逆基底
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* 凌宮表記術:基底$$ \:e_n $$の逆基底:$$ \ffd{1}{\:e_n} ...
;,軸と軸が直交しない座標系では、双対基底(dual basis)な...
;,ざっくり言うと、1組の基底では手に負えないから2組の基...
;,習慣的には次のように、双対基底の片方を右下添字で表記し...
//;,しかし、右上添字は指数表記にも使われおり、多くの場合...
#ceq(e)
$$ \:e_x $$、$$ \:e_y $$、$$ \:e_z $$
#ceq(q)
⇔
#ceq(q)
$$ \:e^x $$、$$ \:e^y $$、$$ \:e^z $$
#ceq(end)
;,問題になるのは、両方の基底は添字の位置で関連づけるられ...
;,例えば、$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$が基底になる外積代...
;,これに対し、凌宮数学では以下のように双対基底を表記する。
| | |l=: |lx: ...
|* |< |*幾何基底 |< ...
|^ |< |*正基底 |< ...
|*通常表記|< |$$ \:e_x $$|$$ ...
|^ |< |$$ \:e_1 $$|$$ ...
|*凌宮表記|*分数表記|$$ \:e_x $$|$$ ...
|^ |*指数表記|$$ \iro[gy]{\:e_x^{+1}} $$|$$ \iro[g...
|^ |*指数略記|$$ \iro[gy]{\:e_x^+} $$|$$ \iro[g...
;,逆数表記を用いたのは、逆基底が逆数と同じ発想であるため。
;,指数表記は、単にスカラの逆数が$$ -1 $$乗に書けるのに合...
;,指数略記は、式ではなく、一塊の記号として扱いたい場合の...
;,この他、$$ e^{+1} $$と$$ e^+ $$は$$ + $$と$$ - $$の対称...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 双対基底の定義式 [#s7f65b9f]
;,3次元の場合、双対基底の定義を通常表記で書くと、こうな...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\:e_x} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\:e^x} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_x} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^y} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_x} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^z} ...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:e_y} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^x} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ao]{\:e_y} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\:e^y} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_y} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^z} ...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:e_z} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^x} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_z} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^y} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ao]{\:e_z} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\:e^z} ...
#ceq(end)
;,これを凌宮表記で書くと:
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\:e_x} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_x} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_x} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:e_y} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ao]{\:e_y} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_y} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:e_z} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_z} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ao]{\:e_z} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\ffd{1}...
#ceq(end)
;,この内、$$ \iro[ao]{\:e_x} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\...
内積が$$ \iro[ao]{1} $$になる&color(#06F){正規条件};は...
//;,同じものを同じように書く。そうすれば小学校と大学の数...
;,対して、$$ \iro[ak]{\:e_x} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\...
内積が$$ \iro[ak]{0} $$になる&color(#C00){直交条件};も...
;,図1は通常のベクトル除算。$$ \:e_x $$自身と内積が$$ 1 $...
;,図2は基底のベクトル除算。$$ \:e_x $$以外の基底と直交す...
|*図1:ベクトル除算 |*図2:基底除算 ...
|&attachref(./ベクトル除算.png,30%);|&attachref(./基底除...
;,この「単独で考えず、複数の基底をセットで考える」のが、...
;,正規条件と直交条件の両方が、逆数の拡張である凌宮表記の...
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* 逆基底の逆基底 [#l9c36f61]
;,任意の数$$ x $$の逆数$$ x^{-1} $$の逆数は、以下のように...
#ceq()
$$$
\ffd{1}{x^{-1}} = \ffd{1}{\ffd{1}{x}} = x
$$$
#ceq(end)
;,同様に、任意の基底$$ \:e_x $$の逆基底$$ \:e_x^{-1} $$の...
;,凌宮表記を用いると、逆基底の逆基底を以下のように逆数の...
#ceq()
$$$
\ffd{1}{\:e_x^{-1}} = \ffd{1}{\ffd{1}{\:e_x}} = \...
$$$
#ceq(end)
;,このように、「逆数」と「逆数を求める演算」を兼ねる逆数...
;,逆数表記を流用した凌宮表記も「逆基底」と「逆基底を求め...
