ベクトル微分演算子
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/ベクトル微分演算子
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* 凌宮表記術:$$ F $$をベクトル$$ \:r $$で微分 [#nb6b6566]
;,ベクトル微分演算には勾配、回転、発散があり、ベクトル表...
#ceq(e)
関数表記:$$ \grad $$、$$ \rot $$、$$ \diver $$
&br;ナブラ表記:$$ \:\nabla $$、$$ \:\nabla \vx $$、$$ \:...
#ceq(end)
;,ナブラ表記では、ベクトル演算子を利用しているため、計算...
;,ところが、ナブラを微分対象の左隣に書くという制約のため...
((特に交換則が成立しない回転では確実に困る。交換則が成...
((物理のかぎしっぽ/ベクトル解析/よくある間違い: http:/...
;,また、分数形でないため、高校で習うスカラ微分の連鎖則や...
;,これに対し、凌宮数学では$$ \ffd{1}{d \:r} $$でベクトル...
;,これより、ベクトル演算と微分演算を表記上で分離する。
|c: |c: |c: |c: ...
|* |< |*勾配 |*回転 ...
|*関数表記 |< |$$ \grad F $$|$$ \rot ...
|*ナブラ表記|< |$$ \:\nabla F $$|$$ \:\nabl...
|*凌宮表記 |*分数形 |$$ \ddd{F}{\:r} $$|$$ \ddd{\,...
|^ |*関数形 |$$ \ddd{}{\:r}F $$|$$ \ddd{\v...
|^ |*演算子形|^ |$$ \ddd{}{...
|^ |*分離形 |$$ \ffd{1}{d \:r} dF $$|$$ \ffd{1}...
;,まず見た目は、上から下に向かって表記が分離されていく形...
;,分数形は連鎖側のための書式である。
;,関数形は関数表機、演算子形はナブラ表記に互換性を持つ書...
;,分離形は微分演算とベクトル演算を別々計算するための書式...
;,これらの間は分数の感覚で自由に行き来できるように工夫し...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 分数形:勾配を含む連鎖則 [#ae17ca19]
;,$$ r $$がスカラの場合、$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{r} \ddd{...
;,分数形で記述する場合、あくまでも形式的だが、約分の感覚...
;,$$ \:r $$がベクトルの場合、$$ \ddd{F}{t} = \grad F \sx ...
;,ナブラ表記でも$$ \ddd{F}{t} = \:\nabla F \sx \ddd{\:r}{...
;,これらに対し連鎖則を凌宮表記の分数形で書けば、$$ \ddd{F...
;,スカラの積がスカラ積になることを除けば、分数の姿がその...
;,もっとも、スカラが1次元のベクトルで、その場合のスカラ...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 分離形:外積を含む分配則 [#f34c4419]
;,ベクトルの外積は$$ \:A \vx \:B = - \:B \vx \:A $$のよう...
;,一方、ナブラは右側しか微分しないため、$$ - \:\nabla \vx...
;,高が符号一つだが、回転に対応する外積の交代則を記述でき...
;,凌宮表記の分離形を使えば、交代則は$$ \ffd{1}{d\:r} \vx ...
;,$$ \ffd{1}{d\:r} $$は最初に出会う$$ d $$が指し示す相手...
;,これより、ベクトル外積の公式を適応するときに微分演算子...
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 外積の勾配 [#j0251de1]
;,外積の勾配の公式:
#ceq(e)
$$ \grad(\:F \vx \:G) = \:G \sx (\rot \:F) - \:F \sx ...
#ceq(e)
$$ \:\nabla (\:F \vx \:G) = \:G \sx (\:\nabla \vx \:F...
#ceq(end)
;,関数表記でもナブラ表記でも表記が互いに制約して式変形が...
;,このため、似たような公式を丸覚えする羽目になる。
;,これを凌宮表記の分離形を使えば、積の微分、スカラ三重積...
;,ここで使う法則は以下の3つである:
#ceq(e)
積の微分:
#ceq(c)
$$ d(\:A \vx \:B) = (d\:A) \vx \:B + \:A \vx (d\:B) $...
#ceq(e)
スカラ三重積の交換則:
#ceq(c)
$$ \:A \sx (\:B \vx \:C) = \:B \sx (\:C \vx \:A) = \:...
