三角公式/加法定理
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* 加法定理 [#n22da2d4]
加法定理は、加減算の三角関数を分解する公式。
便宜上、三角関数が$$ \csin $$か$$ \ccos $$のどちらかで未...
((語源は三角を意味する英語 triangle の先頭で「三」を意味...
加法定理は次のように書ける:
#ceq(e)
$$ \spc{\ctri}{\exp}(\alpha \pm \beta) $ \Rightarrow ...
#ceq(end)
重要なのは$$ \sin $$と$$ \cos $$は加算を乗算に変える能力...
((公式なんかより関数の性質を覚える方が遥かに重要))。
そして、これが次の指数の法則と同じ形であること。
#ceq(e)
$$ \exp(\alpha + \beta) = \exp\alpha \, \exp\beta $$
#ceq(a)
$$ e^{\alpha + \beta} = e^\alpha \, e^\beta $$
#ceq(end)
等号ではないのは、符号や係数などが欠けているため。
式の左辺がそれぞれ
$$ \csin(\alpha + \beta) $$、
$$ \csin(\alpha - \beta) $$、
$$ \ccos(\alpha + \beta) $$、
$$ \ccos(\alpha - \beta) $$の場合について、等号が成立する...
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''1. 正弦合わせ''
組立は$$ \ctri $$の決定から始める。
三角関数は三角公式の骨組みのようなもので、これが決まらな...
猫式では、個々の項に対し、乗算している$$ \csin $$の数をそ...
加法定理の右辺にある$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $$には...
それぞれの正弦数は次のようになる:
#ceq(e)
$$ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$ ── 0個 ── 偶数
&br;$$ \csin \alpha $ \ccos \beta $$ ── 1個 ── 奇数
&br;$$ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ ── 1個 ── 奇数
&br;$$ \csin \alpha $ \csin \beta $$ ── 2個 ── 偶数
#ceq(end)
そして、正弦数に関して組立術の真髄である次の規則が成り立...
#ceq(e)
''正弦陰性則: $$ \csin $$が2つ掛け合わせる毎に、項...
#ceq(e)
''正弦奇偶則: 正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数...
#ceq(end)
これらを適応すると、右辺はそれぞれ2組ずつ絞られる:
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha + \beta) $$ ── 奇数 ── $$ \csin \alph...
&br;$$ \csin(\alpha - \beta) $$ ── 奇数 ── $$ \csin \alph...
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $$ ── 偶数 ── $$ \ccos \alph...
&br;$$ \ccos(\alpha - \beta) $$ ── 偶数 ── $$ \ccos \alph...
#ceq(end)
等式にするため、2つの候補から1つの値を作ることになるが、
ここは''加''法定理ということで単純に''加''えば良い
((和積公式でも同じ状況になるが、和''積''は右辺が''積''な...
ここまでの作業で次の形になる:
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha...
&br;$$ \csin(\alpha - \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha...
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha...
&br;$$ \ccos(\alpha - \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha...
#ceq(end)
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''2. 符号合わせ''
続けて、式に残る符号を決める。
一般に、数式は上手くできるもので、「$$ + $$」が基本で、何...
というわけで、左辺が加算の2式は「$$ + $$」が「$$ \iro[ak...
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha...
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha...
#ceq(end)
残りの2式は、左辺の$$ \beta $$が符号反転したがために、右...
しかし、次のように書いた場合、反転する符号は選ぶ余地が無...
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ \Rightar...
&br;$$ \ccos(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ \Rightar...
#ceq(end)
2つの候補を逆に書いた場合、通常省略される$$ \clr[ao]+ $$...
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ \Rightar...
&br;$$ \ccos(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ \Rightar...
#ceq(end)
このため、目に見える符号の反転ではなく、「項の符号反転」...
結果的に、右辺の$$ \beta $$を$$ -\beta $$に置き換えて計算...
$$ \ccos $$は$$ \ccos(\iro[ak]- \beta) $ \Rightarrow $ \c...
$$ \csin $$は$$ \csin(\iro[ak]- \beta) $ \Rightarrow $ \i...
((専門用語では、$$ \ccos $$は偶関数、$$ \csin $$は奇関数...
また、色で直感的に覚えても良い。
正弦陰性則でも、「$$ \iro[ak]- $$」を伝搬する性質でも、$$...
$$ \csin $$と「$$ \iro[ak]- $$」を赤で統一しているのもこ...
以上の結果、加法定理の4式は次のようになる。
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha + \beta) $ = $ \csi...
&br;$$ \csin(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ = $ \csi...
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $ = $ \cco...
&br;$$ \ccos(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ = $ \cco...
#ceq(end)
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''3. 値域合わせ''
本来なら、最後は値域をチェックする段取りだが、
この場合、右辺の値域は簡単には分らない
((「簡単」というのは、加算(or減算)と乗算を1回ずつで出...
幸いなことに、数式は上手くできるもので、簡単に分らないか...
既に上手くできているから。
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* リンク [#a77e996a]
- [[つづき ── 倍角公式>../倍角公式]]
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終了行:
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* 加法定理 [#n22da2d4]
加法定理は、加減算の三角関数を分解する公式。
便宜上、三角関数が$$ \csin $$か$$ \ccos $$のどちらかで未...
((語源は三角を意味する英語 triangle の先頭で「三」を意味...
加法定理は次のように書ける:
#ceq(e)
$$ \spc{\ctri}{\exp}(\alpha \pm \beta) $ \Rightarrow ...
