多項式の単位面積
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* 多項式単位面積 [#dd9b60c7]
;,受験数学では、2次関数と直線に囲まれる面積を求める便利公...
;,1/6公式、1/3公式、1/12公式などと呼ばれる公式群がある。
- cf: [[高校数学の美しい物語/二次関数の面積に関する1/3公...
- cf: [[受験の月/1/3公式を利用して求める面積2パターンと...
;,例えば、2次関数$$ y $ = $ ax^2 $ + $ bx $ + $ c $$で表...
;,任意の直線と2点で交わり、交点の$$ x $$成分がそれぞれ$$ ...
;,放物線と直線に囲まれる図形の面積は$$ \ffd16 $ |a| $ |\b...
;,これらの公式は以下の因子を持ち、面積$$ S $ = $ k $ |a| ...
- 簡単な整数比となる係数$$ k $$
- 多項式関数の最高次項の係数の絶対値$$ |a| $$
- 2点の$$ x $$座標差の累乗$$ |\beta - \alpha|^n $$
;,頻出問題に有効な上に、係数が簡単な整数比であるため、暗...
;,その中、図形的意味を吟味して、直観的に理解する試みも為...
- cf: [[twitter/@ysmemoirs/「公益に資するイラスト」>htt...
;,以下では、この公式群の図形的意味について考察する。
* 単位正方形内における多項式の積分 [#me97b396]
*** 正単項式形の面積 [#n30c709b]
;,手始めに、簡単な例として単位区間$$ 0::1 $$((凌宮の区間...
;,積分結果は$$ U_n $ = $ \int_0^1 $ x^n $ dx $ = $ \Big[ ...
;,$$ x $ = $ 1 $$のとき、必ず$$ x^n $ = $ 1 $$であるため、
;,積分値$$ U_n $$は$$ 1 $ \times $ 1 $$の単位正方形を$$ x...
;,以下では便宜的に$$ 0 $ \le $ x $ \le $ 1 $$と$$ 0 $ \le...
;,具体的に、
#ceq(e)
;,''正$$ 0 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^0 $$
;,$$ U_0 $ = $ \int_0^1 $ x^0 $ dx $ = $ \Big[ $ x $ \Big...
;,$$ 0 $$次の単項式のグラフは水平線。
;,正$$ 0 $$次単項形は正方形。
;,単位正方形の$$ 1 $$倍の面積と言える。
#ceq(c)
#ref(./Sp0.png,50%)
#ceq(e)
;,''正$$ 1 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^1 $$
;,$$ U_1 $ = $ \int_0^1 $ x^1 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^2...
;,$$ 1 $$次の単項式のグラフは斜めの直線。
;,正$$ 1 $$次単項形は直角二等辺三角形。
;,面積は単位正方形の半分である$$ \ffd12 $$倍。
#ceq(c)
#ref(./Sp1.png,50%)
#ceq(e)
;,''正$$ 2 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^2 $$
;,$$ U_2 $ = $ \int_0^1 $ x^2 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^3...
;,$$ 2 $$次の単項式のグラフは放物線。
;,$$ 2 $$次以上の正単項形を簡易に表す言葉は無い。
;,面積は単位正方形の$$ \ffd13 $$倍。
#ceq(c)
#ref(./Sp2.png,50%)
#ceq(e)
;,''正$$ 3 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^3 $$
;,$$ U_3 $ = $ \int_0^1 $ x^3 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^4...
;,$$ 3 $$次以上では単項式のグラフにすら名前が無い。
;,面積は単位正方形の$$ \ffd14 $$倍。
#ceq(c)
#ref(./Sp3.png,50%)
#ceq(e)
;,''正$$ 4 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^4 $$
;,$$ U_4 $ = $ \int_0^1 $ x^4 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^5...
;,面積は単位正方形の$$ \ffd15 $$倍。
#ceq(c)
#ref(./Sp4.png,50%)
#ceq(d)
*** 単項式形の面積 [#u953ae0a]
;,次に、単位区間における係数付きの$$ ax^n $$の積分を考え...
;,積分結果は$$ S_{n,a} $ = $ a $ U_n $ = $ \int_0^1 $ a $...
