自然無限級数
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* 背景 [#qf624c85]
;,特撮テレビドラマ『[[仮面ライダービルド>http://www.tv-as...
;,その第12話が「第$$ - \ffd1{\zeta(-1)} = 12 $$話」となっ...
;,話題とは、元ネタであるゼータ関数$$ \zeta(-1) $$が表す無...
;,$$ - \ffd1{\zeta(-1)} = 12 $$を式変形すれば$$ \zeta(-1)...
;,これはゼータ関数正規化の分野で登場する等式((ja.wimipedi...
;,しかし、$$ \zeta(-1) $$を定義通りに展開すると$$ 1+2+3+\...
;,高校までの常識では$$ 1+2+3+\cdots $$が$$ -\ffd{1}{12} $...
;,ゼータ関数の式の説明は他のサイト((今日も8時間睡眠/「1+...
;,以下では何が違うのか、問題を簡単に切り分けてみる。
;,結論から言うと「$$ 1+2+3+\cdots $$」という表記が異なる...
;,以降では、便宜上$$ 1+2+3+\cdots $$を自然無限級数と呼ぶ...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 逐次加算での解釈 [#d734d9e3]
;,高校数学までは「$$ 1+2+3+\cdots $$」は左から順に足して...
;,総和記号で表現すると、その意味が明確になる。
;,この定義を便宜的に逐次加算と呼ぶ。
#ceq(e)
逐次加算: $$ S $ := $ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n =...
#ceq(d)
;,逐次加算では、まず無限級数の先頭から途中で打ち切る部分...
;,無限級数$$ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n = 1}^{m} $ n $...
;,部分和の項数を無限大に近づけると、部分和の値が無限級数...
;,ここで、自然無限級数では正の自然数をどんどん加算してい...
;,項数を無限大に近づくと、部分和の値も無限大に近づく。
;,その結果、無限級数は無限大に発散する結果となる。
#ceq(e)
$$ S $ = $ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n = 1}^{m} $ n $...
#ceq(d)
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* ゼータ関数での解釈1(ざっくり間違える節) [#o7c0c7d3]
;,高等数学ではゼータ関数を以下に定義する。
#ceq(e)
$$ \zeta(s) $ := $ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n=1}^{m}...
#ceq(d)
ゼータ関数に$$ s $ = $ -1 $$を形式的に代入すると、自然無...
#ceq(e)
$$ \zeta(-1) $ = $ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n=1}^{m}...
#ceq(d)
;,ゼータ関数の値と$$ s $$は複素数範囲で定義されている。
;,$$ s $ = $ -1 $$の値は$$ -\ffd{1}{12} $$となっている。
#ceq(e)
$$ \zeta(-1) $ = $ -\ffd{1}{12} $$ (※これは正しい)
#ceq(d)
/////////////////////////////////////////////////////////...
* ゼータ関数での解釈2(少し厳密に扱う節) [#ad700167]
;,ゼータ関数への代入を$$ \lim $$で明記すると$$ \zeta(-1) ...
#ceq(e)
$$ \zeta(-1) $ = $ \lim_{s \to -1} $ \zeta(s) $ = $ \li...
#ceq(d)
;,他方、
#ceq(e)
$$ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n=1}^{m} $ \ffd{1}{n^{-1...
#ceq(d)
;,これが逐次加算の解釈と一致する。
;,要は、
#ceq(e)
$$ \lim_{s \to -1} $ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n=1}^{...
$$ \neq $$
$$ \lim_{m \to \infty} $ \lim_{s \to -1} $ \sum_{n=1}^{...
#ceq(d)
;,2つの極限$$ \lim_{s \to -1} $$と$$ \lim_{m \to \infty}...
;,多くの分野では$$ 1+2+3+\cdots $$を$$ \lim_{m \to \infty...
;,解析接続の分野では$$ 1+2+3+\cdots $$を$$ \lim_{s \to -1...
;,どちらも$$ 1+2+3+\cdots $$と書くが、異なる無限級数を表...