#ceq(e)
外積の交代則:
#ceq(c)
$$ \:A \vx \:B = - \:B \vx \:A $$
#ceq(end)
;,凌宮表記の分離形で外積の勾配を導くと次のように記述でき...
;,遊離した$$ d $$は自由に動けるため、微分対象を$$ \ffd{1}...
#ceq(e)
$$ \phantom{=} \, \ffd{1}{d \:r} \sx d(\:F \vx \:G) $$
#ceq(e)
$$ = \ffd{1}{d \:r} \sx (d \:F \vx \:G) + \ffd{1}{d \...
#ceq(a)
積の微分
#ceq(e)
$$ = \:G \sx (\ffd{1}{d \:r} \vx d \:F) + \:F \sx (d ...
#ceq(a)
スカラ三重積の交換則
#ceq(e)
$$ = \:G \sx (\ffd{1}{d \:r} \vx d \:F) - \:F \sx (\f...
#ceq(a)
外積の交代則
#ceq(end)
*** (参考)一般的な工夫 [#q74f74a9]
;,さすがに従来表記では教育の立場では不便過ぎて、先生たち...
;,良く見かける手法として、ナブラと作用対象を線または矢印...
;,この作用対象を表す線は、凌宮表記の作用対象を表す$$ d $$...
#ceq
$$ \phantom{=} \:\nabla \sx (\:F \vx \:G) \vphantom{...
#ceq(e)
$$
= \, \mspace{2mu }\overbracket{\mspace{-5mu } ...
+ \,\, \mspace{2mu }\overbracket{\mspace{-5mu } ...
\vphantom{\Big[}
$$
#ceq
積の微分
#ceq
$$
= ...
+ \, \mspace{39mu }\overbracket{\mspace{-42mu } ...
\vphantom{\Big[}
$$
#ceq
スカラ三重積の交換則
#ceq
$$
= \:G \sx (\:\nabla \vx \:F)
- \:F \sx (\:\nabla \vx \:G)
\vphantom{\Big[}
$$
#ceq
外積の交代則
#ceq(end)
* まとめ・つなぎ [#yd980cf1]
;,ベクトル微分は、微分ベクトル、微分対象とこれらの微分演...
;,このため、凌宮数学のように機能毎に表記を割り当てれば、...
;,分離型の利点として、回転とスカラ三重積の公式しか紹介し...
;,他にも回転とベクトル三重積を含む公式と応用範囲が広い:[...
;,また、3次元の正規直交座標系では、$$ \ffd{1}{d\:r} $$の...
;,これは表記の通り、凌宮数学の[[逆基底]]と深く繋がってい...
;,その話は微分の根底に繋がるため、いずれの機会で纏める予...
%bodynote
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終了行:
/ベクトル微分演算子
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* 凌宮表記術:$$ F $$をベクトル$$ \:r $$で微分 [#nb6b6566]
;,ベクトル微分演算には勾配、回転、発散があり、ベクトル表...
#ceq(e)
関数表記:$$ \grad $$、$$ \rot $$、$$ \diver $$
&br;ナブラ表記:$$ \:\nabla $$、$$ \:\nabla \vx $$、$$ \:...
#ceq(end)
;,ナブラ表記では、ベクトル演算子を利用しているため、計算...
;,ところが、ナブラを微分対象の左隣に書くという制約のため...
((特に交換則が成立しない回転では確実に困る。交換則が成...
((物理のかぎしっぽ/ベクトル解析/よくある間違い: http:/...
;,また、分数形でないため、高校で習うスカラ微分の連鎖則や...
;,これに対し、凌宮数学では$$ \ffd{1}{d \:r} $$でベクトル...
;,これより、ベクトル演算と微分演算を表記上で分離する。
|c: |c: |c: |c: ...
|* |< |*勾配 |*回転 ...
|*関数表記 |< |$$ \grad F $$|$$ \rot ...
|*ナブラ表記|< |$$ \:\nabla F $$|$$ \:\nabl...
|*凌宮表記 |*分数形 |$$ \ddd{F}{\:r} $$|$$ \ddd{\,...
|^ |*関数形 |$$ \ddd{}{\:r}F $$|$$ \ddd{\v...
|^ |*演算子形|^ |$$ \ddd{}{...
|^ |*分離形 |$$ \ffd{1}{d \:r} dF $$|$$ \ffd{1}...
