線形演算子で繋がる特性方程式
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/線形演算子で繋がる特性方程式
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* 背景 [#s9327502]
;,数学では「特性方程式」という言葉が次の異なる分野で登場...
- (高校)数列:数列の漸近式を解くのに使われる。
- (大学)微分:微分の方程式を解くのに使われる。
- (大学)行列:行列の固有値を求める際に出くわす。
;,これらは互いに繋がってはいる。
;,しかし別々に学ぶためか、繋がるように説明されない場合が...
;,数列を学ぶときは、微分も行列も知らないから仕方ないとし...
;,微分は微分、行列は行列と、これらもわざわざ数列と比較す...
;,また、実際問題として、数列では特性方程式を手段として覚...
;,上手く行く理由の説明が不十分だったりと、簡単に比較でき...
;,「$$ a_n $$と$$ a_{n+1} $$を$$ \alpha $$と置いて解くの...
((例: 教科書より詳しい高校数学 https://yorikuwa.com/m512...
は手順だけなのが論外として、
;,「等比数列の漸化式に変形する」説明
((例: おいしい数学 https://mathsuke.jp/characteristic-eq...
((例: 東大塾長の理系ラボ https://rikeilabo.com/bacis-rec...
((例: UBQ数理フォーラム https://ameblo.jp/ubqubq/entr...
;,本質は線形性である。
;,数列さえ線形演算として見れたら、3つの特性方程式が簡単...
;,微分方程式は線形常微分方程式に限られるし、行列は言わず...
;,以下に、数列の漸化式を線形演算として捉え、
;,数列、微分、行列における3つの特性方程式を統一的に扱っ...
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* 各論 [#te19e1ed]
まずは現状の確認として、本節では各概念を簡単に説明する。
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** 数列の線形漸化式と特性方程式による解法 [#hf1fa003]
////////////////
*** 等差数列と等比数列の漸化式 [#d5de210c]
;,高校で数列を扱う際に、等差数列、等比数列、漸化式の順に...
;,等差数列は、初項$$ a_0 $$、公差$$ a $$の数列$$ a_0 $ , ...
;,等比数列は、初項$$ a_0 $$、公差$$ a $$の数列$$ a_0 $ , ...
;,これらはそのまま単純な漸化式として捉えることができる。
;,等差数列は、初項$$ a_0 $$、漸化式$$ a_{n_+1} $ = $ a_n ...
;,等比数列は、初項$$ a_0 $$、漸化式$$ a_{n_+1} $ = $ a_n ...
////////////////
***1次線形漸化式 [#x8f292c5]
;,問題はこれらを合わせた漸化式$$ a_{n+1} $ = $ a_n $ \tim...
;,定番解法は、$$ a_{n+1} $$と$$ a_n $$を$$ \alpha $$に置...
;,すると、元の漸化式から特性方程式の辺々を引けば、等比数...
//;,特性方程式は左右が等値なので、単純な等式変形である。
//;,一方で漸化式と程よく似ているため、引きやすく、定数項...
#ceq(e)
漸化式:
#ceq(c)
$$ a_{n+1} $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ a_n $ \hspace{2em} $ + $ q $$
#ceq(e)
特性方程式:
#ceq(c)
$$ \phantom{a_{n+1}} $ \phantom- $ \alpha $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ $ \alpha $ \hspace{2em} $ + $ q $$
#ceq(e)
等式変形:
#ceq(c)
$$ a_{n+1} $ - $ \alpha $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ (a_n - \alpha) $$
#ceq(d)
;,ここで、数列 $$ {b_n} $ = $ {a_n - \alpha} $$を考えば、...
;,その一般項は、
#ceq(e)
$$ b_n $ = $ b_0 $ p^n $$、すなわち、$$ b_n $ = $ a_n...
#ceq(d)
;,$$ \alpha $$を移項すれば、$$ {a_n} $$の一般項が求まる。
#ceq(e)
$$ a_n $ = $ b_n $ + $ \alpha $ = $ (a_0 - \alpha) $ ...
#ceq(d)
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*** 2次線形漸化式 [#f784f72a]
;,連続3項の漸化式として、$$ a_{n+2} $ + $ p $ a_{n+1} $ ...
;,解き方は、$$ a_{n+2} $$を$$ t^2 $$、$$ a_{n+1} $$を$$ t...