;,定数は積分の外に出せるため、結果も定数倍されるだけであ...
;,図形的意味は、グラフを立てに$$ a $$倍引き延ばせば、面積...
;,$$ y $$軸に$$ a $$倍引き延ばすので、$$ y $ = $ a $ x^n ...
;,一般に、多項式$$ x^n $$について区間$$ \alpha::\beta $$...
;,これを$$ S $ = $ \ffd1{n+1} $ (\beta - \alpha)^{n+1} $ ...
;,
;,そのため、$$ \alpha $$と$$ \beta $$が整数のとき、面積は...
;,さらに、$$ U_n $$は区間$$ 0::1 $$の面積$$ \int_0^1 $ x^...
;,そのため、$$ U_n $$を$$ n $$次関数の単位面積と見なせる。
;,以下では、区間$$ 0::1 $$における多項式の単位面積から出...
;,この導出が可能なため、公式群を便宜的に「多項式の単位面...
* 単項式の単位面積:区間$$ 0::1 $$の面積 [#re3dbf83]
** 2次単項式$$ x^2 $$の単位面積$$ U_2 $$ [#kf8768eb]
$$ U_2 $ = $ \int_0^1 $ x^2 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd13 $ x...
** 1/3公式 [#wd994e63]
1/3公式
#ceq
;, 放物線$$ P $$:$$ y $ = $ ax^2 $ + $ bx $ + $ c $$...
;, 点$$ A(\alpha, \alpha_y) $$で接し、放物線$$ P $$と...
;, $$ \ffd13 $ |a| $ |\beta - \alpha|^3 $$で求まる。
#ceq(d)
…
1/3公式の係数$$ \ffd13 $$は$$ U_2 $ = $ \ffd13 $$である。
** 1次単項式$$ x^3 $$の単位面積$$ U_3 $$ [#kf8768eb]
$$ U_1 $ = $ \int_0^1 $ x^1 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd12 $ x...
** 1/6公式 [#q27195c0]
…
1/6公式の係数$$ \ffd16 $$は$$ U_1 $ - $ U_2 $ = $ \ffd12 ...
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* 多項式単位面積 [#dd9b60c7]
;,受験数学では、2次関数と直線に囲まれる面積を求める便利公...
;,1/6公式、1/3公式、1/12公式などと呼ばれる公式群がある。
- cf: [[高校数学の美しい物語/二次関数の面積に関する1/3公...
- cf: [[受験の月/1/3公式を利用して求める面積2パターンと...
;,例えば、2次関数$$ y $ = $ ax^2 $ + $ bx $ + $ c $$で表...
;,任意の直線と2点で交わり、交点の$$ x $$成分がそれぞれ$$ ...
;,放物線と直線に囲まれる図形の面積は$$ \ffd16 $ |a| $ |\b...
;,これらの公式は以下の因子を持ち、面積$$ S $ = $ k $ |a| ...
- 簡単な整数比となる係数$$ k $$
- 多項式関数の最高次項の係数の絶対値$$ |a| $$
- 2点の$$ x $$座標差の累乗$$ |\beta - \alpha|^n $$
;,頻出問題に有効な上に、係数が簡単な整数比であるため、暗...
;,その中、図形的意味を吟味して、直観的に理解する試みも為...
- cf: [[twitter/@ysmemoirs/「公益に資するイラスト」>htt...
;,以下では、この公式群の図形的意味について考察する。
* 単位正方形内における多項式の積分 [#me97b396]
*** 正単項式形の面積 [#n30c709b]
;,手始めに、簡単な例として単位区間$$ 0::1 $$((凌宮の区間...
;,積分結果は$$ U_n $ = $ \int_0^1 $ x^n $ dx $ = $ \Big[ ...
;,$$ x $ = $ 1 $$のとき、必ず$$ x^n $ = $ 1 $$であるため、
;,積分値$$ U_n $$は$$ 1 $ \times $ 1 $$の単位正方形を$$ x...
;,以下では便宜的に$$ 0 $ \le $ x $ \le $ 1 $$と$$ 0 $ \le...
;,具体的に、
#ceq(e)
;,''正$$ 0 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^0 $$
;,$$ U_0 $ = $ \int_0^1 $ x^0 $ dx $ = $ \Big[ $ x $ \Big...
