三角公式/虚数正弦
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/虚数正弦
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* 虚数正弦 $$ \ci \csin $$ [#xf7c3ed5]
公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫...
運よく隠された規則があって、それを見出せば、公式を簡単に...
三角公式の場合は「$$ \iro[ak]- $$」や「$$ \csin $$」にな...
答えはオイラーの公式$$ e^{\ci \theta} $ = $ \ccos \theta ...
次のように$$ \csin $$と$$ \ccos $$を複素指数で表すときに...
//複素指数の形で三角公式を導出すると、$$ \csin $$が$$ \ci...
//そして、$$ \ci \csin $$を一塊で扱う方が公式が規則的にな...
//以下はオイラーの公式と三角関数の指数表示:
#ceq(e)
$$
\left\{ \begin{array}{l}
e^{+\bi \theta} = \ccos \theta + \ci \csin \t...
\\ e^{-\bi \theta} = \ccos \theta - \ci \csin \t...
\end{array} \right.
$$
⇒
$$
\left\{ \begin{array}{r}
\phantom{\ci} \ccos \theta = \ffd12 \big( e^{...
\\ \ci \csin \theta = \ffd12 \big( e^{...
\end{array} \right.
$$
#ceq(end)
これを使えば加法定理は次のように導ける。
#ceq(e)
$$ \phantom= $ \ccos(\alpha \pm \beta) $ + $ \ci \csi...
#ceq(e)
$$ = $ e^{\bi(\alpha \pm \beta)} $$
#ceq(a)
オイラーの公式
#ceq(e)
$$ = $ e^{\bi \alpha} $ \cdot $ e^{\pm \bi \beta} $$
#ceq(a)
指数法則
#ceq(e)
$$ = $ ( $ \ccos \alpha $ + $ \ci \csin \alpha $ ) $ ...
#ceq(a)
オイラーの公式
#ceq(e)
$$ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alph...
#ceq(a)
展開
#ceq(e)
$$ = $ ( $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \cs...
#ceq(a)
実部と虚部の分離
#ceq(end)
実部と虚部を別々に比較して$$ \ci $$と$$ \csin $$がセット...
#ceq(e)
$$ \phantom{\ci} \ccos(\alpha \pm \beta) $ = $ \phant...
#ceq(e)
$$ \ci \csin(\alpha \pm \beta) $ = $ ...
#ceq(end)
さらに虚数単位を計算して、通常の加法定理を得る:
#ceq(e)
$$ \ccos(\alpha \pm \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos...
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \pm \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos...
#ceq(end)
表面的ではあるが、
$$ \ci \csin $$版の方では全て$$ \pm $$に統一しているのに...
通常版では$$ \pm $$の中に$$ \mp $$が1つだけ混ざっている。
ポイントは$$ \mp $$は$$ \ci^2 $$の計算結果である。
$$ \ci $$と$$ \csin $$が必ず一緒に動くため、$$ \csin^2 $$...
このため、次の法則が成立する:
#ceq(e)
''正弦陰性則: $$ \csin $$が2つ掛け合わせる毎に、項...
#ceq(end)
次に、通常の三角公式は全て実数である。
複素数の式が実数の式になるには、「全ての項が純虚数」また...
純虚数の項では$$ \ci $$の数は奇数、実数の項では$$ \ci $$...
これも$$ \ci $$と$$ \csin $$が必ず一緒に動くため、
$$ \ci $$に対して言えることは、$$ \csin $$の数に対しても...
#ceq(e)
''正弦奇偶則: 正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数...
#ceq(end)
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 実弦・虚弦 [#fc21e487]
名前の問題。
従来の余弦$$ \ccos $$や正弦$$ \csin $$と区別のため、
猫式では$$ \ccos $$を''実数余弦''、略して''実弦''、$$ \ci...
本質の問題。
図1に示すように、余弦と正弦は、二次元平面上で考えようが...
実数値の座標値に過ぎない。
一方、
図2に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素...
複素数のことは全て複素数で考えるのが猫式の流派である。
$$ \csin $$を使った時点でそれが虚数である。
三角関数のように複素数が姿を現わさないところでも、
$$ \csin $$を$$ \ci\csin $$に書き換えてるだけで見えない世...
|c:|c:|c
|&attachref(./CosSinMap.png,35%); &br; 図1: $$ \cs...
|&attachref(./1cosIsinMap.png,35%); &br; 図2: $$ \ci \cs...
//$$ s = \csin \theta $$&br;
//$$ c = \ccos \theta $$&br;
//$$ \theta $$br;
//
//$$ \clr[md]{0} $$&br;
//$$ \clr[md]{1} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\theta} $$&br;
//$$ \clr[md]{s \!=\! \csin \theta} $$&br;
//$$ \clr[md]{c \!=\! \ccos \theta} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\textrm{P} \!=\! (c, s) \!=\! (\ccos \theta...
//
//$$ \clr[md]{0} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\theta} $$&br;
//$$ \clr[ai]{1} $$&br;
//$$ \clr[ak]{\ci} $$&br;
//$$ \clr[mr]{P \!=\! \ccos \theta + \ci \csin \theta \!=...
//$$ \clr[ai]{C \!=\! \ccos \theta} $$&br;
//$$ \clr[ak]{S \!=\! \ci \csin \theta} $$&br;
//
//$$ \clr[mr]{0} $$&br;
/////////////////////////////////////////////////////////...
//#hr
//#attach(noform)
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終了行:
/虚数正弦
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* 虚数正弦 $$ \ci \csin $$ [#xf7c3ed5]
公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫...
運よく隠された規則があって、それを見出せば、公式を簡単に...