;,その解を$$ \alpha $$と$$ \beta $$と置けば
((いわゆる解なしの場合も虚数解を認めば解けるが、複素数を...
特性方程式が$$ (t - \alpha) $ (t - \beta) $ = $ 0 $$とな...
;,すると、解と係数の関係で $$ p $ = $ - $ \alpha $ - $ \b...
;,漸化式を数列$$ {a_n} $$と$$ \alpha $$の式と、公比が$$ \...
#ceq(e)
$$ a_{n+2} $ - $ (\alpha + \beta) $ a_{n+1} $ + $ \al...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ( $ a_{n+2} $ - $ \alpha $ a_{n+...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ( $ a_{n+2} $ - $ \alpha $ a_{n+...
#ceq(d)
;,同様に、$$ \alpha $$と$$ \beta $$が対称的なので、逆に扱...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ( $ a_{n+2} $ - $ \beta $ a_{n+1...
#ceq(d)
;,それぞれから等比数列を出して、
#ceq(e)
$$ ( $ a_{n+1} $ - $ \alpha $ a_{n} $ ) $ = $ ( $ a_1 $...
#ceq(e)
$$ ( $ a_{n+1} $ - $ \beta $ a_{n} $ ) $ = $ ( $ a_1 $...
#ceq(d)
;,さらに数列の差を取れば、
#ceq(e)
$$ ( $ \beta $ - $ \alpha $ ) $ a_{n} $ = $ ( $ a_1 $ -...
#ceq(d)
;,よって、
#ceq(e)
$$ a_{n} $ = $ \ffd{(a_1 - \beta\,a_0) \alpha^n - (a_1 ...
#ceq(d)
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** 定数係数線形常微分方程式と特性方程式による解法 [#pef64...
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*** 定数係数線形常微分方程式 [#d46c542e]
;,一般に微分可能な1変数関数$$ y(x) $$を$$ x $$を$$ n $$...
;,常微分の線形結合$$ \sum_{k=0}^n $ a_k $ \ddd{^ky}{x^k} ...
;,全ての$$ a_k $$が$$ x $$に対して定数である場合、定数係...
;,要は具体に、
#ceq(e)
1階定数係数線形常微分方程式は
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ a_1 $ \ddd{y(x)}{x} $ + $ a_0 $ y(x) $ = $ f(x) $$
#ceq(e)
2階定数係数線形常微分方程式は
#ceq(c)
$$ a_2 $ \ddd{^2y(x)}{x^2} $ + $$
#ceq(c)
$$ a_1 $ \ddd{y(x)}{x} $ + $ a_0 $ y(x) $ = $ f(x) $$
#ceq(d)
;,煩わしいので、一般的には$$ (x) $$を省き、最高階の係数を...
#ceq(e)
1階定数係数線形常微分方程式:
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ \,\phantom{a_1} $ Dy $ + $ a_0 $ y $ = $ f $$
#ceq(e)
2階定数係数線形常微分方程式:
#ceq(c)
$$ D^2y $ + $$
#ceq(c)
$$ $ a_1 $ Dy $ + $ a_0 $ y $ = $ f $$
#ceq(d)
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*** 1階定数係数線形常微分方程式 [#lbfbb9d8]
;,$$ Dy $ + $ a $ y $ = $ f $$ は辺々に$$ e^{a x} $$を掛...
;,$$ Dy $ = $ De^{ax} $ = $ a $ e^{a x} $$のため、
#ceq(e)
$$ Dy $ + $ a $ y $ = $ f $$
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ (Dy) $ e^{ax} $ + $ a $ y $ e^{a...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ (Dy) $ e^{ax} $ + $ y $ De^{ax} ...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ D(ye^{ax}) $ = $ f $ e^{ax} $$
#ceq(a)
積の微分
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ye^{ax} $ = $ \int $ f $ e^{ax} ...
#ceq(a)
$$ D $$が微分演算のため、逆演算の$$ D^{-1} $$は不定積...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ f $ e^{...
#ceq(d)
;,ここで、元の方程式$$ Dy $ + $ a $ y $ = $ f $$は形式的...
;,以上の結果を以って、線形微分演算子$$ D+a $$の逆演算子$$...
#ceq(e)
$$ (D+a)^{-1} $ $ f(x) $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} ...
#ceq(d)
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*** 2階定数係数線形常微分方程式 [#y08bd2cf]
;,特性方程式を利用した標準的な解法は説明するのに大変な労...