;,まず見た目は、上から下に向かって表記が分離されていく形...
;,分数形は連鎖側のための書式である。
;,関数形は関数表機、演算子形はナブラ表記に互換性を持つ書...
;,分離形は微分演算とベクトル演算を別々計算するための書式...
;,これらの間は分数の感覚で自由に行き来できるように工夫し...
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* 分数形:勾配を含む連鎖則 [#ae17ca19]
;,$$ r $$がスカラの場合、$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{r} \ddd{...
;,分数形で記述する場合、あくまでも形式的だが、約分の感覚...
;,$$ \:r $$がベクトルの場合、$$ \ddd{F}{t} = \grad F \sx ...
;,ナブラ表記でも$$ \ddd{F}{t} = \:\nabla F \sx \ddd{\:r}{...
;,これらに対し連鎖則を凌宮表記の分数形で書けば、$$ \ddd{F...
;,スカラの積がスカラ積になることを除けば、分数の姿がその...
;,もっとも、スカラが1次元のベクトルで、その場合のスカラ...
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* 分離形:外積を含む分配則 [#f34c4419]
;,ベクトルの外積は$$ \:A \vx \:B = - \:B \vx \:A $$のよう...
;,一方、ナブラは右側しか微分しないため、$$ - \:\nabla \vx...
;,高が符号一つだが、回転に対応する外積の交代則を記述でき...
;,凌宮表記の分離形を使えば、交代則は$$ \ffd{1}{d\:r} \vx ...
;,$$ \ffd{1}{d\:r} $$は最初に出会う$$ d $$が指し示す相手...
;,これより、ベクトル外積の公式を適応するときに微分演算子...
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** 外積の勾配 [#j0251de1]
;,外積の勾配の公式:
#ceq(e)
$$ \grad(\:F \vx \:G) = \:G \sx (\rot \:F) - \:F \sx ...
#ceq(e)
$$ \:\nabla (\:F \vx \:G) = \:G \sx (\:\nabla \vx \:F...
#ceq(end)
;,関数表記でもナブラ表記でも表記が互いに制約して式変形が...
;,このため、似たような公式を丸覚えする羽目になる。
;,これを凌宮表記の分離形を使えば、積の微分、スカラ三重積...
;,ここで使う法則は以下の3つである:
#ceq(e)
積の微分:
#ceq(c)
$$ d(\:A \vx \:B) = (d\:A) \vx \:B + \:A \vx (d\:B) $...
#ceq(e)
スカラ三重積の交換則:
#ceq(c)
$$ \:A \sx (\:B \vx \:C) = \:B \sx (\:C \vx \:A) = \:...
#ceq(e)
外積の交代則:
#ceq(c)
$$ \:A \vx \:B = - \:B \vx \:A $$
#ceq(end)
;,凌宮表記の分離形で外積の勾配を導くと次のように記述でき...
;,遊離した$$ d $$は自由に動けるため、微分対象を$$ \ffd{1}...
#ceq(e)
$$ \phantom{=} \, \ffd{1}{d \:r} \sx d(\:F \vx \:G) $$
#ceq(e)
$$ = \ffd{1}{d \:r} \sx (d \:F \vx \:G) + \ffd{1}{d \...
#ceq(a)
積の微分
#ceq(e)
$$ = \:G \sx (\ffd{1}{d \:r} \vx d \:F) + \:F \sx (d ...
#ceq(a)
スカラ三重積の交換則
#ceq(e)
$$ = \:G \sx (\ffd{1}{d \:r} \vx d \:F) - \:F \sx (\f...
#ceq(a)
外積の交代則
#ceq(end)
*** (参考)一般的な工夫 [#q74f74a9]
;,さすがに従来表記では教育の立場では不便過ぎて、先生たち...
;,良く見かける手法として、ナブラと作用対象を線または矢印...
;,この作用対象を表す線は、凌宮表記の作用対象を表す$$ d $$...
#ceq
$$ \phantom{=} \:\nabla \sx (\:F \vx \:G) \vphantom{...
#ceq(e)
$$
= \, \mspace{2mu }\overbracket{\mspace{-5mu } ...
+ \,\, \mspace{2mu }\overbracket{\mspace{-5mu } ...
\vphantom{\Big[}
$$
#ceq
積の微分
#ceq
$$
= ...
