gSg $ \bigg( $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ -...
#ceq(d)
;,この変換係数には、変換元$$ (x,y) $$の変換先$$ (u,v) $$...
;,これらを成分に持つヤコビ行列の行列式でも表現できる。
#ceq(e)
ヤコビ行列:$$ \ppd{(x,y)}{(u,v)} $ = $ \arrs[cc]{ \ppd...
#ceq(e)
ヤコビアン:$$ \left| \ppd{(x,y)}{(u,v)} \right| $ = $ ...
$$ = $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{...
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $$
$$ = $ \int_\gSg $ \left|\arr[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}...
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;,この他、あまり用いられないものの、2次元のベクトルのクロ...
;,3次元空間上の面積分との一貫性の観点では、クロス積表記の...
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$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{x}{v} } $ \vx $ \arrs{ \dd...
$$ = $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{...
#ceq(d)
;,凌宮表記では、まず1次元ヤコビアンをテンソル積として定義...
;,次に$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx2} $ = $ \arrs{ dx \\ dy } $...
;,1次のヤコビアンから2次のヤコビアンに変換する演算「$$ {}...
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } \tx \arrs{ d...
$$ = $ \arrs[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u}...
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$$ = $ \left[ \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd...
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $ \vx $ \arrs{...
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx2} $ = $ \int_\gSg $ \l...
#ceq(d)
;,変形の途中で現れる2次元のクロス積はあまり広く使われてな...
;,3次元空間上の2次元曲面の変換係数がヤコビアンで表せず、...
;,2次元空間上の変換係数もクロス積で解釈できた方が整理しや...
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** $$ \mathbb{R}^2 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$: 3次元空間上...
;;高次元での面積分では、線積分と同様に成分ごとに変数変換...
#ceq(e)
$$ \:S $ = $ \int_\gSg $ \arrs{ dy\,dz \\ dz\,dx \\ dx\...
$$ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \left|\ppd{(y,z)}{(u,v)}\righ...
$$ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \left|\ppd{(y,z)}{(u,v)}\righ...
#ceq(d)
;,3×2のヤコビ行列自体は定義されているが、正方行列でないた...
;,ヤコビアンを用いた変換係数の表記法はこれ以上簡潔にでき...
#ceq(e)
ヤコビ行列:$$ \ppd{(x,y,z)}{(u,v)} $ = $ \arrs[cc]{ \p...
#ceq(d)
;,ところで、2x2のヤコビアンを展開すると、交差積になってい...
;,そのため、クロス積で簡潔に記述手法が広く用いられている。
#ceq(e)
$$ \:S \ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \ppd{y}{u} \ppd{z}{v} -...
$$ = $ \int_\gSg $ $ \arrs{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\...
$$ = $ \int_\gSg $ $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} ...
#ceq(d)
;,凌宮表記では、2次元空間上の面積分と同様に、
;,1次のヤコビアンを定義してからクロス積で2次のヤコビアン...
;,$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx2} $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz} ...
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } \tx \arrs{ d...
$$ = $ \arrs[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u}...
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$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx2} $$
$$ = $ \left[ \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd...
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } ...
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$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx2} $ = $ \int_\gSg $ \l...
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** $$ \mathbb{R}^3 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$: 3次元空間上...
;;一般に、3次元から3次元の変数変換は微小平行六面体の体積...
;,$$ dx $ = $ \ppd{x}{u} $ du $ + $ \ppd{x}{v} $ dw $ + $...
;,$$ dy $ = $ \ppd{y}{u} $ du $ + $ \ppd{y}{v} $ dw $ + $...
;,$$ dz $ = $ \ppd{z}{u} $ du $ + $ \ppd{z}{v} $ dw $ + $...
;,$$ (u,v,w) $$座標上では、$$ dx $$,$$ dy $$,$$ dz $$が平...
;,体積はヤコビアンまたはベクトルのスカラ三重積で表せる。
#ceq(e)
$$ dx $ dy $ dz $ = $ \left| \arr[ccc]{ \ddd{x}{u} & \d...
#ceq(d)
#ceq(e)
ヤコビ行列:$$ \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} $ = $ \arrs[ccc]{...
#ceq(e)
ヤコビアン:$$ \left| \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} \right| $$
$$ = $ \left| \arr[ccc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} & \ppd...
$$ = $ \arrs[ccc]{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\ \ppd{z}{...
$$ = $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ \sx $ \ppd{\...
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$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $ dz $$
$$ = $ \int_\gSg $ \left| \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} \right...
$$ = $ \int_\gSg $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ ...
#ceq(d)
;,凌宮表記では、3次元空間上の面積分を真似て、
;,1次のヤコビアンを定義してからスカラ三重積で2次のヤコビ...
;,$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx3} $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz} ...
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} \\ \ffd{1}{dw}...
$$ = $ \arrs[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w}...
#ceq(e)
$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx3} $$
$$ = $ \left[ \arr[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd...
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } ...
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx3} $ = $ \int_\gSg $ \l...
#ceq(d)
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 各表記による変換係数の記述 [#cc706f5b]
;,以下に、表記毎に纏める。
;,3次元のベクトル解析で扱う空間と積分は以下の6通り。
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 凌宮表記 [#z11ee2b3]
;,$$ m $$次元空間上の$$ n $$次元積分:$$ \mathbb{R}^m $$ ...
;,統一的に$$ \int_\gDl $ d\:r^n $ = $ \int_\gDl $ \left( ...
|* |*on $$ \mathbb{R}^1 $$ ...
|*$$ \mathbb{R}^1 $$|1次元空間上の1次元積分&br;線上の線積...
|*$$ \mathbb{R}^2 $$| ...
|*$$ \mathbb{R}^3 $$| ...
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xu基底系.png
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xu座標系.png
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x座標系.png
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2ApplePlate.png
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Apple.png
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符号ix(ixj).png
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符号Ax(BxC).png
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符号判定Ax(BxC).png
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BxC.png
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AxBxC+-.png
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Ax(BxC).png
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Ax(BxC)+-.png
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原子半径の温度変化.jpg
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密度の温度変化.jpg
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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基底除算.png
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中2文教P12図.PNG
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ffd_p_q.gif
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