((Matsuda's Web Page/(高専生のための)微分方程式解法ノー...
;,一方で、凌宮数学では線形微分演算子$$ D+a $$に分解する方...
((http://limg.sakura.ne.jp/LimgMath/index.php?%C4%EA%BF%F...
;,そのため、ここは楽して凌宮数学の解法を示す。
;,2階定数係数線形常微分方程式$$ D^2y $ + $ a $ Dy $ + $ ...
;,$$ ( $ D^2 $ + $ a $ D $ + $ b $ ) $ y $ = $ f $$に変形...
;.$$ D^2 $$を$$ \lambda^2 $$、$$ D $$を$$ \lambda $$、$$ ...
;,特性方程式$$ \lambda^2 $ + $ a $ \lambda $ + $ b $ = $ ...
;,その解を$$ \alpha $$と$$ \beta $$と置けば、以下の解と係...
#ceq(e)
$$ \lambda^2 $ + $ a $ \lambda $ + $ b $ = $ \lambda^...
#ceq(d)
;,ただし、
#ceq(e)
$$ a $ = $ -(\alpha + \beta) $$
#ceq(e)
$$ b $ = $ \alpha \beta $$
#ceq(d)
;,この関係を使えば、2階の線形微分演算子を同様に1階線形...
#ceq(e)
$$ D^2 $ + $ a $ D $ + $ b $ = $ D^2 $ - $ (\alpha + ...
#ceq(d)
;,よって、
#ceq(e)
$$ ( $ D^2 $ + $ a $ D $ + $ b $ ) $ y $ = $ f $$
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ (D - \alpha) $ (D - \beta) $ y $...
#ceq(d)
;,これを1階線形微分演算子の逆演算として解けば入れ子の積...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ (D - \beta) $ y $ = $ (D - \alph...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ y $ = $ (D - \beta)^{-1} $ (D - ...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ y $ = $ e^{-\beta x} $ \int $ e^...
((積分対象の範囲に注意。括弧で明記すると $$ e^{-\beta...
#ceq(d)
;,あとは積分定数も忘れずに積分するだけで解ける((と言うの...
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/線形演算子で繋がる特性方程式
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* 背景 [#s9327502]
;,数学では「特性方程式」という言葉が次の異なる分野で登場...
- (高校)数列:数列の漸近式を解くのに使われる。
- (大学)微分:微分の方程式を解くのに使われる。
- (大学)行列:行列の固有値を求める際に出くわす。
;,これらは互いに繋がってはいる。
;,しかし別々に学ぶためか、繋がるように説明されない場合が...
;,数列を学ぶときは、微分も行列も知らないから仕方ないとし...
;,微分は微分、行列は行列と、これらもわざわざ数列と比較す...
;,また、実際問題として、数列では特性方程式を手段として覚...
;,上手く行く理由の説明が不十分だったりと、簡単に比較でき...
;,「$$ a_n $$と$$ a_{n+1} $$を$$ \alpha $$と置いて解くの...
((例: 教科書より詳しい高校数学 https://yorikuwa.com/m512...
は手順だけなのが論外として、
;,「等比数列の漸化式に変形する」説明
((例: おいしい数学 https://mathsuke.jp/characteristic-eq...
((例: 東大塾長の理系ラボ https://rikeilabo.com/bacis-rec...
((例: UBQ数理フォーラム https://ameblo.jp/ubqubq/entr...
;,本質は線形性である。
;,数列さえ線形演算として見れたら、3つの特性方程式が簡単...
;,微分方程式は線形常微分方程式に限られるし、行列は言わず...
;,以下に、数列の漸化式を線形演算として捉え、
;,数列、微分、行列における3つの特性方程式を統一的に扱っ...
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* 各論 [#te19e1ed]
まずは現状の確認として、本節では各概念を簡単に説明する。
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** 数列の線形漸化式と特性方程式による解法 [#hf1fa003]
////////////////
*** 等差数列と等比数列の漸化式 [#d5de210c]
;,高校で数列を扱う際に、等差数列、等比数列、漸化式の順に...
;,等差数列は、初項$$ a_0 $$、公差$$ a $$の数列$$ a_0 $ , ...
;,等比数列は、初項$$ a_0 $$、公差$$ a $$の数列$$ a_0 $ , ...
