区間演算で見る有効数字
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* 【作成中】 [#b6c0f42e]
* 概要 [#f3b1b5eb]
;,世の中には実数を全て厳密に表すことができず、実験や工学...
;,そこで、有効数字という概念が登場し、近似値が表すことに...
;,有効数字を正しく扱えないと、正しい結果が保障されなくな...
;,しかし、世の中には便利な区間表記が無いせいか、
;,高校や大学の授業で有効数字の扱い方を教しえるものの、
;,有効数字の誤差を区間として厳密に扱う例はあまり見かけな...
;,そこで、最近見かけた誤差の問題を区間として扱ってみる。
* 問題 [#ge721ab8]
;,https://twitter.com/y_bonten/status/649834242617118720 ...
;,大きい整数の桁数を予測する問題において、誤答に至る例が...
;,ご丁寧に、正解とされた方も、有効数字に対する配慮が足り...
;,当たりが悪ければ誤解と成りうることまで言及されている。
;,例題に丁度良いので、以下引用:
#ceq(e)
>〔教師による不正解〕
> $$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $...
> $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ ( $ \...
> $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \time...
> $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \time...
> よって,
> $$ 311\iro[ak]3 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ < $$ ...
> したがって,
> $$ 36^{2001} $$は$$ 311\iro[ak]4 $$桁の整数である。
#ceq(c)
> 〔生徒による正解〕
> $$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $...
>
> $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \time...
> $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 3114.3564 $$
> よって,
> $$ 311\iro[ak]4 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ < $$ ...
> したがって,
> $$ 36^{2001} $$は$$ 311\iro[ak]5 $$桁の整数である。
#ceq(d)
;,結論から言うと、有効数字の観点から、どちらも「よって」...
;,両方とも対数を有効数字4桁の近似値に直しているため、
;,結果が有効なのは4桁までしかなく、一の位が変わり得る。
* 区間演算で見る有効数字 [#h58cd9f3]
** 区間演算による解答例 [#q99ce680]
;,以下では、同じ問題を区間演算で考え得るずれを可視化して...
;,なお、ここでは以下の誤差表記を用いる。
|*凌宮表記|$$ a{:}.b $ = $ \{ $ x $ \pipe $ a $$ ≦ $$...
|*工学表記|$$ k^{+b}_{-a} $ = $ (k-a){:}.(k+b) $$|
|^ |$$ k{\pm}a $ = $ (k-a){:}.(k+a) $$ |
;,まずは、本当に誤答に至った 〔教師による不正解〕
;, $$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $...
;, $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ ( $...
;, $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ \in $ 4002 $ \ti...
;, $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \ti...
;, $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 3113.9562 ...
;, $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 3113.5560{...
;,よって、$$ 3113.5560 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ < $$...
;,したがって、$$ 36^{2001} $$は$$ 3114 $$桁&font(#C00,b){...
;,つぎに、正答とされている 〔生徒による正解〕
;, $$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $...
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;, $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 3114.3564 ...
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;,よって、$$ 3114.1563 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ < $$...
;,したがって、$$ 36^{2001} $$は$$ 3115 $$桁の整数である。
;,不正解の方は下限の$$ 3113.5560 $$と上限の$$ 3114.3564 $...
;,推定できる桁数が唯一に決まらず、幅を持った解答になる。
;,対して、正解の方は上限$$ 3114.1563 $$と下限$$ 3114.5565...
;,推定できる桁数が唯一に決まる。
** 相違の原因 [#ed619421]
;,結論として、誤差の話ではあるが、所謂1桁増やせば済む問...
;,一般的な誤差表記では見えない厄介なことが起きている。
;,ここで言う一般的な誤差表記は、四捨五入に基づく表記法で...
;,表記値を中心に、最小桁の重みに等しい幅の誤差を持つ区間...
;,例えば、上記の計算では対数の値を表す小数が該当する。
;,$$ 0.3001 $$は$$ 0.30005{:}.0.30015 $$という区間を表し、
;,$$ \log_{10} $ 2 $ = $ 0.3001 $$は対数の値が区間の中に...
((そのため、凌宮数学では一般的な$$ = $$や$$ \approx $$の...
;,誤差付き数に関して、単純な加法も厳密に成立たないのが厄...
;,問題を単純にするため、有効数字1桁の$$ 1 $ + $ 1 $ = $ ...
#ceq
$$ 1 $ + $ [-0.5{:}.0.5] $ + $ 1 $ + $ [-0.5{:}.0.5] ...
#ceq(end)
;,両方の$$ 1 $$とも$$ 0.9 $$から近似された場合、$$ 0.9 $ ...
;,両方の$$ 1 $$とも$$ 0.6 $$から近似された場合、$$ 0.6 $ ...
;,$$ 1 $ + $ 1 $ = $ 2 $$はもはや成立せず、$$ 1 $ + $ 1 $...
;,同様に、$$ \log_{10} $ 2 $ + $ \log_{10} $ 3 $ = $ \log...
;,対応する$$ 0.3001 $ + $ 0.4771 $ = $ 0.7782 $$は$$ 0.30...
;,加算の方が区間が広いため、推定できる桁数が唯一でなくな...
** 誤答する可能性がある、もう一つの原因 [#p3bd1a0d]
;,
%bodynote
* まとめ・つなぎ [#ja30b7ae]
;,対数の有効数字を扱った例: http://photo-m.tp.chiba-u.jp...
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* 【作成中】 [#b6c0f42e]
* 概要 [#f3b1b5eb]
;,世の中には実数を全て厳密に表すことができず、実験や工学...
;,そこで、有効数字という概念が登場し、近似値が表すことに...