;,$$ 0 $$次の単項式のグラフは水平線。
;,正$$ 0 $$次単項形は正方形。
;,単位正方形の$$ 1 $$倍の面積と言える。
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;,''正$$ 1 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^1 $$
;,$$ U_1 $ = $ \int_0^1 $ x^1 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^2...
;,$$ 1 $$次の単項式のグラフは斜めの直線。
;,正$$ 1 $$次単項形は直角二等辺三角形。
;,面積は単位正方形の半分である$$ \ffd12 $$倍。
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;,''正$$ 2 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^2 $$
;,$$ U_2 $ = $ \int_0^1 $ x^2 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^3...
;,$$ 2 $$次の単項式のグラフは放物線。
;,$$ 2 $$次以上の正単項形を簡易に表す言葉は無い。
;,面積は単位正方形の$$ \ffd13 $$倍。
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;,''正$$ 3 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^3 $$
;,$$ U_3 $ = $ \int_0^1 $ x^3 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^4...
;,$$ 3 $$次以上では単項式のグラフにすら名前が無い。
;,面積は単位正方形の$$ \ffd14 $$倍。
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;,''正$$ 4 $$次単項形''
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;,面積は単位正方形の$$ \ffd15 $$倍。
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#ceq(d)
*** 単項式形の面積 [#u953ae0a]
;,次に、単位区間における係数付きの$$ ax^n $$の積分を考え...
;,積分結果は$$ S_{n,a} $ = $ a $ U_n $ = $ \int_0^1 $ a $...
;,定数は積分の外に出せるため、結果も定数倍されるだけであ...
;,図形的意味は、グラフを立てに$$ a $$倍引き延ばせば、面積...
;,$$ y $$軸に$$ a $$倍引き延ばすので、$$ y $ = $ a $ x^n ...
;,一般に、多項式$$ x^n $$について区間$$ \alpha::\beta $$...
;,これを$$ S $ = $ \ffd1{n+1} $ (\beta - \alpha)^{n+1} $ ...
;,
;,そのため、$$ \alpha $$と$$ \beta $$が整数のとき、面積は...
;,さらに、$$ U_n $$は区間$$ 0::1 $$の面積$$ \int_0^1 $ x^...
;,そのため、$$ U_n $$を$$ n $$次関数の単位面積と見なせる。
;,以下では、区間$$ 0::1 $$における多項式の単位面積から出...
;,この導出が可能なため、公式群を便宜的に「多項式の単位面...
* 単項式の単位面積:区間$$ 0::1 $$の面積 [#re3dbf83]
** 2次単項式$$ x^2 $$の単位面積$$ U_2 $$ [#kf8768eb]
$$ U_2 $ = $ \int_0^1 $ x^2 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd13 $ x...
** 1/3公式 [#wd994e63]
1/3公式
#ceq
;, 放物線$$ P $$:$$ y $ = $ ax^2 $ + $ bx $ + $ c $$...
;, 点$$ A(\alpha, \alpha_y) $$で接し、放物線$$ P $$と...
;, $$ \ffd13 $ |a| $ |\beta - \alpha|^3 $$で求まる。
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…
1/3公式の係数$$ \ffd13 $$は$$ U_2 $ = $ \ffd13 $$である。
** 1次単項式$$ x^3 $$の単位面積$$ U_3 $$ [#kf8768eb]
$$ U_1 $ = $ \int_0^1 $ x^1 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd12 $ x...
** 1/6公式 [#q27195c0]
…
1/6公式の係数$$ \ffd16 $$は$$ U_1 $ - $ U_2 $ = $ \ffd12 ...
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xu基底系.png
6323件
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xu座標系.png
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x座標系.png
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2ApplePlate.png
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Apple.png
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Ax(BxC).png
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Ax(BxC)+-.png
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原子半径の温度変化.jpg
1129件
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密度の温度変化.jpg
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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根号式.png
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分数式.png
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
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ベクトル除算.png
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基底除算.png
627件
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立方体.jpg
154件
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中2文教P12図.PNG
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ffd_p_q_2d.gif
305件
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ffd_p_q.gif
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微小座標系.png
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HennBibunnAll.png
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