極限の分割
をテンプレートにして作成
[
凌宮
|
数学
|
一覧
|
検索
|
最新
] [
ソース
]
開始行:
%indent
/////////////////////////////////////////////////////////...
*背景 [#oef44f57]
/////////////////////////////////////////////////////////...
;,$$ 2 $ < $ e < $ 3 $$の証明で、自然底の定義式を2変数関...
;,直観的に2段階に分けて極限を取る方法が示されていた。
;,問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さ...
// @Bentweetou
お題:
#ceq(e)
$$ e $$
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ 1 $ + $ \ffd1x \Bi...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=0}^x $ {}_x\mathrm...
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ ^{^1\,}\bcancel{{}...
$$ + $ ^{^x\,}\bcancel{{}...
$$ + $ {}...
$$ + $ {}...
$$ + $ \cdots $ + $ {}...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ {}_...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} ...
$$ + $ \ffd1{3!} ...
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{x!} ...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ =\!\!\!\!? $$
$$ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} ...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} ...
$$ + ...
$$ + $ \cdots $ + ...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{n=2}^v $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} $$
$$ + $ \ffd1{3!} $$
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{v!} ...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ < $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{n=2}^v $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2^1 ...
$$ + $ \ffd1{2^2 ...
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{2^{v...
#ceq(e)
#ceq(c)
// $$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{m=1}^{v-1} $...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ 1 $$
#ceq(e)
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ = $ 3 $$
#ceq(d)
$$ =\!\!\!\!? $$で示した変換の可否が問題となる。
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 極限を分割しない方法 [#b039b063]
/////////////////////////////////////////////////////////...
本題に入る前に、極限操作の分割を回避し、既に利用されてい...
#ceq(e)
$$ e $$
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ 1 $ + $ \ffd1x \Bi...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=0}^x $ {}_x\mathrm...
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ ^{^1\,}\bcancel{{}...
$$ + $ ^{^x\,}\bcancel{{}...
$$ + $ {}...
$$ + $ {}...
$$ + $ \cdots $ + $ {}...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ {}_...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} ...
$$ + $ \ffd1{3!} ...
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{x!} ...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ < $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} ...
$$ + $ \ffd1{3!} ...
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{x!} ...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ < $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2 ...
$$ + $ \ffd1{2^2 ...
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{2^{x...
#ceq(e)
#ceq(c)
// $$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{m=1}^{v-1} $...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ 1 $$
#ceq(e)
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ = $ 3 $$
#ceq(d)
;,最初の不等号では、$$ _m\mathrm{P}_n $ \leq $ m^n $$を利...
;.例えば$$_4\mathrm{P}_3 $ = $ 4\times3\times2 $ \leq $ 4...
;,$$ _m\mathrm{P}_n $ = $ m(m-1)\cdots(m-n) $ = $ \prod_{...
;,次の不等号では、$$ n! $ \geq $ 2^{n-1} $$を利用している。
;.例えば$$ 4! $ = $ 4\times3\times2\times1 $ \geq $ 2\tim...
;,$$ n! $ = $ n(n-1)\cdots2\cdot1 $ = $ \prod_{k=1}^n $ k...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 極限の分割可否 [#g1ec33df]
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 2変数関数としての一般論 [#h39a7b5e]
;,上下で押さえる発想だけで示せることを確認したところで、...
;,示された手法の問題点は、極限を取る文字が形式的に複数回...
;,オリジナルの手法では、$$ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}...
;,$$ f(u,v) $ = $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ffd...
;,例えば、$$ \lim_{x\to\infty} $ \ffd1x $ = $ 0 $$につい...
;,$$ \ffd1x $ = $ \ffd1{2x} $ + $ \ffd1{2x} $$から$$ f(u,...
;,$$ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} $ f(u,v) $ = $...
;,$$ \lim_{x\to\infty} $ f(x,x) $ = $ \lim_{x\to\infty} $...