;,対して、通常表記は正基底と逆基底の記号を定めているに過...
;,このため、通常表記で「逆基底の逆基底」の結果である正基...
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* 正基底による逆基底 [#v2496269]
;,一般に、逆基底は正基底の式で記述できる。
;,例えば3次元の場合は次のようになる
((計算は、[[[物理のかぎしっぽ / ベクトル解析 / 双対基...
#ceq(e)
$$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y...
#ceq(end)
;,これについて、凌宮表記の$$ \ffd{1}{\:e_x} $$は、
$$ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}...
$$ \ffd{\phantom{\sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}}{\sx ...
;,外積代数で定義される外積を用いると、より洗練された形で...
#ceq(e)
$$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\clap{1}{\phantom{\:e_x}} ...
#ceq(end)
;,これなら、4次元の$$ O\mathchar`-xyzt $$座標系では次の...
#ceq(e)
$$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\clap{1}{\phantom{\:e_x}} ...
((3次元と同様: 分母で全ての基底が出揃い、ボリュームフ...
#ceq(end)
;,したがって、凌宮表記の$$ \ffd{1}{\:e_x} $$は、
次元に応じた$$ \ffd{\wx \:e_y \wx \:e_z \wx \cdots}{\wx \...
%bodynote
//;,他の次元でも、$$ \ffd{1}{\:e_x} $$が記号的に何かを省...
//;,ただ、省かれているモノを記述するには、少しマイナーな...
//
//;,$$ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{...
//;,まず分子の$$ \:e_y \vx \:e_z $$で$$ \:e_x $$以外の基...
//;,次に分母の$$ \:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z ) $$で大きさ...
//;,このため、直交条件を満たすため、$$ n $$次元でば$$ n -...
//
//;,$$ n - 1 $$個のベクトルと直交するベクトルを作る演算を...
// ((参照:[[[Wikipedia / クロス積 / 行列式を使った拡張...
//;,各次元における逆基底と直交条件を満たす演算は以下にな...
//#ceq(e)
// 次元数: 正基底による逆基底の表示
//#ceq(a)
// 残る全ての基底と直交するベクトルを作る演算
//#ceq(e)
// 1次元: $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e...
//#ceq(a)
// $$ \vx() $ \equiv $ \:e_x $$
//#ceq(e)
// 2次元: $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e...
//#ceq(a)
// $$ \vx(\:e_y) $$は$$ \:e_y $$に垂直で、大きさが$$ |...
//#ceq(e)
// 3次元: $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e...
//#ceq(a)
// $$ \vx(\:e_y, \:e_z) $ = $ \:e_y \vx \:e_z $$((これ...
// $$ = $ \ast(\:e_y \wx \:e_z) $$
// ((「$$ \wx $$」は[[ウェッジ積>http://ja.wikipedia.o...
// ((「$$ \ast $$」は[[ホッジ作用素>http://ja.wikipedi...
//#ceq(e)
// 4次元: $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e...
//#ceq(a)
// $$ \vx(\:e_y, \:e_z, \:e_t) $ = $ \ast(\:e_y \wx \:...
// ((4次元以上はウェッジ積で記述するしかない))
//#ceq(e)
// ……
//#ceq(end)
//形式的に
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx()\phantom{)}}}{\sx (\vx())}...
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx(\:e_y)\phantom{)}}}{\sx (\v...
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx(\:e_y, \:e_z)\phantom{)}}}{...
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx(\:e_y, \:e_z, \:e_t)\phanto...
//
//%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* ベクトル$$ \:A $$の$$ x $$成分 [#adaf3531]
;,双対基底で考える場合、習慣的には以下のように成分と基底...
((実際問題、基底の右上添字よりも、この成分の右上添字の方...
#ceq(e)
$$ \:A $$
#ceq(c)
$$ = $ A^x $ \:e_x $ + $ A^y $ \:e_y $ + $ A^z $ \:e_...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ A_x $ \:e^x $ + $ A_y $ \:e^y $ + $ A_z $ \:e^...
#ceq(end)
;,双対基底で成分分解する場合は、ベクトルと逆基底の内積で...
((参考:[[[物理のかぎしっぽ / ベクトル解析 / ベクトルの...