;,これらはそのまま単純な漸化式として捉えることができる。
;,等差数列は、初項$$ a_0 $$、漸化式$$ a_{n_+1} $ = $ a_n ...
;,等比数列は、初項$$ a_0 $$、漸化式$$ a_{n_+1} $ = $ a_n ...
////////////////
***1次線形漸化式 [#x8f292c5]
;,問題はこれらを合わせた漸化式$$ a_{n+1} $ = $ a_n $ \tim...
;,定番解法は、$$ a_{n+1} $$と$$ a_n $$を$$ \alpha $$に置...
;,すると、元の漸化式から特性方程式の辺々を引けば、等比数...
//;,特性方程式は左右が等値なので、単純な等式変形である。
//;,一方で漸化式と程よく似ているため、引きやすく、定数項...
#ceq(e)
漸化式:
#ceq(c)
$$ a_{n+1} $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ a_n $ \hspace{2em} $ + $ q $$
#ceq(e)
特性方程式:
#ceq(c)
$$ \phantom{a_{n+1}} $ \phantom- $ \alpha $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ $ \alpha $ \hspace{2em} $ + $ q $$
#ceq(e)
等式変形:
#ceq(c)
$$ a_{n+1} $ - $ \alpha $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ (a_n - \alpha) $$
#ceq(d)
;,ここで、数列 $$ {b_n} $ = $ {a_n - \alpha} $$を考えば、...
;,その一般項は、
#ceq(e)
$$ b_n $ = $ b_0 $ p^n $$、すなわち、$$ b_n $ = $ a_n...
#ceq(d)
;,$$ \alpha $$を移項すれば、$$ {a_n} $$の一般項が求まる。
#ceq(e)
$$ a_n $ = $ b_n $ + $ \alpha $ = $ (a_0 - \alpha) $ ...
#ceq(d)
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*** 2次線形漸化式 [#f784f72a]
;,連続3項の漸化式として、$$ a_{n+2} $ + $ p $ a_{n+1} $ ...
;,解き方は、$$ a_{n+2} $$を$$ t^2 $$、$$ a_{n+1} $$を$$ t...
;,その解を$$ \alpha $$と$$ \beta $$と置けば
((いわゆる解なしの場合も虚数解を認めば解けるが、複素数を...
特性方程式が$$ (t - \alpha) $ (t - \beta) $ = $ 0 $$とな...
;,すると、解と係数の関係で $$ p $ = $ - $ \alpha $ - $ \b...
;,漸化式を数列$$ {a_n} $$と$$ \alpha $$の式と、公比が$$ \...
#ceq(e)
$$ a_{n+2} $ - $ (\alpha + \beta) $ a_{n+1} $ + $ \al...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ( $ a_{n+2} $ - $ \alpha $ a_{n+...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ( $ a_{n+2} $ - $ \alpha $ a_{n+...
#ceq(d)
;,同様に、$$ \alpha $$と$$ \beta $$が対称的なので、逆に扱...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ( $ a_{n+2} $ - $ \beta $ a_{n+1...
#ceq(d)
;,それぞれから等比数列を出して、
#ceq(e)
$$ ( $ a_{n+1} $ - $ \alpha $ a_{n} $ ) $ = $ ( $ a_1 $...
#ceq(e)
$$ ( $ a_{n+1} $ - $ \beta $ a_{n} $ ) $ = $ ( $ a_1 $...
#ceq(d)
;,さらに数列の差を取れば、
#ceq(e)
$$ ( $ \beta $ - $ \alpha $ ) $ a_{n} $ = $ ( $ a_1 $ -...
#ceq(d)
;,よって、
#ceq(e)
$$ a_{n} $ = $ \ffd{(a_1 - \beta\,a_0) \alpha^n - (a_1 ...
#ceq(d)
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** 定数係数線形常微分方程式と特性方程式による解法 [#pef64...
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*** 定数係数線形常微分方程式 [#d46c542e]
;,一般に微分可能な1変数関数$$ y(x) $$を$$ x $$を$$ n $$...
;,常微分の線形結合$$ \sum_{k=0}^n $ a_k $ \ddd{^ky}{x^k} ...
;,全ての$$ a_k $$が$$ x $$に対して定数である場合、定数係...
