単位ベクトル
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/単位ベクトル
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* 大きさ・向きの分離 [#b0774116]
;,単位ベクトルとは、長さが$$ 1 $$のベクトルである。
;,任意のベクトル$$ \:a $$に対し、大きさは$$ | \:a | $$で...
;,これを利用すれば、$$ \:a $$を&font(#04D,b){大きさ};と&f...
#ceq(e)
$$ \:a $ = $ \iro[ao]{|\:a|} $ \iro[md]{\ffd{\:a}{|\:...
#ceq(end)
;,単位ベクトルの表記法として、既にハットマークを用いた$$ ...
((一部の教科書や[[Wikipedia/単位ベクトル>http://ja.wikipe...
;,しかし、このハット記法は主に基底や単位法線ベクトルなど...
;,字面的にも$$ \:a + \:b $$や$$ \:\nabla f $$のような式の...
;,そこで、凌宮数学では、単位ベクトルを「$$ \:1 $$」と表記...
;,単位ベクトルが大きさ$$ 1 $$のベクトルであるため、太字の...
;,表記の自由度を高めるため、任意のベクトル$$ \:a $$に対し...
+ ''添字表記''$$ \:1_\:a $$: 単位ベクトル自体を表す意味...
+ ''関数表記''$$ \:1(\:a) $$: 単位ベクトルを求める演算を...
特に関数表記は、長い式に対する単位ベクトルの表記に便利: ...
;,以上より、ベクトル$$ \:a $$と同じ向きの方向ベクトルを$$...
;,この上、通常は零ベクトルの単位ベクトルを考えないが、$$ ...
;,零ベクトルを含めた任意ベクトルの大きさ・向きの分離表記...
#ceq(e)
$$ \:a $ = $ \iro[ao]{|\:a|} $ \iro[md]{\:1_{\:a}} $$
#ceq(end)
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 単位ベクトル記号の用例 [#s127d3f0]
以下に単位ベクトルを用例について考えてみる。
中には、通常はワザワザ単位ベクトルであることを示さないも...
「1」っぽく書いて初めて気づくのであれば、この「$$ \:1 $$...
/////////////////////////////////////////////////////////...
*** 通常のベクトル(既出) [#ab8adbe5]
$$ x $$、$$ y $$、$$ z $$座標系の単位ベクトルは、添字表記...
;:任意のベクトル$$ \:a $$に対し、単位方向ベクトルを$$ \:1...
/////////////////////////////////////////////////////////...
*** 実数 [#q37d2398]
実数は$$ 1 $$を基底とする1次元ベクトルと見なせる。
このため、任意のスカラー$$ s $$の単位ベクトルを$$ \:1(s) ...
$$ s $$は正の数$$ p > 0 $$なら、$$ \:1(p) $ \equiv $ \:1_...
$$ s $$は負の数$$ m < 0 $$なら、$$ \:1(m) $ \equiv $ \:1_...
$$ -1 $$もまた立派な単位ベクトルである。
また、この結果から、実数では$$ \:1 $$で符号を表せるのが分...
/////////////////////////////////////////////////////////...
*** 複素数 [#xb7d6c84]
複素数では$$ 1 $$と虚数単位$$ \:i $$を基底とするベクトル...
このため、任意の複素数$$ \alpha $$に対し、$$ \:1(\alpha) ...
この定義に従えば、$$ \:1(\alpha) $$は虚数平面上の単位円上...
値としては、$$ \alpha $$の極形式を$$ \lambda e^{\:i \thet...
特殊な単位ベクトルとして、実数にあった$$ \:1_1 $$と$$ \:1...
虚数単位$$ \:1_{i} $ = $ \:i $$とその逆である$$ \:1_{-i} ...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 符号関数 $$ \mathrm{sgn} $$ [#cc1ae42d]
実数の例で符号の話が出てきたが、符号を表す符号関数なるも...
実数$$ x $$に対し、符号関数は$$ \mathrm{sgn} $ a $ = $$
$$
\Bigg\{
\begin{array}{rcc}
1 & : & a > 0
\\ 0 & : & a = 0
\\ -1 & : & a < 0
\end{array}
$$
として定義される。
また、複素数に拡張した場合、$$ \mathrm{sgn} $ \alpha $ = $$
$$
\bigg\{
\begin{array}{ccc}
\ffd{\alpha}{|\alpha|} & : & \alpha \neq 0
\\ 0 & : & \alpha = 0 \ffdstrut
\end{array}
$$
となる。
この複素数の定義は実数の定義を含む。
ここで、複素数の定義は$$ \:1 $$の定義と一致しているのが分...
