射影空間における比の値
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* 背景 [#t460520f]
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;,数学には「比」という有用な概念があり、小学校から教えら...
;,小学校では2項の比を扱い、割り算を以って比の値を定義す...
;,具体に、2つの数 $$ a $$ と $$ b $$ の比を $$ a $ : $ b...
;,他方、比は射影空間の元と一般化され、$$ b $$ が $$ 0 $$ ...
;,$$ b $$ が $$ 0 $$ の場合はゼロ除算になるため、比の値が...
;,連比の場合は、比の値がベクトルとして扱われるし、ゼロ除...
;,以下では、比と比の値に関して整理し、3項以上の比の値に...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 単比(2項の比) [#l7437395]
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 比 [#af3e2675]
;,直観的な定義は、2つの数$$ a $$と$$ b $$について、共通...
;,具体に、$$ a $ : $ b $$ と表記し、$$ a $ : $ b $ = $ ka...
;,厳密な定義は、体 $$ K $$ 上の2次元射影空間 $$ KP_2 $$ ...
;,順序対と同値関係で $$ KP_2 $ = $ (K^2 - \{\:0\}) /:: $$...
;,具体に、
- $$ a,b $ \in $ K $$ についてのベクトル $$ [a,b] $ \in $...
- 零ベクトル $$ \:0 $ = $ [0,0] $$ を除き、
- $$ \forall k \in K - \{0\} $ :\; $ [a,b] $ :: $ [ka, kb...
(($$ :: $$ は比例の古い表記 $$ a $ : $ b $ :: $ c $ : $ d...
((この同値関係は習慣的に$$ \sim $$で表記される場合が多い...
;,一番多用されるのは実数体上の射影空間$$ RP_2 $$。
;,有理数体と複素数体の上に成り立つ射影空間$$ QP_2 $$と$$ ...
;,例えば、
- 有理数の比: $$ \ffd23 $ : $ \ffd45 $$
- 実数の比: $$ 1 : \sqrt2 $$
- 複素数の比: $$ (1+i) : (1-i) $$
;,他方、小学校で扱う「有理数」が負の数を含まないため、
;,有理数が体の要件を満たさず、その比も射影空間を為さない...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 比の値 [#o4316c05]
;,単比$$ a $ : $ b $$の値は、$$ a / b $$ と定義される場合...
;,というのも、歴史的に除算と比の区別が無く、今でもフラン...
((https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=62419?s...
;,日本では比と割算を表記上では区別するが、比の値で繋がっ...
((「比の値」が学習指導要領で要求されている用語&br; ref...
((昔は加比の理など比ならではの演算も扱うが、今は比の値の...
;,なお、除算に関して、除数が$$ 0 $$の場合は未定義。
;,そのため、後項が$$ 0 $$の比$$ a:0 $$の値も未定義とされ...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
** コンパクト化 ── 1点コンパクト化 [#s8f02c38]
;,後項が$$ 0 $$の実数比に対応する実数値を定義できない不便...
;,実数に1点を$$ \infty $$追加したコンパクト化
((https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%...
;,具体に、
#ceq(e)
$$ b $ \neq $ 0 $$ならば
#ceq(c)
$$ a:b $ = $ a/b $$、
#ceq(e)
さもなければ
#ceq(c)
$$ a:0 $ = $ \infty $$、
#ceq(d)
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 図形的意味 ── 実射影直線 [#ne13ebdc]
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 連比(3項以上の比) [#k51c7d27]
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 比 [#s4e7d732]
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 比の値 [#ne71cf70]
/////////////////////////////////////////////////////////...
** コンパクト化 [#da51569c]
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** 図形的意味 [#l5a6ed5d]
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終了行:
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* 背景 [#t460520f]
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;,数学には「比」という有用な概念があり、小学校から教えら...
;,小学校では2項の比を扱い、割り算を以って比の値を定義す...
;,具体に、2つの数 $$ a $$ と $$ b $$ の比を $$ a $ : $ b...
;,他方、比は射影空間の元と一般化され、$$ b $$ が $$ 0 $$ ...
;,$$ b $$ が $$ 0 $$ の場合はゼロ除算になるため、比の値が...
;,連比の場合は、比の値がベクトルとして扱われるし、ゼロ除...
;,以下では、比と比の値に関して整理し、3項以上の比の値に...
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* 単比(2項の比) [#l7437395]
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** 比 [#af3e2675]
;,直観的な定義は、2つの数$$ a $$と$$ b $$について、共通...
;,具体に、$$ a $ : $ b $$ と表記し、$$ a $ : $ b $ = $ ka...
;,厳密な定義は、体 $$ K $$ 上の2次元射影空間 $$ KP_2 $$ ...
;,順序対と同値関係で $$ KP_2 $ = $ (K^2 - \{\:0\}) /:: $$...
;,具体に、
- $$ a,b $ \in $ K $$ についてのベクトル $$ [a,b] $ \in $...
- 零ベクトル $$ \:0 $ = $ [0,0] $$ を除き、
- $$ \forall k \in K - \{0\} $ :\; $ [a,b] $ :: $ [ka, kb...
(($$ :: $$ は比例の古い表記 $$ a $ : $ b $ :: $ c $ : $ d...
((この同値関係は習慣的に$$ \sim $$で表記される場合が多い...
;,一番多用されるのは実数体上の射影空間$$ RP_2 $$。
;,有理数体と複素数体の上に成り立つ射影空間$$ QP_2 $$と$$ ...
;,例えば、
- 有理数の比: $$ \ffd23 $ : $ \ffd45 $$
- 実数の比: $$ 1 : \sqrt2 $$
- 複素数の比: $$ (1+i) : (1-i) $$
;,他方、小学校で扱う「有理数」が負の数を含まないため、
;,有理数が体の要件を満たさず、その比も射影空間を為さない...
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** 比の値 [#o4316c05]
;,単比$$ a $ : $ b $$の値は、$$ a / b $$ と定義される場合...
;,というのも、歴史的に除算と比の区別が無く、今でもフラン...
((https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=62419?s...
;,日本では比と割算を表記上では区別するが、比の値で繋がっ...
((「比の値」が学習指導要領で要求されている用語&br; ref...
((昔は加比の理など比ならではの演算も扱うが、今は比の値の...
;,なお、除算に関して、除数が$$ 0 $$の場合は未定義。
;,そのため、後項が$$ 0 $$の比$$ a:0 $$の値も未定義とされ...
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** コンパクト化 ── 1点コンパクト化 [#s8f02c38]
;,後項が$$ 0 $$の実数比に対応する実数値を定義できない不便...
;,実数に1点を$$ \infty $$追加したコンパクト化
((https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%...
;,具体に、
#ceq(e)
$$ b $ \neq $ 0 $$ならば
#ceq(c)
$$ a:b $ = $ a/b $$、
#ceq(e)
さもなければ
#ceq(c)
$$ a:0 $ = $ \infty $$、
#ceq(d)
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** 図形的意味 ── 実射影直線 [#ne13ebdc]
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* 連比(3項以上の比) [#k51c7d27]
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** 比 [#s4e7d732]
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** 比の値 [#ne71cf70]
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** コンパクト化 [#da51569c]
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** 図形的意味 [#l5a6ed5d]
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