;,例えば$$ \:A $ = $ A^x $ \:e_x $ + $ A^y $ \:e_y $ + $ ...
#ceq(e)
$$ \:A $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $$
#ceq(c)
$$ = $ \Big(A^x \, \:e_x\Big) $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $$
$$ + $ \Big(A^y \, \:e_y\Big) $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $$
$$ + $ \Big(A^z \, \:e_z\Big) $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ A^x $ \Big(\iro[ao]{\cancelto{1}{\:e_x \sx \ffd...
$$ + $ A^y $ \Big(\iro[ak]{\cancelto{0}{\:e_y \sx \ffd...
$$ + $ A^z $ \Big(\iro[ak]{\cancelto{0}{\:e_z \sx \ffd...
#ceq(a)
$$ \iro[ao]{\cancelto{1}{\;\;}\;\;\;} $$: &color(#...
&br;$$ \iro[ak]{\cancelto{0}{\;\;}\;\;\;} $$: &color(#...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ A^x $$
#ceq(end)
;,$$ y $$成分と$$ z $$成分も同様に求まり、
これらを$$ \:A $ = $ A^x $ \:e_x $ + $ A^y $ \:e_y $ + ...
#ceq(e)
$$ \:A $$
$$ = $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{\:e_x} \Big) $ \:e_x $$
$$ + $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{\:e_y} \Big) $ \:e_y $$
$$ + $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{\:e_z} \Big) $ \:e_z $$
#ceq(end)
;,ベクトルと逆基底の内積を分数表記に纏めると、さらに簡潔...
//((ここで、$$ \ffd{\:A}{\:e_x} $$は内積$$ \:A $ \sx $ \f...
#ceq(e)
$$ \:A $$
$$ = $ \ffd{\:A}{\:e_x} $ \:e_x $$
$$ + $ \ffd{\:A}{\:e_y} $ \:e_y $$
$$ + $ \ffd{\:A}{\:e_z} $ \:e_z $$
#ceq(end)
;,1次元ではスカラ除算である$$ A $ = $ \ffd{A}{e_x} e_x $...
;,この感覚を多次元に残すことも逆基底に分数表記を用いた理...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 微分のベクトル扱い [#eaa70db6]
;,外積代数では、$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$自体を基底と...
;,凌宮表記を用いると、その逆基底は$$ \ffd{1}{dx} $$、$$ \...
;,記号的には、任意の微分$$ dF $$((外積代数では全微分をベ...
;,正基底は$$ \int\!\!\!\!\int \! dF $ dx $ = $ \int \! F ...
((一般的には、1次元では微分を$$ \ddd{F}{x} $$と書くが...
のような微分を作る。
;,逆基底の定義式にある&color(#06F){正規条件};と&color(#C0...
;,$$ \iro[ao]{\ddd{x}{x}} $ \iro[ao]{=} $ \iro[ao]{1} $$...
;,同様に、記号的にベクトルの成分分解に適応すると''全微分'...
#ceq(e)
$$ dA $ = $ \ddd{A}{x} dx $ + $ \ddd{A}{y} dy $ + $ \dd...
#ceq(end)
;,ここで、$$ \ddd{A}{x} $$にある$$ dA $$は、ベクトル$$ dA...
;,さらに、$$ \ddd{A}{x} $$にある$$ dx $$は、微分基底$$ dx...
;,このため、凌宮数学では偏微分でも全微分と同じ$$ d $$で記...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* まとめ・つなぎ [#l7cf3999]
;,凌宮数学の逆基底表記は、大学で習う双対基底を、小学校の...
;,逆数と同じ記号を用いるため、(1)''逆基底自身''と(2)''逆...
;,形式的ではあるが、(1)と(2)に関してそれぞれ以下のように...
- (1') 正基底による逆基底の式から$$ \ffd{\wx \:e_y \wx \:...
- (2') 双対基底の定義にある正規条件に基づき、$$ \:e_x $ \...
;,この表現力により、割り算、ベクトルの成分分解、全微分な...
//;,逆基底は、その応用の広さから、数学の一つ大きな軸とな...
//;,これから、ベクトルと微分積分に関する多くの記事で登場...
