三角公式/積和公式
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* 積和公式 [#m718e996]
積和公式は、三角関数の積を三角関数の和に変換する公式。
未定記号を使うと、
#ceq(e)
$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $ \Rightarrow $ \ctri ...
#ceq(end)
ただし、$$ A $$と$$ B $$はそれぞれ$$ \alpha + \beta $$と$...
次のようになる。
#ceq(e)
$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $ \Rightarrow $ \ctri ...
#ceq(end)
一応、対応する指数の法則は$$ e^\alpha\,e^\beta = e^{\alph...
このため、右辺に加法定理の左辺となる$$ \ctri (\alpha + \b...
$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $$が
$$ \csin \alpha $ \ccos \beta $$、
$$ \ccos \alpha $ \csin \beta $$、
$$ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$、
$$ \csin \alpha $ \csin \beta $$の場合について、等号が成...
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''1. 正弦合わせ''
それぞれの左辺の正弦数と組合せ可能な右辺を配置すると次の...
#ceq(e)
$$ \phantom-\! $ \csin \alpha $ \ccos \beta $$ ── 1...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ ── 1...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$ ── 0...
&br;$$ \iro[ak]-\! $ \csin \alpha $ \csin \beta $$ ── 2...
#ceq(end)
右辺が$$ \csin $$のみ、または$$ \ccos $$のみになるのが特...
正弦奇偶則のため、$$ \csin (\alpha + \beta) $ \cpm $ \cco...
////////////////////////////////
''2. 符号合わせ''
続けて、右辺の符号を決める。
ここでは簡単に$$ \beta $$の符号を反転させ、値の変化を調べ...
$$ \beta $$の符号を反転させると、
左辺は$$ \ccos $$は符号が消されて変化無し、$$ \csin $$は...
一方、右辺は第1項と第2項が入れ替わり、
「$$ + $$」なら変化無し、「$$ - $$」なら符号反転。
#ceq(e)
$$ \phantom-\! $ \csin \alpha $ \ccos \beta $$ ── ##...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ ── ##...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$ ── ##...
&br;$$ \iro[ak]-\! $ \csin \alpha $ \csin \beta $$ ── ##...
#ceq(end)
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''3. 値域合わせ''
左辺は三角関数の積のため値域は$$ (-1::1) $ \times $ (-1::...
右辺は三角関数の和のため値域は$$ (-1::1) $ + $ (-1::...
したがって、値域を合わせるには、右辺を$$ \ffd12 $$倍すれ...
以上より、積和公式の4式は次のようになる。
#ceq(e)
$$ \phantom-\! $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ = $ \ir...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \csin \beta $ = $ \ir...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ = $ \ir...
&br;$$ \iro[ak]-\! $ \csin \alpha $ \csin \beta $ = $ \ir...
#ceq(end)
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* リンク [#u7dab26e]
- [[つづき ── 和積公式>../和積公式]]
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* 積和公式 [#m718e996]
積和公式は、三角関数の積を三角関数の和に変換する公式。
未定記号を使うと、
#ceq(e)
$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $ \Rightarrow $ \ctri ...
#ceq(end)
ただし、$$ A $$と$$ B $$はそれぞれ$$ \alpha + \beta $$と$...
次のようになる。
#ceq(e)
$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $ \Rightarrow $ \ctri ...
#ceq(end)
一応、対応する指数の法則は$$ e^\alpha\,e^\beta = e^{\alph...
このため、右辺に加法定理の左辺となる$$ \ctri (\alpha + \b...
$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $$が
$$ \csin \alpha $ \ccos \beta $$、
$$ \ccos \alpha $ \csin \beta $$、
$$ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$、
$$ \csin \alpha $ \csin \beta $$の場合について、等号が成...
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''1. 正弦合わせ''
それぞれの左辺の正弦数と組合せ可能な右辺を配置すると次の...
#ceq(e)
$$ \phantom-\! $ \csin \alpha $ \ccos \beta $$ ── 1...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ ── 1...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$ ── 0...
&br;$$ \iro[ak]-\! $ \csin \alpha $ \csin \beta $$ ── 2...
#ceq(end)
右辺が$$ \csin $$のみ、または$$ \ccos $$のみになるのが特...
正弦奇偶則のため、$$ \csin (\alpha + \beta) $ \cpm $ \cco...
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''2. 符号合わせ''
続けて、右辺の符号を決める。
ここでは簡単に$$ \beta $$の符号を反転させ、値の変化を調べ...
$$ \beta $$の符号を反転させると、
左辺は$$ \ccos $$は符号が消されて変化無し、$$ \csin $$は...
一方、右辺は第1項と第2項が入れ替わり、
「$$ + $$」なら変化無し、「$$ - $$」なら符号反転。
#ceq(e)
$$ \phantom-\! $ \csin \alpha $ \ccos \beta $$ ── ##...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ ── ##...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$ ── ##...
&br;$$ \iro[ak]-\! $ \csin \alpha $ \csin \beta $$ ── ##...
#ceq(end)
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''3. 値域合わせ''
左辺は三角関数の積のため値域は$$ (-1::1) $ \times $ (-1::...
右辺は三角関数の和のため値域は$$ (-1::1) $ + $ (-1::...
したがって、値域を合わせるには、右辺を$$ \ffd12 $$倍すれ...
以上より、積和公式の4式は次のようになる。
#ceq(e)
$$ \phantom-\! $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ = $ \ir...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \csin \beta $ = $ \ir...
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ = $ \ir...
&br;$$ \iro[ak]-\! $ \csin \alpha $ \csin \beta $ = $ \ir...
#ceq(end)
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* リンク [#u7dab26e]
- [[つづき ── 和積公式>../和積公式]]
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