+ \, \mspace{39mu }\overbracket{\mspace{-42mu } ...
\vphantom{\Big[}
$$
#ceq
スカラ三重積の交換則
#ceq
$$
= \:G \sx (\:\nabla \vx \:F)
- \:F \sx (\:\nabla \vx \:G)
\vphantom{\Big[}
$$
#ceq
外積の交代則
#ceq(end)
* まとめ・つなぎ [#yd980cf1]
;,ベクトル微分は、微分ベクトル、微分対象とこれらの微分演...
;,このため、凌宮数学のように機能毎に表記を割り当てれば、...
;,分離型の利点として、回転とスカラ三重積の公式しか紹介し...
;,他にも回転とベクトル三重積を含む公式と応用範囲が広い:[...
;,また、3次元の正規直交座標系では、$$ \ffd{1}{d\:r} $$の...
;,これは表記の通り、凌宮数学の[[逆基底]]と深く繋がってい...
;,その話は微分の根底に繋がるため、いずれの機会で纏める予...
%bodynote
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ページ名:
xu基底系.png
6322件
[
詳細
]
xu座標系.png
6332件
[
詳細
]
x座標系.png
6438件
[
詳細
]
2ApplePlate.png
336件
[
詳細
]
Apple.png
617件
[
詳細
]
符号ix(ixj).png
365件
[
詳細
]
符号Ax(BxC).png
377件
[
詳細
]
符号判定(AxB)xC.png
686件
[
詳細
]
符号判定Ax(BxC).png
755件
[
詳細
]
PerpPerp.png
762件
[
詳細
]
BxC.png
849件
[
詳細
]
AxBxC+-.png
419件
[
詳細
]
Ax(BxC).png
1009件
[
詳細
]
Ax(BxC)+-.png
401件
[
詳細
]
原子半径の温度変化.jpg
1128件
[
詳細
]
密度の温度変化.jpg
911件
[
詳細
]
添字付き関数名.png
472件
[
詳細
]
添字式.png
447件
[
詳細
]
根号式.png
425件
[
詳細
]
分数式.png
426件
[
詳細
]
現在中国語乗算因数の命名.jpg
480件
[
詳細
]
現在中国語乗算演算子読み.jpg
498件
[
詳細
]
ベクトル除算.png
617件
[
詳細
]
基底除算.png
626件
[
詳細
]
立方体.jpg
153件
[
詳細
]
中2文教P12図.PNG
555件
[
詳細
]
ffd_p_q_2d.gif
304件
[
詳細
]
ffd_p_q.gif
305件
[
詳細
]
Ouv.png
415件
[
詳細
]
Ors.png
443件
[
詳細
]
CosSinMap.png
671件
[
詳細
]
1cosIsinMap.png
579件
[
詳細
]
正弦減法.png
516件
[
詳細
]
Sp1.png
385件
[
詳細
]
Sp0.png
352件
[
詳細
]
Sp4.png
345件
[
詳細
]
Sp3.png
360件
[
詳細
]
Sp2.png
346件
[
詳細
]
yeqaplx3.png
501件
[
詳細
]
dyfrdceqtan.png
503件
[
詳細
]
Fx微分.png
640件
[
詳細
]
Fx差分.png
690件
[
詳細
]
Fx差.png
661件
[
詳細
]
F微分.png
687件
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詳細
]
F差分.png
616件
[
詳細
]
F差.png
595件
[
詳細
]
x微分.png
644件
[
詳細
]
x差分.png
666件
[
詳細
]
x差.png
639件
[
詳細
]
F対xの微分商.png
2656件
[
詳細
]
F対xの差分商.png
2678件
[
詳細
]
F対xの差商.png
365件
[
詳細
]
Fの微分.png
376件
[
詳細
]
Fの差.png
335件
[
詳細
]
Fの差分.png
336件
[
詳細
]
xの微分.png
2627件
[
詳細
]
xの差分.png
2550件
[
詳細
]
xの差.png
2598件
[
詳細
]
f=0y+9t.png
456件
[
詳細
]
f=1y+6t.png
636件
[
詳細
]
f=2y+3t.png
496件
[
詳細
]
微小座標系.png
6001件
[
詳細
]
偏微分の多義性.png
5795件
[
詳細
]
HennBibunnAll.png
5775件
[
詳細
]
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