したがって、複素数に対し、$$ \:1 $$と$$ \mathrm{sgn} $$は...
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終了行:
/単位ベクトル
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* 大きさ・向きの分離 [#b0774116]
;,単位ベクトルとは、長さが$$ 1 $$のベクトルである。
;,任意のベクトル$$ \:a $$に対し、大きさは$$ | \:a | $$で...
;,これを利用すれば、$$ \:a $$を&font(#04D,b){大きさ};と&f...
#ceq(e)
$$ \:a $ = $ \iro[ao]{|\:a|} $ \iro[md]{\ffd{\:a}{|\:...
#ceq(end)
;,単位ベクトルの表記法として、既にハットマークを用いた$$ ...
((一部の教科書や[[Wikipedia/単位ベクトル>http://ja.wikipe...
;,しかし、このハット記法は主に基底や単位法線ベクトルなど...
;,字面的にも$$ \:a + \:b $$や$$ \:\nabla f $$のような式の...
;,そこで、凌宮数学では、単位ベクトルを「$$ \:1 $$」と表記...
;,単位ベクトルが大きさ$$ 1 $$のベクトルであるため、太字の...
;,表記の自由度を高めるため、任意のベクトル$$ \:a $$に対し...
+ ''添字表記''$$ \:1_\:a $$: 単位ベクトル自体を表す意味...
+ ''関数表記''$$ \:1(\:a) $$: 単位ベクトルを求める演算を...
特に関数表記は、長い式に対する単位ベクトルの表記に便利: ...
;,以上より、ベクトル$$ \:a $$と同じ向きの方向ベクトルを$$...
;,この上、通常は零ベクトルの単位ベクトルを考えないが、$$ ...
;,零ベクトルを含めた任意ベクトルの大きさ・向きの分離表記...
#ceq(e)
$$ \:a $ = $ \iro[ao]{|\:a|} $ \iro[md]{\:1_{\:a}} $$
#ceq(end)
%bodynote
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* 単位ベクトル記号の用例 [#s127d3f0]
以下に単位ベクトルを用例について考えてみる。
中には、通常はワザワザ単位ベクトルであることを示さないも...
「1」っぽく書いて初めて気づくのであれば、この「$$ \:1 $$...
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*** 通常のベクトル(既出) [#ab8adbe5]
$$ x $$、$$ y $$、$$ z $$座標系の単位ベクトルは、添字表記...
;:任意のベクトル$$ \:a $$に対し、単位方向ベクトルを$$ \:1...
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*** 実数 [#q37d2398]
実数は$$ 1 $$を基底とする1次元ベクトルと見なせる。
このため、任意のスカラー$$ s $$の単位ベクトルを$$ \:1(s) ...
$$ s $$は正の数$$ p > 0 $$なら、$$ \:1(p) $ \equiv $ \:1_...
$$ s $$は負の数$$ m < 0 $$なら、$$ \:1(m) $ \equiv $ \:1_...
$$ -1 $$もまた立派な単位ベクトルである。
また、この結果から、実数では$$ \:1 $$で符号を表せるのが分...
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*** 複素数 [#xb7d6c84]
複素数では$$ 1 $$と虚数単位$$ \:i $$を基底とするベクトル...
このため、任意の複素数$$ \alpha $$に対し、$$ \:1(\alpha) ...
この定義に従えば、$$ \:1(\alpha) $$は虚数平面上の単位円上...
値としては、$$ \alpha $$の極形式を$$ \lambda e^{\:i \thet...
特殊な単位ベクトルとして、実数にあった$$ \:1_1 $$と$$ \:1...
虚数単位$$ \:1_{i} $ = $ \:i $$とその逆である$$ \:1_{-i} ...
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* 符号関数 $$ \mathrm{sgn} $$ [#cc1ae42d]
実数の例で符号の話が出てきたが、符号を表す符号関数なるも...
実数$$ x $$に対し、符号関数は$$ \mathrm{sgn} $ a $ = $$
$$
\Bigg\{
\begin{array}{rcc}
1 & : & a > 0
\\ 0 & : & a = 0
\\ -1 & : & a < 0
\end{array}
$$
として定義される。
また、複素数に拡張した場合、$$ \mathrm{sgn} $ \alpha $ = $$
$$
\bigg\{
\begin{array}{ccc}
\ffd{\alpha}{|\alpha|} & : & \alpha \neq 0
\\ 0 & : & \alpha = 0 \ffdstrut
\end{array}
$$
となる。
この複素数の定義は実数の定義を含む。
ここで、複素数の定義は$$ \:1 $$の定義と一致しているのが分...
したがって、複素数に対し、$$ \:1 $$と$$ \mathrm{sgn} $$は...
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