;,しかし、$$ \lim_{x\to\infty} $ 1 $ = $ 1 $$について、
;,$$ 1 $ = $ \ffd{\ffd1x}{\ffd1x} $$から$$ f(u,v) $ = $ \...
;.$$ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} $ f(u,v) $ = $...
;,$$ \lim_{x\to\infty} $ f(x,x) $ = $ \lim_{x\to\infty} $...
;,よって、範囲を気軽に任意の2変数関数に広げては$$ \lim_{...
;,一般に、多変数関数では「接近経路に寄らずに一定の値を取...
;, cf: http://webmath.las.osakafu-u.ac.jp/top/std/help...
;,$$ \lim_{x\to\infty} $ \ffd{x}{x} $$は$$ \ffd{u}{v} $$...
;,$$ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} $ \ffd{u}{v} $...
;,最終的に$$ v $$軸に平行に$$ (\infty, \infty) $$に近づけ...
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 接近経路次第で極限値が変わる関数のグラフ [#hd7c36e9]
;,$$ (\infty, v) $$から$$ v $$軸に平行に$$ (\infty, \inft...
;,$$ (p,q) $ = $ \Big(\ffd1u, \ffd1v\Big) $$と定義して、$...
;,対応する関数は、$$ g(p,q) $ = $ f\Big(\ffd1p, \ffd1q\Bi...
;,考える極限と接近は、$$ \lim_{r\to0} $ g(r,r) $ = $ \lim...
;,$$ \lim_{q\to0} $ \lim_{p\to0} $ g(p,q) $ = $ \lim_{q\t...
;.$$ p\neq0 $$かつ$$ q\neq0 $$なる任意点$$ (p,q) $$から出...
;,$$ p $$軸に平行に$$ (0,q) $$に近づいてから、最終的に$$ ...
;,[[WolframAlpha>https://www.wolframalpha.com/input/?i=p%...
|>|*$$ \ffd{p}{q} $$のグラフ|h
|*3Dグラフ|*2D等高線|
|&ref(./ffd_p_q.gif,width=300);|&ref(./ffd_p_q_2d.gif,wid...
;,原点を除き、$$ q $ = $ kp $$の線上は常に同じ値$$ k $$を...
;,原点付近は、近づいてくる方向によって、如何なる値も取れ...
;,これは$$ \ffd00 $$を定義できない理由でもある。
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 2変数関数としての一般論 [#ld867eb4]
;,2変数関数に対して一般的に成立しないため、場合によって...
;,実際問題、少なくとも2階微分が可能なほどに滑らかな$$ C^...
;,$$ \ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n} $$
;,細かい証明を示すには、
;,2変数関数$$ f(u,v) $$の分割極限$$ \lim_{v\to k} $ \lim...
;,1変数に束縛した関数$$ g(x) $ = $ f(x,x) $$の極限$$ \li...
;,両者が一致するか。
#ceq(e)
$$ \lim_{u\to k} $ \lim_{v\to k} $ f(u,v) $ =\!\!\!\!? ...
#ceq(d)
;,もし$$ \lim_{v\to k} $ \lim_{u\to k} $ f(u,v) $ \neq $ ...
;,極限を取る順番を入れ替えることで異なる値を取る両者に共...
;,この可換性は、$$ f(u,v) $$の極限$$ \lim_{(u,v)\to(k,k)}...
;,$$ \lim_{(u,v)\to(k,k)} $ \lim_{u\to k} $ f(u,v) $
//http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2013/calc1/l...
;,そのため、
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 利点 [#r2ee517d]
/////////////////////////////////////////////////////////...
;,この手法が優れているのは、直観的な正項級数にあるとも。
;,例えば、$$ 2.64 < e < 2.78 $$を証明する類の問題では、適...
;,$$ 2 $$に$$ \ffd1{2!} $ = $ 0.5 $$を加えても$$ 2.5 $$と...