%bodynote
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終了行:
/逆基底
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* 凌宮表記術:基底$$ \:e_n $$の逆基底:$$ \ffd{1}{\:e_n} ...
;,軸と軸が直交しない座標系では、双対基底(dual basis)な...
;,ざっくり言うと、1組の基底では手に負えないから2組の基...
;,習慣的には次のように、双対基底の片方を右下添字で表記し...
//;,しかし、右上添字は指数表記にも使われおり、多くの場合...
#ceq(e)
$$ \:e_x $$、$$ \:e_y $$、$$ \:e_z $$
#ceq(q)
⇔
#ceq(q)
$$ \:e^x $$、$$ \:e^y $$、$$ \:e^z $$
#ceq(end)
;,問題になるのは、両方の基底は添字の位置で関連づけるられ...
;,例えば、$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$が基底になる外積代...
;,これに対し、凌宮数学では以下のように双対基底を表記する。
| | |l=: |lx: ...
|* |< |*幾何基底 |< ...
|^ |< |*正基底 |< ...
|*通常表記|< |$$ \:e_x $$|$$ ...
|^ |< |$$ \:e_1 $$|$$ ...
|*凌宮表記|*分数表記|$$ \:e_x $$|$$ ...
|^ |*指数表記|$$ \iro[gy]{\:e_x^{+1}} $$|$$ \iro[g...
|^ |*指数略記|$$ \iro[gy]{\:e_x^+} $$|$$ \iro[g...
;,逆数表記を用いたのは、逆基底が逆数と同じ発想であるため。
;,指数表記は、単にスカラの逆数が$$ -1 $$乗に書けるのに合...
;,指数略記は、式ではなく、一塊の記号として扱いたい場合の...
;,この他、$$ e^{+1} $$と$$ e^+ $$は$$ + $$と$$ - $$の対称...
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* 双対基底の定義式 [#s7f65b9f]
;,3次元の場合、双対基底の定義を通常表記で書くと、こうな...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\:e_x} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\:e^x} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_x} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^y} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_x} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^z} ...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:e_y} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^x} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ao]{\:e_y} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\:e^y} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_y} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^z} ...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:e_z} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^x} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_z} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e^y} ...
#ceq(q)
$$ \iro[ao]{\:e_z} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\:e^z} ...
#ceq(end)
;,これを凌宮表記で書くと:
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\:e_x} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_x} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_x} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:e_y} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ao]{\:e_y} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_y} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:e_z} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_z} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\ffd{1}...
#ceq(q)
$$ \iro[ao]{\:e_z} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\ffd{1}...
#ceq(end)
;,この内、$$ \iro[ao]{\:e_x} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\...
内積が$$ \iro[ao]{1} $$になる&color(#06F){正規条件};は...
//;,同じものを同じように書く。そうすれば小学校と大学の数...
;,対して、$$ \iro[ak]{\:e_x} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\...
内積が$$ \iro[ak]{0} $$になる&color(#C00){直交条件};も...
;,図1は通常のベクトル除算。$$ \:e_x $$自身と内積が$$ 1 $...
;,図2は基底のベクトル除算。$$ \:e_x $$以外の基底と直交す...
|*図1:ベクトル除算 |*図2:基底除算 ...
|&attachref(./ベクトル除算.png,30%);|&attachref(./基底除...
;,この「単独で考えず、複数の基底をセットで考える」のが、...
;,正規条件と直交条件の両方が、逆数の拡張である凌宮表記の...
%bodynote
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* 逆基底の逆基底 [#l9c36f61]
;,任意の数$$ x $$の逆数$$ x^{-1} $$の逆数は、以下のように...
#ceq()
$$$
\ffd{1}{x^{-1}} = \ffd{1}{\ffd{1}{x}} = x
$$$
#ceq(end)
;,同様に、任意の基底$$ \:e_x $$の逆基底$$ \:e_x^{-1} $$の...
;,凌宮表記を用いると、逆基底の逆基底を以下のように逆数の...
#ceq()
$$$
\ffd{1}{\:e_x^{-1}} = \ffd{1}{\ffd{1}{\:e_x}} = \...
$$$
#ceq(end)
;,このように、「逆数」と「逆数を求める演算」を兼ねる逆数...
;,逆数表記を流用した凌宮表記も「逆基底」と「逆基底を求め...
