正接tanのn倍角公式
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* 複素数の偏角の正接 [#d96b0980]
;,一般に、複素数$$ \:z $ = $ \:i y + x $$に関して、その偏...
#ceq(e)
$$ \tan $ \theta $$
$$ = $ \tan $ \arg $ \:z $$
$$ = $ \ffd{\operatorname{Im}\:z}{\operatorname{Re}\:z...
#ceq(d)
;,また、複素数積が偏角の和になるため、自乗の偏角が偏角の...
#ceq(e)
$$ n\theta $ = $ n $ \arg $ \:z $ = $ \arg $ \:z^n $$
#ceq(d)
;,そこで、$$ t $ = $ \ffd{y}{x} $$、$$ \:w $ = $ \ffd{\:z...
;,$$ \tan $ \theta $ = $ \tan $ \arg $ \:z $ = $ \tan \ar...
;,$$ \tan $ (n\theta) $ = $ \tan $ \arg $ \:w^n $ = $ \ta...
;,以下、この関係を利用し、$$ \tan $ (n\theta) $$を二項展...
* 正接の2倍角公式 [#x6d133c3]
;,$$ \arg $ w^2 $ = $ 2\theta $$であるため、
;,$$ \:w^2 $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^2 $$
$$ = $ (\:it)^2 $ + $ 2 $ (\:it) $ + $ 1 $$
$$ = $ \:i $ ( $ 2t $ ) $ + $ ( $ 1 $ - $ t^2 $ ) $$から
;,$$ \tan $ (2\theta) $ = $ \ffd{2t}{1-t^2} $ = $ \ffd{2\...
* 正接の3倍角公式 [#l78087d7]
;,同様に、$$ \arg $ w^3 $ = $ 3\theta $$であるため、
;,$$ \:w^3 $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^3 $$
$$ = $ (\:it)^3 $ + $ 3 $ (\:it)^2 $ + $ 3 $ (\:it) $ +...
$$ = $ \:i $ ( $ 3t - t^3 $ ) $ + $ ( $ 1 $ - $ 3t^2 $ ...
;,$$ \tan $ (3\theta) $ = $ \ffd{3t - t^3}{1-3t^2} $ = $ ...
* 正接の$$ n $$倍角公式 [#o47a73bf]
;,一般に、$$ \arg $ w^n $ = $ n\theta $$であるため、
;, $$ \:w^n $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^2 $$
$$ = $ \sum_{0 \le k \le n} $ {}_n C_{k} $ (\:it)^k...
$$ = $ \sum_{0 \le k \le n} $ \:i^k $ {}_n C_{k} $ ...
;, $$ = $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 0} $ \cancelt...
$$ + $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 1} $ \cancelt...
$$ + $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 2} $ \cancelt...
$$ + $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 3} $ \cancelt...
;, $$ = $ \:i $ \Big( $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 =...
;, $$ + $ \;\; $ \Big( $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 ...
;, $$ = $ \quad\; $ \ffd{\sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 ...
終了行:
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* 複素数の偏角の正接 [#d96b0980]
;,一般に、複素数$$ \:z $ = $ \:i y + x $$に関して、その偏...
#ceq(e)
$$ \tan $ \theta $$
$$ = $ \tan $ \arg $ \:z $$
$$ = $ \ffd{\operatorname{Im}\:z}{\operatorname{Re}\:z...
#ceq(d)
;,また、複素数積が偏角の和になるため、自乗の偏角が偏角の...
#ceq(e)
$$ n\theta $ = $ n $ \arg $ \:z $ = $ \arg $ \:z^n $$
#ceq(d)
;,そこで、$$ t $ = $ \ffd{y}{x} $$、$$ \:w $ = $ \ffd{\:z...
;,$$ \tan $ \theta $ = $ \tan $ \arg $ \:z $ = $ \tan \ar...
;,$$ \tan $ (n\theta) $ = $ \tan $ \arg $ \:w^n $ = $ \ta...
;,以下、この関係を利用し、$$ \tan $ (n\theta) $$を二項展...
* 正接の2倍角公式 [#x6d133c3]
;,$$ \arg $ w^2 $ = $ 2\theta $$であるため、
;,$$ \:w^2 $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^2 $$
$$ = $ (\:it)^2 $ + $ 2 $ (\:it) $ + $ 1 $$
$$ = $ \:i $ ( $ 2t $ ) $ + $ ( $ 1 $ - $ t^2 $ ) $$から
;,$$ \tan $ (2\theta) $ = $ \ffd{2t}{1-t^2} $ = $ \ffd{2\...
* 正接の3倍角公式 [#l78087d7]
;,同様に、$$ \arg $ w^3 $ = $ 3\theta $$であるため、
;,$$ \:w^3 $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^3 $$
$$ = $ (\:it)^3 $ + $ 3 $ (\:it)^2 $ + $ 3 $ (\:it) $ +...
$$ = $ \:i $ ( $ 3t - t^3 $ ) $ + $ ( $ 1 $ - $ 3t^2 $ ...
;,$$ \tan $ (3\theta) $ = $ \ffd{3t - t^3}{1-3t^2} $ = $ ...
* 正接の$$ n $$倍角公式 [#o47a73bf]
;,一般に、$$ \arg $ w^n $ = $ n\theta $$であるため、
;, $$ \:w^n $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^2 $$
$$ = $ \sum_{0 \le k \le n} $ {}_n C_{k} $ (\:it)^k...
$$ = $ \sum_{0 \le k \le n} $ \:i^k $ {}_n C_{k} $ ...
;, $$ = $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 0} $ \cancelt...
$$ + $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 1} $ \cancelt...
$$ + $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 2} $ \cancelt...
$$ + $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 3} $ \cancelt...
;, $$ = $ \:i $ \Big( $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 =...
;, $$ + $ \;\; $ \Big( $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 ...
;, $$ = $ \quad\; $ \ffd{\sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 ...
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