三角公式の場合は「$$ \iro[ak]- $$」や「$$ \csin $$」にな...
答えはオイラーの公式$$ e^{\ci \theta} $ = $ \ccos \theta ...
次のように$$ \csin $$と$$ \ccos $$を複素指数で表すときに...
//複素指数の形で三角公式を導出すると、$$ \csin $$が$$ \ci...
//そして、$$ \ci \csin $$を一塊で扱う方が公式が規則的にな...
//以下はオイラーの公式と三角関数の指数表示:
#ceq(e)
$$
\left\{ \begin{array}{l}
e^{+\bi \theta} = \ccos \theta + \ci \csin \t...
\\ e^{-\bi \theta} = \ccos \theta - \ci \csin \t...
\end{array} \right.
$$
⇒
$$
\left\{ \begin{array}{r}
\phantom{\ci} \ccos \theta = \ffd12 \big( e^{...
\\ \ci \csin \theta = \ffd12 \big( e^{...
\end{array} \right.
$$
#ceq(end)
これを使えば加法定理は次のように導ける。
#ceq(e)
$$ \phantom= $ \ccos(\alpha \pm \beta) $ + $ \ci \csi...
#ceq(e)
$$ = $ e^{\bi(\alpha \pm \beta)} $$
#ceq(a)
オイラーの公式
#ceq(e)
$$ = $ e^{\bi \alpha} $ \cdot $ e^{\pm \bi \beta} $$
#ceq(a)
指数法則
#ceq(e)
$$ = $ ( $ \ccos \alpha $ + $ \ci \csin \alpha $ ) $ ...
#ceq(a)
オイラーの公式
#ceq(e)
$$ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alph...
#ceq(a)
展開
#ceq(e)
$$ = $ ( $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \cs...
#ceq(a)
実部と虚部の分離
#ceq(end)
実部と虚部を別々に比較して$$ \ci $$と$$ \csin $$がセット...
#ceq(e)
$$ \phantom{\ci} \ccos(\alpha \pm \beta) $ = $ \phant...
#ceq(e)
$$ \ci \csin(\alpha \pm \beta) $ = $ ...
#ceq(end)
さらに虚数単位を計算して、通常の加法定理を得る:
#ceq(e)
$$ \ccos(\alpha \pm \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos...
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \pm \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos...
#ceq(end)
表面的ではあるが、
$$ \ci \csin $$版の方では全て$$ \pm $$に統一しているのに...
通常版では$$ \pm $$の中に$$ \mp $$が1つだけ混ざっている。
ポイントは$$ \mp $$は$$ \ci^2 $$の計算結果である。
$$ \ci $$と$$ \csin $$が必ず一緒に動くため、$$ \csin^2 $$...
このため、次の法則が成立する:
#ceq(e)
''正弦陰性則: $$ \csin $$が2つ掛け合わせる毎に、項...
#ceq(end)
次に、通常の三角公式は全て実数である。
複素数の式が実数の式になるには、「全ての項が純虚数」また...
純虚数の項では$$ \ci $$の数は奇数、実数の項では$$ \ci $$...
これも$$ \ci $$と$$ \csin $$が必ず一緒に動くため、
$$ \ci $$に対して言えることは、$$ \csin $$の数に対しても...
#ceq(e)
''正弦奇偶則: 正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数...
#ceq(end)
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* 実弦・虚弦 [#fc21e487]
名前の問題。
従来の余弦$$ \ccos $$や正弦$$ \csin $$と区別のため、
猫式では$$ \ccos $$を''実数余弦''、略して''実弦''、$$ \ci...
本質の問題。
図1に示すように、余弦と正弦は、二次元平面上で考えようが...
実数値の座標値に過ぎない。
一方、
図2に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素...
複素数のことは全て複素数で考えるのが猫式の流派である。
$$ \csin $$を使った時点でそれが虚数である。
三角関数のように複素数が姿を現わさないところでも、
$$ \csin $$を$$ \ci\csin $$に書き換えてるだけで見えない世...
|c:|c:|c
|&attachref(./CosSinMap.png,35%); &br; 図1: $$ \cs...
|&attachref(./1cosIsinMap.png,35%); &br; 図2: $$ \ci \cs...
//$$ s = \csin \theta $$&br;
//$$ c = \ccos \theta $$&br;
//$$ \theta $$br;
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//$$ \clr[md]{0} $$&br;
//$$ \clr[md]{1} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\theta} $$&br;
//$$ \clr[md]{s \!=\! \csin \theta} $$&br;
//$$ \clr[md]{c \!=\! \ccos \theta} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\textrm{P} \!=\! (c, s) \!=\! (\ccos \theta...
//
//$$ \clr[md]{0} $$&br;
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//$$ \clr[ai]{1} $$&br;
//$$ \clr[ak]{\ci} $$&br;
//$$ \clr[mr]{P \!=\! \ccos \theta + \ci \csin \theta \!=...
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//
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//#hr
//#attach(noform)
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xu基底系.png
6322件
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xu座標系.png
6330件
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x座標系.png
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2ApplePlate.png
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Apple.png
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符号判定Ax(BxC).png
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PerpPerp.png
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BxC.png
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Ax(BxC).png
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Ax(BxC)+-.png
401件
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原子半径の温度変化.jpg
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密度の温度変化.jpg
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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根号式.png
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分数式.png
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
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ベクトル除算.png
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基底除算.png
625件
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立方体.jpg
153件
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中2文教P12図.PNG
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ffd_p_q_2d.gif
302件
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ffd_p_q.gif
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Ouv.png
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Ors.png
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dyfrdceqtan.png
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微小座標系.png
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