;,有効数字を正しく扱えないと、正しい結果が保障されなくな...
;,しかし、世の中には便利な区間表記が無いせいか、
;,高校や大学の授業で有効数字の扱い方を教しえるものの、
;,有効数字の誤差を区間として厳密に扱う例はあまり見かけな...
;,そこで、最近見かけた誤差の問題を区間として扱ってみる。
* 問題 [#ge721ab8]
;,https://twitter.com/y_bonten/status/649834242617118720 ...
;,大きい整数の桁数を予測する問題において、誤答に至る例が...
;,ご丁寧に、正解とされた方も、有効数字に対する配慮が足り...
;,当たりが悪ければ誤解と成りうることまで言及されている。
;,例題に丁度良いので、以下引用:
#ceq(e)
>〔教師による不正解〕
> $$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $...
> $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ ( $ \...
> $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \time...
> $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \time...
> よって,
> $$ 311\iro[ak]3 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ < $$ ...
> したがって,
> $$ 36^{2001} $$は$$ 311\iro[ak]4 $$桁の整数である。
#ceq(c)
> 〔生徒による正解〕
> $$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $...
>
> $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \time...
> $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 3114.3564 $$
> よって,
> $$ 311\iro[ak]4 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ < $$ ...
> したがって,
> $$ 36^{2001} $$は$$ 311\iro[ak]5 $$桁の整数である。
#ceq(d)
;,結論から言うと、有効数字の観点から、どちらも「よって」...
;,両方とも対数を有効数字4桁の近似値に直しているため、
;,結果が有効なのは4桁までしかなく、一の位が変わり得る。
* 区間演算で見る有効数字 [#h58cd9f3]
** 区間演算による解答例 [#q99ce680]
;,以下では、同じ問題を区間演算で考え得るずれを可視化して...
;,なお、ここでは以下の誤差表記を用いる。
|*凌宮表記|$$ a{:}.b $ = $ \{ $ x $ \pipe $ a $$ ≦ $$...
|*工学表記|$$ k^{+b}_{-a} $ = $ (k-a){:}.(k+b) $$|
|^ |$$ k{\pm}a $ = $ (k-a){:}.(k+a) $$ |
;,まずは、本当に誤答に至った 〔教師による不正解〕
;, $$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $...
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;, $$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \ti...
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;,よって、$$ 3113.5560 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ < $$...
;,したがって、$$ 36^{2001} $$は$$ 3114 $$桁&font(#C00,b){...
;,つぎに、正答とされている 〔生徒による正解〕
;, $$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $...
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;,よって、$$ 3114.1563 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ < $$...
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;,不正解の方は下限の$$ 3113.5560 $$と上限の$$ 3114.3564 $...
;,推定できる桁数が唯一に決まらず、幅を持った解答になる。
;,対して、正解の方は上限$$ 3114.1563 $$と下限$$ 3114.5565...
;,推定できる桁数が唯一に決まる。
** 相違の原因 [#ed619421]
;,結論として、誤差の話ではあるが、所謂1桁増やせば済む問...
;,一般的な誤差表記では見えない厄介なことが起きている。
;,ここで言う一般的な誤差表記は、四捨五入に基づく表記法で...
;,表記値を中心に、最小桁の重みに等しい幅の誤差を持つ区間...
;,例えば、上記の計算では対数の値を表す小数が該当する。
;,$$ 0.3001 $$は$$ 0.30005{:}.0.30015 $$という区間を表し、
;,$$ \log_{10} $ 2 $ = $ 0.3001 $$は対数の値が区間の中に...
((そのため、凌宮数学では一般的な$$ = $$や$$ \approx $$の...
;,誤差付き数に関して、単純な加法も厳密に成立たないのが厄...
;,問題を単純にするため、有効数字1桁の$$ 1 $ + $ 1 $ = $ ...
#ceq
$$ 1 $ + $ [-0.5{:}.0.5] $ + $ 1 $ + $ [-0.5{:}.0.5] ...
#ceq(end)
;,両方の$$ 1 $$とも$$ 0.9 $$から近似された場合、$$ 0.9 $ ...
;,両方の$$ 1 $$とも$$ 0.6 $$から近似された場合、$$ 0.6 $ ...
;,$$ 1 $ + $ 1 $ = $ 2 $$はもはや成立せず、$$ 1 $ + $ 1 $...
;,同様に、$$ \log_{10} $ 2 $ + $ \log_{10} $ 3 $ = $ \log...
;,対応する$$ 0.3001 $ + $ 0.4771 $ = $ 0.7782 $$は$$ 0.30...
;,加算の方が区間が広いため、推定できる桁数が唯一でなくな...
** 誤答する可能性がある、もう一つの原因 [#p3bd1a0d]
;,
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* まとめ・つなぎ [#ja30b7ae]
;,対数の有効数字を扱った例: http://photo-m.tp.chiba-u.jp...
ページ名:
xu基底系.png
6322件
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xu座標系.png
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x座標系.png
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2ApplePlate.png
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Apple.png
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符号判定Ax(BxC).png
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BxC.png
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AxBxC+-.png
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Ax(BxC).png
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Ax(BxC)+-.png
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原子半径の温度変化.jpg
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密度の温度変化.jpg
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
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ベクトル除算.png
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立方体.jpg
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中2文教P12図.PNG
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ffd_p_q_2d.gif
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ffd_p_q.gif
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CosSinMap.png
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1cosIsinMap.png
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dyfrdceqtan.png
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f=2y+3t.png
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微小座標系.png
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偏微分の多義性.png
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HennBibunnAll.png
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