;,対して、通常表記は正基底と逆基底の記号を定めているに過...
;,このため、通常表記で「逆基底の逆基底」の結果である正基...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 正基底による逆基底 [#v2496269]
;,一般に、逆基底は正基底の式で記述できる。
;,例えば3次元の場合は次のようになる
((計算は、[[[物理のかぎしっぽ / ベクトル解析 / 双対基...
#ceq(e)
$$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y...
#ceq(end)
;,これについて、凌宮表記の$$ \ffd{1}{\:e_x} $$は、
$$ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}...
$$ \ffd{\phantom{\sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}}{\sx ...
;,外積代数で定義される外積を用いると、より洗練された形で...
#ceq(e)
$$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\clap{1}{\phantom{\:e_x}} ...
#ceq(end)
;,これなら、4次元の$$ O\mathchar`-xyzt $$座標系では次の...
#ceq(e)
$$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\clap{1}{\phantom{\:e_x}} ...
((3次元と同様: 分母で全ての基底が出揃い、ボリュームフ...
#ceq(end)
;,したがって、凌宮表記の$$ \ffd{1}{\:e_x} $$は、
次元に応じた$$ \ffd{\wx \:e_y \wx \:e_z \wx \cdots}{\wx \...
%bodynote
//;,他の次元でも、$$ \ffd{1}{\:e_x} $$が記号的に何かを省...
//;,ただ、省かれているモノを記述するには、少しマイナーな...
//
//;,$$ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{...
//;,まず分子の$$ \:e_y \vx \:e_z $$で$$ \:e_x $$以外の基...
//;,次に分母の$$ \:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z ) $$で大きさ...
//;,このため、直交条件を満たすため、$$ n $$次元でば$$ n -...
//
//;,$$ n - 1 $$個のベクトルと直交するベクトルを作る演算を...
// ((参照:[[[Wikipedia / クロス積 / 行列式を使った拡張...
//;,各次元における逆基底と直交条件を満たす演算は以下にな...
//#ceq(e)
// 次元数: 正基底による逆基底の表示
//#ceq(a)
// 残る全ての基底と直交するベクトルを作る演算
//#ceq(e)
// 1次元: $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e...
//#ceq(a)
// $$ \vx() $ \equiv $ \:e_x $$
//#ceq(e)
// 2次元: $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e...
//#ceq(a)
// $$ \vx(\:e_y) $$は$$ \:e_y $$に垂直で、大きさが$$ |...
//#ceq(e)
// 3次元: $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e...
//#ceq(a)
// $$ \vx(\:e_y, \:e_z) $ = $ \:e_y \vx \:e_z $$((これ...
// $$ = $ \ast(\:e_y \wx \:e_z) $$
// ((「$$ \wx $$」は[[ウェッジ積>http://ja.wikipedia.o...
// ((「$$ \ast $$」は[[ホッジ作用素>http://ja.wikipedi...
//#ceq(e)
// 4次元: $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e...
//#ceq(a)
// $$ \vx(\:e_y, \:e_z, \:e_t) $ = $ \ast(\:e_y \wx \:...
// ((4次元以上はウェッジ積で記述するしかない))
//#ceq(e)
// ……
//#ceq(end)
//形式的に
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx()\phantom{)}}}{\sx (\vx())}...
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx(\:e_y)\phantom{)}}}{\sx (\v...
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx(\:e_y, \:e_z)\phantom{)}}}{...
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx(\:e_y, \:e_z, \:e_t)\phanto...
//
//%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* ベクトル$$ \:A $$の$$ x $$成分 [#adaf3531]
;,双対基底で考える場合、習慣的には以下のように成分と基底...
((実際問題、基底の右上添字よりも、この成分の右上添字の方...
#ceq(e)
$$ \:A $$
#ceq(c)
$$ = $ A^x $ \:e_x $ + $ A^y $ \:e_y $ + $ A^z $ \:e_...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ A_x $ \:e^x $ + $ A_y $ \:e^y $ + $ A_z $ \:e^...
#ceq(end)
;,双対基底で成分分解する場合は、ベクトルと逆基底の内積で...
((参考:[[[物理のかぎしっぽ / ベクトル解析 / ベクトルの...