;,更に$$ \ffd1{3!} $ = $ 0.16666 $$を加えて$$ 2.6666 $$に...
;,残差は$$ \ffd1{4!} $ = $ \ffd12 $ \cdot $ \ffd13 $ \cdo...
;,$$ \ffd1{12} $ = $ 0.0833 $$のため、$$ 2.6666 $$に加え...
%bodynote
終了行:
%indent
/////////////////////////////////////////////////////////...
*背景 [#oef44f57]
/////////////////////////////////////////////////////////...
;,$$ 2 $ < $ e < $ 3 $$の証明で、自然底の定義式を2変数関...
;,直観的に2段階に分けて極限を取る方法が示されていた。
;,問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さ...
// @Bentweetou
お題:
#ceq(e)
$$ e $$
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ 1 $ + $ \ffd1x \Bi...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=0}^x $ {}_x\mathrm...
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ ^{^1\,}\bcancel{{}...
$$ + $ ^{^x\,}\bcancel{{}...
$$ + $ {}...
$$ + $ {}...
$$ + $ \cdots $ + $ {}...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ {}_...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} ...
$$ + $ \ffd1{3!} ...
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{x!} ...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ =\!\!\!\!? $$
$$ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} ...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} ...
$$ + ...
$$ + $ \cdots $ + ...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{n=2}^v $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} $$
$$ + $ \ffd1{3!} $$
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{v!} ...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ < $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{n=2}^v $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2^1 ...
$$ + $ \ffd1{2^2 ...
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{2^{v...
#ceq(e)
#ceq(c)
// $$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{m=1}^{v-1} $...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ 1 $$
#ceq(e)
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ = $ 3 $$
#ceq(d)
$$ =\!\!\!\!? $$で示した変換の可否が問題となる。
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 極限を分割しない方法 [#b039b063]
/////////////////////////////////////////////////////////...
本題に入る前に、極限操作の分割を回避し、既に利用されてい...
#ceq(e)
$$ e $$
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ 1 $ + $ \ffd1x \Bi...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=0}^x $ {}_x\mathrm...
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ ^{^1\,}\bcancel{{}...
$$ + $ ^{^x\,}\bcancel{{}...
$$ + $ {}...
$$ + $ {}...
$$ + $ \cdots $ + $ {}...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ {}_...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} ...
$$ + $ \ffd1{3!} ...
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{x!} ...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ < $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} ...
$$ + $ \ffd1{3!} ...
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{x!} ...
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ < $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ff...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2 ...
$$ + $ \ffd1{2^2 ...
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{2^{x...
#ceq(e)
#ceq(c)
// $$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{m=1}^{v-1} $...
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ 1 $$
#ceq(e)
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ = $ 3 $$
#ceq(d)
;,最初の不等号では、$$ _m\mathrm{P}_n $ \leq $ m^n $$を利...
;.例えば$$_4\mathrm{P}_3 $ = $ 4\times3\times2 $ \leq $ 4...
;,$$ _m\mathrm{P}_n $ = $ m(m-1)\cdots(m-n) $ = $ \prod_{...
;,次の不等号では、$$ n! $ \geq $ 2^{n-1} $$を利用している。
;.例えば$$ 4! $ = $ 4\times3\times2\times1 $ \geq $ 2\tim...
;,$$ n! $ = $ n(n-1)\cdots2\cdot1 $ = $ \prod_{k=1}^n $ k...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 極限の分割可否 [#g1ec33df]
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 2変数関数としての一般論 [#h39a7b5e]
;,上下で押さえる発想だけで示せることを確認したところで、...
;,示された手法の問題点は、極限を取る文字が形式的に複数回...
;,オリジナルの手法では、$$ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}...
;,$$ f(u,v) $ = $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ffd...
;,例えば、$$ \lim_{x\to\infty} $ \ffd1x $ = $ 0 $$につい...
;,$$ \ffd1x $ = $ \ffd1{2x} $ + $ \ffd1{2x} $$から$$ f(u,...
