定数係数1階線形常微分方程式
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* 凌宮読取術:$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$ ⇒ $$ (D +...
;,定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式は次のよう...
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-ax...
#ceq(end)
;,定数係数の1階線形常微分方程式は微分で定義される多くの...
;,「変数分離法&定数変化法」
((EMANの物理学>物理数学>微分方程式>一階線形微分方程式: h...
;,変数分離法と定数変化法では解けることができても、直観的...
;,その上、高階の方程式を解くのに1階の解が多用されるため...
;,例えば$$ D $ \equiv $ \ddd{}{x} $$とする演算子法では、...
((EMANの物理学>物理数学>微分方程式>演算子法: http://home...
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#ceq(e)
$$ (D+a) $ y $ = $ R $$ ⇔ $$ y $ = $ (D+a)^{-1} $ R $...
#ceq(end)
;,これに対し、凌宮数学では直観を重視する演算子法を拡張し、
;,指数変換演算子$$ E_a $$を導入して、$$ (D+a) $$の$$ +a $...
;,高階の常微分方程式に繋げやすい解法を与える。
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
⇔ $$ (D + a) $ y $ = R $$
#ceq(e)
⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
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*定数係数1階線形常微分演算子$$ (D+a) $$の分解表記 [#nbcd...
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** $$ D $$の逆演算子 [#j29605dc]
;,一般に、微分$$ D $ y $ = $ R $$に対し、不定積分$$ y $ =...
;,このため、微分演算$$ D $$の逆演算$$ D^{-1} $$は不定積分...
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** $$ (D+a)^{-1} $$の分解表記 [#pa5233d4]
;,定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式の積分を$$ ...
#ceq(e)
$$ y $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} $ D^{-1} $ (\iro[ao]{e^{ax...
#ceq(end)
;,このため、$$ D+a $$の逆演算子である$$ (D+a)^{-1} $$は形...
#ceq(e)
$$ (D+a)^{-1} $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} $ D^{-1} $ (\iro[...
#ceq(end)
;,問題は、$$ \ast $$と書いている箇所に$$ R $$が入るが、こ...
;,$$ D^{-1} $$は$$ e^{ax} $$と$$ \ast $$の両方に掛かるが...
;,このため、積分対象を簡潔にかつ正しく記述するには、$$ e^...
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** 指数変換演算子: $$ E_a $ = $ e^{ax} $$ [#e855e482]
;,$$ E_a $ = $ e^{ax} $$と指数変換演算子を定義すると、
;,$$ E_a $$は必ず何かに作用し、$$ D^{-1} $ E_a $$だけで$$...
;,$$ E_a $$を使えば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E...
#ceq(e)
$$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_{-a}} $ D^{-1} $ \iro[...
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;,さらに、$$ E_a $$は$$ e^{ax} $$の掛算であるため、逆演算...
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$$ E_a^{-1} $ = $ (e^{ax})^{-1} $ = $ e^{-ax} $ = $ E_{...
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これを利用すれば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{a...
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$$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \ir...
#ceq(end)
;,意味は、$$ E_a $$で''指数変換''してから、''積分''して、...
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** $$ (D+a) $$の分解表記 [#x6916144]
;,$$ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $$の逆演算を取ると、$$ (D+a)...
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$$ ( $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ )^{-1} $$
#ceq(e)
= $$ (E_a)^{-1} $ (D^{-1})^{-1} $ (E_a^{-1})^{-1} $$
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チェーンの逆演算は、各演算子の逆演算を逆順に並び
(($$FGx=y$$を纏めて飛ばすと$$x=(FG)^{-1}y $$になるが、1...
#ceq(e)
= $$ E_a^{-1} $ D $ E_a $$
#ceq(a)
逆演算の逆演算は正演算
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;,意味は、$$ E_a $$で''指数変換''してから、''微分''し、''...
;,ポイントは$$ D^{-1} $$が正演算に戻るだけで、$$ E_a^{-1}...