;,要は具体に、
#ceq(e)
1階定数係数線形常微分方程式は
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ a_1 $ \ddd{y(x)}{x} $ + $ a_0 $ y(x) $ = $ f(x) $$
#ceq(e)
2階定数係数線形常微分方程式は
#ceq(c)
$$ a_2 $ \ddd{^2y(x)}{x^2} $ + $$
#ceq(c)
$$ a_1 $ \ddd{y(x)}{x} $ + $ a_0 $ y(x) $ = $ f(x) $$
#ceq(d)
;,煩わしいので、一般的には$$ (x) $$を省き、最高階の係数を...
#ceq(e)
1階定数係数線形常微分方程式:
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ \,\phantom{a_1} $ Dy $ + $ a_0 $ y $ = $ f $$
#ceq(e)
2階定数係数線形常微分方程式:
#ceq(c)
$$ D^2y $ + $$
#ceq(c)
$$ $ a_1 $ Dy $ + $ a_0 $ y $ = $ f $$
#ceq(d)
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*** 1階定数係数線形常微分方程式 [#lbfbb9d8]
;,$$ Dy $ + $ a $ y $ = $ f $$ は辺々に$$ e^{a x} $$を掛...
;,$$ Dy $ = $ De^{ax} $ = $ a $ e^{a x} $$のため、
#ceq(e)
$$ Dy $ + $ a $ y $ = $ f $$
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$$ \Leftrightarrow $ (Dy) $ e^{ax} $ + $ a $ y $ e^{a...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ (Dy) $ e^{ax} $ + $ y $ De^{ax} ...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ D(ye^{ax}) $ = $ f $ e^{ax} $$
#ceq(a)
積の微分
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ye^{ax} $ = $ \int $ f $ e^{ax} ...
#ceq(a)
$$ D $$が微分演算のため、逆演算の$$ D^{-1} $$は不定積...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ f $ e^{...
#ceq(d)
;,ここで、元の方程式$$ Dy $ + $ a $ y $ = $ f $$は形式的...
;,以上の結果を以って、線形微分演算子$$ D+a $$の逆演算子$$...
#ceq(e)
$$ (D+a)^{-1} $ $ f(x) $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} ...
#ceq(d)
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*** 2階定数係数線形常微分方程式 [#y08bd2cf]
;,特性方程式を利用した標準的な解法は説明するのに大変な労...
((Matsuda's Web Page/(高専生のための)微分方程式解法ノー...
;,一方で、凌宮数学では線形微分演算子$$ D+a $$に分解する方...
((http://limg.sakura.ne.jp/LimgMath/index.php?%C4%EA%BF%F...
;,そのため、ここは楽して凌宮数学の解法を示す。
;,2階定数係数線形常微分方程式$$ D^2y $ + $ a $ Dy $ + $ ...
;,$$ ( $ D^2 $ + $ a $ D $ + $ b $ ) $ y $ = $ f $$に変形...
;.$$ D^2 $$を$$ \lambda^2 $$、$$ D $$を$$ \lambda $$、$$ ...
;,特性方程式$$ \lambda^2 $ + $ a $ \lambda $ + $ b $ = $ ...
;,その解を$$ \alpha $$と$$ \beta $$と置けば、以下の解と係...
#ceq(e)
$$ \lambda^2 $ + $ a $ \lambda $ + $ b $ = $ \lambda^...
#ceq(d)
;,ただし、
#ceq(e)
$$ a $ = $ -(\alpha + \beta) $$
#ceq(e)
$$ b $ = $ \alpha \beta $$
#ceq(d)
;,この関係を使えば、2階の線形微分演算子を同様に1階線形...
#ceq(e)
$$ D^2 $ + $ a $ D $ + $ b $ = $ D^2 $ - $ (\alpha + ...
#ceq(d)
;,よって、
#ceq(e)
$$ ( $ D^2 $ + $ a $ D $ + $ b $ ) $ y $ = $ f $$
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ (D - \alpha) $ (D - \beta) $ y $...
#ceq(d)
;,これを1階線形微分演算子の逆演算として解けば入れ子の積...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ (D - \beta) $ y $ = $ (D - \alph...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ y $ = $ (D - \beta)^{-1} $ (D - ...
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ y $ = $ e^{-\beta x} $ \int $ e^...
((積分対象の範囲に注意。括弧で明記すると $$ e^{-\beta...
#ceq(d)
;,あとは積分定数も忘れずに積分するだけで解ける((と言うの...
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添字付き関数名.png
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