;,$$ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} $ f(u,v) $ = $...
;,$$ \lim_{x\to\infty} $ f(x,x) $ = $ \lim_{x\to\infty} $...
;,しかし、$$ \lim_{x\to\infty} $ 1 $ = $ 1 $$について、
;,$$ 1 $ = $ \ffd{\ffd1x}{\ffd1x} $$から$$ f(u,v) $ = $ \...
;.$$ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} $ f(u,v) $ = $...
;,$$ \lim_{x\to\infty} $ f(x,x) $ = $ \lim_{x\to\infty} $...
;,よって、範囲を気軽に任意の2変数関数に広げては$$ \lim_{...
;,一般に、多変数関数では「接近経路に寄らずに一定の値を取...
;, cf: http://webmath.las.osakafu-u.ac.jp/top/std/help...
;,$$ \lim_{x\to\infty} $ \ffd{x}{x} $$は$$ \ffd{u}{v} $$...
;,$$ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} $ \ffd{u}{v} $...
;,最終的に$$ v $$軸に平行に$$ (\infty, \infty) $$に近づけ...
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 接近経路次第で極限値が変わる関数のグラフ [#hd7c36e9]
;,$$ (\infty, v) $$から$$ v $$軸に平行に$$ (\infty, \inft...
;,$$ (p,q) $ = $ \Big(\ffd1u, \ffd1v\Big) $$と定義して、$...
;,対応する関数は、$$ g(p,q) $ = $ f\Big(\ffd1p, \ffd1q\Bi...
;,考える極限と接近は、$$ \lim_{r\to0} $ g(r,r) $ = $ \lim...
;,$$ \lim_{q\to0} $ \lim_{p\to0} $ g(p,q) $ = $ \lim_{q\t...
;.$$ p\neq0 $$かつ$$ q\neq0 $$なる任意点$$ (p,q) $$から出...
;,$$ p $$軸に平行に$$ (0,q) $$に近づいてから、最終的に$$ ...
;,[[WolframAlpha>https://www.wolframalpha.com/input/?i=p%...
|>|*$$ \ffd{p}{q} $$のグラフ|h
|*3Dグラフ|*2D等高線|
|&ref(./ffd_p_q.gif,width=300);|&ref(./ffd_p_q_2d.gif,wid...
;,原点を除き、$$ q $ = $ kp $$の線上は常に同じ値$$ k $$を...
;,原点付近は、近づいてくる方向によって、如何なる値も取れ...
;,これは$$ \ffd00 $$を定義できない理由でもある。
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 2変数関数としての一般論 [#ld867eb4]
;,2変数関数に対して一般的に成立しないため、場合によって...
;,実際問題、少なくとも2階微分が可能なほどに滑らかな$$ C^...
;,$$ \ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n} $$
;,細かい証明を示すには、
;,2変数関数$$ f(u,v) $$の分割極限$$ \lim_{v\to k} $ \lim...
;,1変数に束縛した関数$$ g(x) $ = $ f(x,x) $$の極限$$ \li...
;,両者が一致するか。
#ceq(e)
$$ \lim_{u\to k} $ \lim_{v\to k} $ f(u,v) $ =\!\!\!\!? ...
#ceq(d)
;,もし$$ \lim_{v\to k} $ \lim_{u\to k} $ f(u,v) $ \neq $ ...
;,極限を取る順番を入れ替えることで異なる値を取る両者に共...
;,この可換性は、$$ f(u,v) $$の極限$$ \lim_{(u,v)\to(k,k)}...
;,$$ \lim_{(u,v)\to(k,k)} $ \lim_{u\to k} $ f(u,v) $
//http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2013/calc1/l...
;,そのため、
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 利点 [#r2ee517d]
/////////////////////////////////////////////////////////...
;,この手法が優れているのは、直観的な正項級数にあるとも。
;,例えば、$$ 2.64 < e < 2.78 $$を証明する類の問題では、適...