;,例えば$$ \:A $ = $ A^x $ \:e_x $ + $ A^y $ \:e_y $ + $ ...
#ceq(e)
$$ \:A $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $$
#ceq(c)
$$ = $ \Big(A^x \, \:e_x\Big) $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $$
$$ + $ \Big(A^y \, \:e_y\Big) $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $$
$$ + $ \Big(A^z \, \:e_z\Big) $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ A^x $ \Big(\iro[ao]{\cancelto{1}{\:e_x \sx \ffd...
$$ + $ A^y $ \Big(\iro[ak]{\cancelto{0}{\:e_y \sx \ffd...
$$ + $ A^z $ \Big(\iro[ak]{\cancelto{0}{\:e_z \sx \ffd...
#ceq(a)
$$ \iro[ao]{\cancelto{1}{\;\;}\;\;\;} $$: &color(#...
&br;$$ \iro[ak]{\cancelto{0}{\;\;}\;\;\;} $$: &color(#...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ A^x $$
#ceq(end)
;,$$ y $$成分と$$ z $$成分も同様に求まり、
これらを$$ \:A $ = $ A^x $ \:e_x $ + $ A^y $ \:e_y $ + ...
#ceq(e)
$$ \:A $$
$$ = $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{\:e_x} \Big) $ \:e_x $$
$$ + $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{\:e_y} \Big) $ \:e_y $$
$$ + $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{\:e_z} \Big) $ \:e_z $$
#ceq(end)
;,ベクトルと逆基底の内積を分数表記に纏めると、さらに簡潔...
//((ここで、$$ \ffd{\:A}{\:e_x} $$は内積$$ \:A $ \sx $ \f...
#ceq(e)
$$ \:A $$
$$ = $ \ffd{\:A}{\:e_x} $ \:e_x $$
$$ + $ \ffd{\:A}{\:e_y} $ \:e_y $$
$$ + $ \ffd{\:A}{\:e_z} $ \:e_z $$
#ceq(end)
;,1次元ではスカラ除算である$$ A $ = $ \ffd{A}{e_x} e_x $...
;,この感覚を多次元に残すことも逆基底に分数表記を用いた理...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 微分のベクトル扱い [#eaa70db6]
;,外積代数では、$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$自体を基底と...
;,凌宮表記を用いると、その逆基底は$$ \ffd{1}{dx} $$、$$ \...
;,記号的には、任意の微分$$ dF $$((外積代数では全微分をベ...
;,正基底は$$ \int\!\!\!\!\int \! dF $ dx $ = $ \int \! F ...
((一般的には、1次元では微分を$$ \ddd{F}{x} $$と書くが...
のような微分を作る。
;,逆基底の定義式にある&color(#06F){正規条件};と&color(#C0...
;,$$ \iro[ao]{\ddd{x}{x}} $ \iro[ao]{=} $ \iro[ao]{1} $$...
;,同様に、記号的にベクトルの成分分解に適応すると''全微分'...
#ceq(e)
$$ dA $ = $ \ddd{A}{x} dx $ + $ \ddd{A}{y} dy $ + $ \dd...
#ceq(end)
;,ここで、$$ \ddd{A}{x} $$にある$$ dA $$は、ベクトル$$ dA...
;,さらに、$$ \ddd{A}{x} $$にある$$ dx $$は、微分基底$$ dx...
;,このため、凌宮数学では偏微分でも全微分と同じ$$ d $$で記...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* まとめ・つなぎ [#l7cf3999]
;,凌宮数学の逆基底表記は、大学で習う双対基底を、小学校の...
;,逆数と同じ記号を用いるため、(1)''逆基底自身''と(2)''逆...
;,形式的ではあるが、(1)と(2)に関してそれぞれ以下のように...
- (1') 正基底による逆基底の式から$$ \ffd{\wx \:e_y \wx \:...
- (2') 双対基底の定義にある正規条件に基づき、$$ \:e_x $ \...
;,この表現力により、割り算、ベクトルの成分分解、全微分な...
//;,逆基底は、その応用の広さから、数学の一つ大きな軸とな...
//;,これから、ベクトルと微分積分に関する多くの記事で登場...
%bodynote
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