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$$ (D+a)^{\phantom{+1}} $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{\...
#ceq(a)
指数変換→微分→逆変換
#ceq(e)
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指数変換→積分→逆変換
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* 計算例 [#r56dac57]
;,以上を纏めると、演算子分解法を使えば、定数係数1階数線...
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$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
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⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
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式1:常微分演算子表記
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⇔ $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
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式2:定数係数1階線形常微分演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D $ \iro[ao]{E_a} $ y $ = $ R...
#ceq(a)
式3:演算子分解
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⇔ $$ y $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a...
#ceq(a)
式4:逆演算子表記
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⇔ $$ y $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} \!\!\int\!\! \iro[ao]{e^...
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式5:通常表記に復元
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* 演算子分解法に基づく、定数係数1階線形常微分方程式の解...
上記式3を式4に書き換える途中、先頭の$$ E_a^{-1} $$だけ...
#ceq(e)
$$ (D+a) $ y $ = $ R $$
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式2
#ceq(e)
⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
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式3’:$$ E_a^{-1} $$のみを逆演算子に書き換えた状態
#ceq(end)
;,式2と式3'を見比べれば、
;.$$ y $$と$$ R $$に関する''定数係数1階線形常微方程式は...
;,''指数変換を施した''$$ E_a $ y $$と$$ E_a $ R $$に関す...
この考え方に基づくと、解答は次のように変る。
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
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⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
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式1:常微分演算子表記
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式2:定数係数1階線形常微分演算子表記
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⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
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式3’:定数係数無しの微分方程式に読み替え
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ R $$
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* まとめ・つなぎ [#k10d2cbf]
;,$$ D $ = $ \ddd{}{x} $$と置けば1階線形常微分方程式を$$...
;,その先、$$ (D+a)^{-1} $ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax}...
;,段階的に$$ E_a^{-1} $ D $ E_a $ y $ = $ R $$と分解して...
;,$$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$と両辺の指数変換$$ E_a $...
;,$$ D+a $$に対し$$ E_a $$と$$ D $$しか登場しなければ、$$...
;,小さいことではあるが、片方に付くが他方に付かない「-1」...
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* 凌宮読取術:$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$ ⇒ $$ (D +...
;,定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式は次のよう...
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$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-ax...
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;,定数係数の1階線形常微分方程式は微分で定義される多くの...
;,「変数分離法&定数変化法」
((EMANの物理学>物理数学>微分方程式>一階線形微分方程式: h...
;,変数分離法と定数変化法では解けることができても、直観的...
;,その上、高階の方程式を解くのに1階の解が多用されるため...
;,例えば$$ D $ \equiv $ \ddd{}{x} $$とする演算子法では、...
((EMANの物理学>物理数学>微分方程式>演算子法: http://home...
:
#ceq(e)
$$ (D+a) $ y $ = $ R $$ ⇔ $$ y $ = $ (D+a)^{-1} $ R $...
#ceq(end)
;,これに対し、凌宮数学では直観を重視する演算子法を拡張し、
;,指数変換演算子$$ E_a $$を導入して、$$ (D+a) $$の$$ +a $...
;,高階の常微分方程式に繋げやすい解法を与える。
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$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
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⇔ $$ (D + a) $ y $ = R $$
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⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
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*定数係数1階線形常微分演算子$$ (D+a) $$の分解表記 [#nbcd...
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** $$ D $$の逆演算子 [#j29605dc]
;,一般に、微分$$ D $ y $ = $ R $$に対し、不定積分$$ y $ =...
;,このため、微分演算$$ D $$の逆演算$$ D^{-1} $$は不定積分...
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** $$ (D+a)^{-1} $$の分解表記 [#pa5233d4]
;,定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式の積分を$$ ...
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$$ y $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} $ D^{-1} $ (\iro[ao]{e^{ax...