;,$$ 2 $$に$$ \ffd1{2!} $ = $ 0.5 $$を加えても$$ 2.5 $$と...
;,更に$$ \ffd1{3!} $ = $ 0.16666 $$を加えて$$ 2.6666 $$に...
;,残差は$$ \ffd1{4!} $ = $ \ffd12 $ \cdot $ \ffd13 $ \cdo...
;,$$ \ffd1{12} $ = $ 0.0833 $$のため、$$ 2.6666 $$に加え...
%bodynote
ページ名:
xu基底系.png
6324件
[
詳細
]
xu座標系.png
6335件
[
詳細
]
x座標系.png
6438件
[
詳細
]
2ApplePlate.png
336件
[
詳細
]
Apple.png
617件
[
詳細
]
符号ix(ixj).png
367件
[
詳細
]
符号Ax(BxC).png
378件
[
詳細
]
符号判定(AxB)xC.png
691件
[
詳細
]
符号判定Ax(BxC).png
758件
[
詳細
]
PerpPerp.png
763件
[
詳細
]
BxC.png
849件
[
詳細
]
AxBxC+-.png
419件
[
詳細
]
Ax(BxC).png
1011件
[
詳細
]
Ax(BxC)+-.png
403件
[
詳細
]
原子半径の温度変化.jpg
1129件
[
詳細
]
密度の温度変化.jpg
913件
[
詳細
]
添字付き関数名.png
472件
[
詳細
]
添字式.png
448件
[
詳細
]
根号式.png
426件
[
詳細
]
分数式.png
427件
[
詳細
]
現在中国語乗算因数の命名.jpg
482件
[
詳細
]
現在中国語乗算演算子読み.jpg
500件
[
詳細
]
ベクトル除算.png
619件
[
詳細
]
基底除算.png
628件
[
詳細
]
立方体.jpg
154件
[
詳細
]
中2文教P12図.PNG
557件
[
詳細
]
ffd_p_q_2d.gif
308件
[
詳細
]
ffd_p_q.gif
308件
[
詳細
]
Ouv.png
418件
[
詳細
]
Ors.png
446件
[
詳細
]
CosSinMap.png
671件
[
詳細
]
1cosIsinMap.png
582件
[
詳細
]
正弦減法.png
517件
[
詳細
]
Sp1.png
387件
[
詳細
]
Sp0.png
354件
[
詳細
]
Sp4.png
348件
[
詳細
]
Sp3.png
362件
[
詳細
]
Sp2.png
348件
[
詳細
]
yeqaplx3.png
502件
[
詳細
]
dyfrdceqtan.png
505件
[
詳細
]
Fx微分.png
644件
[
詳細
]
Fx差分.png
695件
[
詳細
]
Fx差.png
663件
[
詳細
]
F微分.png
697件
[
詳細
]
F差分.png
620件
[
詳細
]
F差.png
597件
[
詳細
]
x微分.png
646件
[
詳細
]
x差分.png
669件
[
詳細
]
x差.png
640件
[
詳細
]
F対xの微分商.png
2656件
[
詳細
]
F対xの差分商.png
2679件
[
詳細
]
F対xの差商.png
365件
[
詳細
]
Fの微分.png
376件
[
詳細
]
Fの差.png
337件
[
詳細
]
Fの差分.png
336件
[
詳細
]
xの微分.png
2627件
[
詳細
]
xの差分.png
2550件
[
詳細
]
xの差.png
2599件
[
詳細
]
f=0y+9t.png
456件
[
詳細
]
f=1y+6t.png
637件
[
詳細
]
f=2y+3t.png
498件
[
詳細
]
微小座標系.png
6003件
[
詳細
]
偏微分の多義性.png
5795件
[
詳細
]
HennBibunnAll.png
5775件
[
詳細
]
[
凌宮
|
数学
|
一覧
|
検索
|
最新
] [
ソース
]