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* 背景 [#qf624c85]
;,特撮テレビドラマ『[[仮面ライダービルド>http://www.tv-as...
;,その第12話が「第$$ - \ffd1{\zeta(-1)} = 12 $$話」となっ...
;,話題とは、元ネタであるゼータ関数$$ \zeta(-1) $$が表す無...
;,$$ - \ffd1{\zeta(-1)} = 12 $$を式変形すれば$$ \zeta(-1)...
;,これはゼータ関数正規化の分野で登場する等式((ja.wimipedi...
;,しかし、$$ \zeta(-1) $$を定義通りに展開すると$$ 1+2+3+\...
;,高校までの常識では$$ 1+2+3+\cdots $$が$$ -\ffd{1}{12} $...
;,ゼータ関数の式の説明は他のサイト((今日も8時間睡眠/「1+...
;,以下では何が違うのか、問題を簡単に切り分けてみる。
;,結論から言うと「$$ 1+2+3+\cdots $$」という表記が異なる...
;,以降では、便宜上$$ 1+2+3+\cdots $$を自然無限級数と呼ぶ...
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* 逐次加算での解釈 [#d734d9e3]
;,高校数学までは「$$ 1+2+3+\cdots $$」は左から順に足して...
;,総和記号で表現すると、その意味が明確になる。
;,この定義を便宜的に逐次加算と呼ぶ。
#ceq(e)
逐次加算: $$ S $ := $ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n =...
#ceq(d)
;,逐次加算では、まず無限級数の先頭から途中で打ち切る部分...
;,無限級数$$ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n = 1}^{m} $ n $...
;,部分和の項数を無限大に近づけると、部分和の値が無限級数...
;,ここで、自然無限級数では正の自然数をどんどん加算してい...
;,項数を無限大に近づくと、部分和の値も無限大に近づく。
;,その結果、無限級数は無限大に発散する結果となる。
#ceq(e)
$$ S $ = $ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n = 1}^{m} $ n $...
#ceq(d)
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* ゼータ関数での解釈1(ざっくり間違える節) [#o7c0c7d3]
;,高等数学ではゼータ関数を以下に定義する。
#ceq(e)
$$ \zeta(s) $ := $ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n=1}^{m}...
#ceq(d)
ゼータ関数に$$ s $ = $ -1 $$を形式的に代入すると、自然無...
#ceq(e)
$$ \zeta(-1) $ = $ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n=1}^{m}...
#ceq(d)
;,ゼータ関数の値と$$ s $$は複素数範囲で定義されている。
;,$$ s $ = $ -1 $$の値は$$ -\ffd{1}{12} $$となっている。
#ceq(e)
$$ \zeta(-1) $ = $ -\ffd{1}{12} $$ (※これは正しい)
#ceq(d)
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* ゼータ関数での解釈2(少し厳密に扱う節) [#ad700167]
;,ゼータ関数への代入を$$ \lim $$で明記すると$$ \zeta(-1) ...
#ceq(e)
$$ \zeta(-1) $ = $ \lim_{s \to -1} $ \zeta(s) $ = $ \li...
#ceq(d)
;,他方、
#ceq(e)
$$ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n=1}^{m} $ \ffd{1}{n^{-1...
#ceq(d)
;,これが逐次加算の解釈と一致する。
;,要は、
#ceq(e)
$$ \lim_{s \to -1} $ \lim_{m \to \infty} $ \sum_{n=1}^{...
$$ \neq $$
$$ \lim_{m \to \infty} $ \lim_{s \to -1} $ \sum_{n=1}^{...
#ceq(d)
;,2つの極限$$ \lim_{s \to -1} $$と$$ \lim_{m \to \infty}...
;,多くの分野では$$ 1+2+3+\cdots $$を$$ \lim_{m \to \infty...
;,解析接続の分野では$$ 1+2+3+\cdots $$を$$ \lim_{s \to -1...
;,どちらも$$ 1+2+3+\cdots $$と書くが、異なる無限級数を表...
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