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;,このため、$$ D+a $$の逆演算子である$$ (D+a)^{-1} $$は形...
#ceq(e)
$$ (D+a)^{-1} $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} $ D^{-1} $ (\iro[...
#ceq(end)
;,問題は、$$ \ast $$と書いている箇所に$$ R $$が入るが、こ...
;,$$ D^{-1} $$は$$ e^{ax} $$と$$ \ast $$の両方に掛かるが...
;,このため、積分対象を簡潔にかつ正しく記述するには、$$ e^...
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** 指数変換演算子: $$ E_a $ = $ e^{ax} $$ [#e855e482]
;,$$ E_a $ = $ e^{ax} $$と指数変換演算子を定義すると、
;,$$ E_a $$は必ず何かに作用し、$$ D^{-1} $ E_a $$だけで$$...
;,$$ E_a $$を使えば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E...
#ceq(e)
$$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_{-a}} $ D^{-1} $ \iro[...
#ceq(end)
;,さらに、$$ E_a $$は$$ e^{ax} $$の掛算であるため、逆演算...
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$$ E_a^{-1} $ = $ (e^{ax})^{-1} $ = $ e^{-ax} $ = $ E_{...
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これを利用すれば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{a...
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$$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \ir...
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;,意味は、$$ E_a $$で''指数変換''してから、''積分''して、...
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$$ ( $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ )^{-1} $$
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= $$ (E_a)^{-1} $ (D^{-1})^{-1} $ (E_a^{-1})^{-1} $$
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チェーンの逆演算は、各演算子の逆演算を逆順に並び
(($$FGx=y$$を纏めて飛ばすと$$x=(FG)^{-1}y $$になるが、1...
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= $$ E_a^{-1} $ D $ E_a $$
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逆演算の逆演算は正演算
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;,意味は、$$ E_a $$で''指数変換''してから、''微分''し、''...
;,ポイントは$$ D^{-1} $$が正演算に戻るだけで、$$ E_a^{-1}...
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$$ (D+a)^{\phantom{+1}} $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{\...
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指数変換→微分→逆変換
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指数変換→積分→逆変換
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* 計算例 [#r56dac57]
;,以上を纏めると、演算子分解法を使えば、定数係数1階数線...
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$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
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⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
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式1:常微分演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
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式2:定数係数1階線形常微分演算子表記
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⇔ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D $ \iro[ao]{E_a} $ y $ = $ R...
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式3:演算子分解
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⇔ $$ y $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a...
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式4:逆演算子表記
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式5:通常表記に復元
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* 演算子分解法に基づく、定数係数1階線形常微分方程式の解...
上記式3を式4に書き換える途中、先頭の$$ E_a^{-1} $$だけ...
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$$ (D+a) $ y $ = $ R $$
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式2
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⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
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式3’:$$ E_a^{-1} $$のみを逆演算子に書き換えた状態
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;,式2と式3'を見比べれば、
;.$$ y $$と$$ R $$に関する''定数係数1階線形常微方程式は...
;,''指数変換を施した''$$ E_a $ y $$と$$ E_a $ R $$に関す...
この考え方に基づくと、解答は次のように変る。
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$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
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式2:定数係数1階線形常微分演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
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式3’:定数係数無しの微分方程式に読み替え
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⇔ $$ y $ = $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ R $$
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⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} \!\!\int\!\! e^{ax} $ R $ dx $$
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* まとめ・つなぎ [#k10d2cbf]
;,$$ D $ = $ \ddd{}{x} $$と置けば1階線形常微分方程式を$$...
;,その先、$$ (D+a)^{-1} $ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax}...
;,段階的に$$ E_a^{-1} $ D $ E_a $ y $ = $ R $$と分解して...
;,$$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$と両辺の指数変換$$ E_a $...
;,$$ D+a $$に対し$$ E_a $$と$$ D $$しか登場しなければ、$$...
;,小さいことではあるが、片方に付くが他方に付かない「-1」...
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