#ceq(end)
重要なのは$$ \sin $$と$$ \cos $$は加算を乗算に変える能力...
((公式なんかより関数の性質を覚える方が遥かに重要))。
そして、これが次の指数の法則と同じ形であること。
#ceq(e)
$$ \exp(\alpha + \beta) = \exp\alpha \, \exp\beta $$
#ceq(a)
$$ e^{\alpha + \beta} = e^\alpha \, e^\beta $$
#ceq(end)
等号ではないのは、符号や係数などが欠けているため。
式の左辺がそれぞれ
$$ \csin(\alpha + \beta) $$、
$$ \csin(\alpha - \beta) $$、
$$ \ccos(\alpha + \beta) $$、
$$ \ccos(\alpha - \beta) $$の場合について、等号が成立する...
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''1. 正弦合わせ''
組立は$$ \ctri $$の決定から始める。
三角関数は三角公式の骨組みのようなもので、これが決まらな...
猫式では、個々の項に対し、乗算している$$ \csin $$の数をそ...
加法定理の右辺にある$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $$には...
それぞれの正弦数は次のようになる:
#ceq(e)
$$ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$ ── 0個 ── 偶数
&br;$$ \csin \alpha $ \ccos \beta $$ ── 1個 ── 奇数
&br;$$ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ ── 1個 ── 奇数
&br;$$ \csin \alpha $ \csin \beta $$ ── 2個 ── 偶数
#ceq(end)
そして、正弦数に関して組立術の真髄である次の規則が成り立...
#ceq(e)
''正弦陰性則: $$ \csin $$が2つ掛け合わせる毎に、項...
#ceq(e)
''正弦奇偶則: 正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数...
#ceq(end)
これらを適応すると、右辺はそれぞれ2組ずつ絞られる:
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha + \beta) $$ ── 奇数 ── $$ \csin \alph...
&br;$$ \csin(\alpha - \beta) $$ ── 奇数 ── $$ \csin \alph...
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $$ ── 偶数 ── $$ \ccos \alph...
&br;$$ \ccos(\alpha - \beta) $$ ── 偶数 ── $$ \ccos \alph...
#ceq(end)
等式にするため、2つの候補から1つの値を作ることになるが、
ここは''加''法定理ということで単純に''加''えば良い
((和積公式でも同じ状況になるが、和''積''は右辺が''積''な...
ここまでの作業で次の形になる:
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha...
&br;$$ \csin(\alpha - \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha...
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha...
&br;$$ \ccos(\alpha - \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha...
#ceq(end)
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''2. 符号合わせ''
続けて、式に残る符号を決める。
一般に、数式は上手くできるもので、「$$ + $$」が基本で、何...
というわけで、左辺が加算の2式は「$$ + $$」が「$$ \iro[ak...
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha...
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha...
#ceq(end)
残りの2式は、左辺の$$ \beta $$が符号反転したがために、右...
しかし、次のように書いた場合、反転する符号は選ぶ余地が無...
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ \Rightar...
&br;$$ \ccos(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ \Rightar...
#ceq(end)
2つの候補を逆に書いた場合、通常省略される$$ \clr[ao]+ $$...
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ \Rightar...
&br;$$ \ccos(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ \Rightar...
#ceq(end)
このため、目に見える符号の反転ではなく、「項の符号反転」...
結果的に、右辺の$$ \beta $$を$$ -\beta $$に置き換えて計算...
$$ \ccos $$は$$ \ccos(\iro[ak]- \beta) $ \Rightarrow $ \c...
$$ \csin $$は$$ \csin(\iro[ak]- \beta) $ \Rightarrow $ \i...
((専門用語では、$$ \ccos $$は偶関数、$$ \csin $$は奇関数...
また、色で直感的に覚えても良い。
正弦陰性則でも、「$$ \iro[ak]- $$」を伝搬する性質でも、$$...
$$ \csin $$と「$$ \iro[ak]- $$」を赤で統一しているのもこ...
以上の結果、加法定理の4式は次のようになる。
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha + \beta) $ = $ \csi...
&br;$$ \csin(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ = $ \csi...
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $ = $ \cco...
&br;$$ \ccos(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ = $ \cco...
#ceq(end)
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''3. 値域合わせ''
本来なら、最後は値域をチェックする段取りだが、
この場合、右辺の値域は簡単には分らない
((「簡単」というのは、加算(or減算)と乗算を1回ずつで出...
幸いなことに、数式は上手くできるもので、簡単に分らないか...
既に上手くできているから。
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* リンク [#a77e996a]
- [[つづき ── 倍角公式>../倍角公式]]
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xu基底系.png
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xu座標系.png
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x座標系.png
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2ApplePlate.png
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Apple.png
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符号判定Ax(BxC).png
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PerpPerp.png
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BxC.png
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AxBxC+-.png
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Ax(BxC).png
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Ax(BxC)+-.png
401件
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原子半径の温度変化.jpg
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密度の温度変化.jpg
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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根号式.png
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分数式.png
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
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ベクトル除算.png
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基底除算.png
626件
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立方体.jpg
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中2文教P12図.PNG
554件
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ffd_p_q_2d.gif
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ffd_p_q.gif
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Ouv.png
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Ors.png
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1cosIsinMap.png
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Sp0.png
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Sp4.png
345件
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dyfrdceqtan.png
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f=2y+3t.png
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微小座標系.png
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偏微分の多義性.png
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HennBibunnAll.png
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