定数係数2階線形常微分方程式
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* 凌宮読取術:$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ a\ddd{y}{x} $ + $ b...
;,定数係数の2階線形常微分方程式は運動力学や電磁気学で支...
;,「特性方程式((EMANの物理学/物理数学/定数係数2階線形同次...
&定数変化法((EMANの物理学/物理数学/定数係数線形非同次...
または、
「特性方程式((Matsuda's Web Page/(高専生のための)微分...
&未定係数法((Matsuda's Web Page/(高専生のための)微分...
など、
;,いわゆる定番な解法が大学入学早々叩き込まれる。
;,問題は、この方法は「解のパターンが分かる前提で答えを組...
((反面、これらの手法は積分を飛ばすために非常に速い。テ...
;,および、場合分けが複雑で一から覚える知識が多いことで、...
;,一応それぞれの背後には大きな理論があるものの、短時間に...
;,これに対し、凌宮数学では、高校で習う因数分解を利用して...
;,直前に習うはずの1階線形常微分方程式に還元して解く方法...
#ceq(e)
$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ a $ \ddd{y}{x} $ + $ b $ y $ ...
#ceq(e)
⇒$$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ a\ddd{}{x} $ + $ b $...
#ceq(a)
2階線形常微分演算子化
#ceq(e)
⇒ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \alpha $ \bigg) $ \bigg...
#ceq(a)
2つの1階線形常微分演算子に分解
#ceq(e)
⇒ $$ \begin{cases} \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) g = f...
#ceq(a)
2つの1階線形常微分方程式に分離
#ceq(end)
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* 線形常微分演算の因数分解 [#t3af9f02]
最初の読み替えから演算子部を取り出すと、因数分解した形の...
#ceq(e)
$$ \ddd{^2}{x^2} $ + $ a\ddd{}{x} $ + $ b $$ ⇒ $$ \Bi...
#ceq(end)
読み替えが可能な理由は常微分の線形性によるが、右側の展開...
#ceq(e)
$$ \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) $ \Big(\ddd{}{x} + \b...
#ceq(e)
= $$ \Big(\ddd{}{x}\Big)^2 $ + $ \alpha $ \ddd{}{x} ...
#ceq(a)
$$ \beta $$が定数係数であるため、$$ \beta $$と$$ \ddd...
((逆に言うと、定数と常微分の可換性を利用しているため...
#ceq(e)
= $$ \ddd{^2}{x^2} $ + $ (\alpha + \beta) $ \ddd{}{x...
#ceq(e)
⇒ $$ \ddd{^2}{x^2} $ + $ a $ \ddd{}{x} $ + $ b $$
#ceq(a)
$$ a $ \equiv $ \alpha $ + $ \beta $$、$$ b $ \equiv ...
#ceq(end)
//;,ここで、重要なのは$$ a $ = $ \alpha + \beta $$かつ$$ ...
//;,山勘で因数分解が出来ない場合でも、$$ \lambda $$につい...
// ((この$$ \alpha^2 $ - $ a $ \alpha $ + b $ = $ 0 $$は...
//;,$$ b $ \equiv $ \alpha $ \beta $$より$$ \beta $ = $ \...
// $$ a $ \equiv $ \alpha + \beta $$に代入して$$ a $ = $...
// 分母を払って$$ a\alpha $ = $ \alpha^2 $ + $ b $$。
// 移行して$$ \alpha^2 $ - $ a $ \alpha $ + $ b $ = 0 $$。
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* 連立1階線形常微分方程式 [#t23de4a5]
;,因数分解形から連立一階形への変形は、$$ \Big(\ddd{}{x} +...
;,そうすれば、置き換えられた式も、置く$$ g $$の定義式自体...
#ceq(e)
$$ \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) $ \iro[ao]{\Big(\ddd{...
⇒ $$ \begin{cases} \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big...
#ceq(end)
;,実際、連立も名ばかりのもので、上の式に$$ y $$が無いため...
* 解の公式 [#a939cf77]
;,1階線形常微分の解より、連立した2式の解はそれぞれ次の...
#ceq(e)
$$ \Big( $ \ddd{}{x} $ + $ \alpha $ \Big) $ g $ = $ f...
#ceq(e)
$$ \Big( $ \ddd{}{x} $ + $ \beta $ \Big) $ y $ = $ g...
#ceq(end)
;,下式を上式に代入して$$ g $$を消せば、解の統一公式が得ら...
#ceq(e)
''統一公式'': $$ f $ = $ e^{-{\alpha}x} \!\!\int\!\!...
#ceq(end)
;,この公式を解けば、2つの不定積分で計2つの積分定数が現...
;,定番の解法に対する最大の特徴は、場合分けが一切なく、一...
;,このため、定番解法に比べると、覚える内容が激減する。
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* 適応例【執筆中】 [#b7f8b8ca]
以下に、積和形の公式と定番手法の場合分けの対応例を示す。
- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $...
- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $...
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- [[./@memo]]
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* 凌宮読取術:$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ a\ddd{y}{x} $ + $ b...
;,定数係数の2階線形常微分方程式は運動力学や電磁気学で支...
;,「特性方程式((EMANの物理学/物理数学/定数係数2階線形同次...
&定数変化法((EMANの物理学/物理数学/定数係数線形非同次...
または、
「特性方程式((Matsuda's Web Page/(高専生のための)微分...
&未定係数法((Matsuda's Web Page/(高専生のための)微分...
など、
;,いわゆる定番な解法が大学入学早々叩き込まれる。
;,問題は、この方法は「解のパターンが分かる前提で答えを組...
((反面、これらの手法は積分を飛ばすために非常に速い。テ...
;,および、場合分けが複雑で一から覚える知識が多いことで、...
;,一応それぞれの背後には大きな理論があるものの、短時間に...
;,これに対し、凌宮数学では、高校で習う因数分解を利用して...
;,直前に習うはずの1階線形常微分方程式に還元して解く方法...
#ceq(e)
$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ a $ \ddd{y}{x} $ + $ b $ y $ ...
#ceq(e)
⇒$$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ a\ddd{}{x} $ + $ b $...
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2階線形常微分演算子化
#ceq(e)
⇒ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \alpha $ \bigg) $ \bigg...
#ceq(a)
2つの1階線形常微分演算子に分解
#ceq(e)
⇒ $$ \begin{cases} \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) g = f...
#ceq(a)
2つの1階線形常微分方程式に分離
#ceq(end)
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* 線形常微分演算の因数分解 [#t3af9f02]
最初の読み替えから演算子部を取り出すと、因数分解した形の...
#ceq(e)
$$ \ddd{^2}{x^2} $ + $ a\ddd{}{x} $ + $ b $$ ⇒ $$ \Bi...
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読み替えが可能な理由は常微分の線形性によるが、右側の展開...
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$$ \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) $ \Big(\ddd{}{x} + \b...
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= $$ \Big(\ddd{}{x}\Big)^2 $ + $ \alpha $ \ddd{}{x} ...
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$$ \beta $$が定数係数であるため、$$ \beta $$と$$ \ddd...
((逆に言うと、定数と常微分の可換性を利用しているため...
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= $$ \ddd{^2}{x^2} $ + $ (\alpha + \beta) $ \ddd{}{x...
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$$ a $ \equiv $ \alpha $ + $ \beta $$、$$ b $ \equiv ...
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//;,ここで、重要なのは$$ a $ = $ \alpha + \beta $$かつ$$ ...
//;,山勘で因数分解が出来ない場合でも、$$ \lambda $$につい...
// ((この$$ \alpha^2 $ - $ a $ \alpha $ + b $ = $ 0 $$は...
//;,$$ b $ \equiv $ \alpha $ \beta $$より$$ \beta $ = $ \...
// $$ a $ \equiv $ \alpha + \beta $$に代入して$$ a $ = $...
// 分母を払って$$ a\alpha $ = $ \alpha^2 $ + $ b $$。
// 移行して$$ \alpha^2 $ - $ a $ \alpha $ + $ b $ = 0 $$。
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* 連立1階線形常微分方程式 [#t23de4a5]
;,因数分解形から連立一階形への変形は、$$ \Big(\ddd{}{x} +...
;,そうすれば、置き換えられた式も、置く$$ g $$の定義式自体...
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$$ \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) $ \iro[ao]{\Big(\ddd{...
⇒ $$ \begin{cases} \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big...
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;,実際、連立も名ばかりのもので、上の式に$$ y $$が無いため...
* 解の公式 [#a939cf77]
;,1階線形常微分の解より、連立した2式の解はそれぞれ次の...
#ceq(e)
$$ \Big( $ \ddd{}{x} $ + $ \alpha $ \Big) $ g $ = $ f...
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''統一公式'': $$ f $ = $ e^{-{\alpha}x} \!\!\int\!\!...
#ceq(end)
;,この公式を解けば、2つの不定積分で計2つの積分定数が現...
;,定番の解法に対する最大の特徴は、場合分けが一切なく、一...
;,このため、定番解法に比べると、覚える内容が激減する。
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* 適応例【執筆中】 [#b7f8b8ca]
以下に、積和形の公式と定番手法の場合分けの対応例を示す。
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xu基底系.png
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xu座標系.png
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Ax(BxC).png
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Ax(BxC)+-.png
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原子半径の温度変化.jpg
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密度の温度変化.jpg
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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根号式.png
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分数式.png
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
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ベクトル除算.png
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立方体.jpg
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中2文教P12図.PNG
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ffd_p_q_2d.gif
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1cosIsinMap.png
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微小座標系.png
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