定数係数2階線形常微分方程式/Dx43y=-3
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* 【執筆中】$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ ...
** 固有値が実数2つ、同次形で共鳴 [#r90b0b40]
#ceq(e)
$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ ...
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $...
#ceq(a)
式1: 線形常微分演算子化
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ \bigg( $ \...
#ceq(a)
式2: 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg)^{\!\...
#ceq(a)
式3: 逆演算子表記
((演算子$$ AB $$の逆演算子は一般的に$$ (AB)^{-1} $ = ...
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-x} \!\!\!\int\!\! e^{x} $ \cdot $ e^...
#ceq(a)
式4: 逆演算子を積分に置換
((1階線形常微分方程式の解を利用:$$ \ddd{y}{x} $ + $...
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \int $ dx^2 $$
#ceq(a)
式5: 2階の積分式
#ceq(end)
;,以下からは具体的な積分計算が始まる。
#ceq(e)
$$ y $ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \int $ dx^2 $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \bigg[ $ x $ + $ C...
#ceq(e)
$$ = $ e^{-x} $ \int $ \bigg( $ x $ e^{-2x} $ \ + $...
#ceq(a)
式6: 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数
((積分定数は最後に書くのが普通だが、微分方程式では任...
(($$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$の計算は補足を参...
#ceq(e)
$$ = $ e^{-x} $ \bigg[ $ \ffd{1}{-2} $ x $ e^{-2x} ...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{-2} $ x $ e^{-3x} $ + $ \bigg( \ffd{...
#ceq(a)
式7: 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数
#ceq(end)
;,ここで、$$ c_1 $ = $ \bigg( \ffd{1}{4} - \ffd{C_1}{2} \...
#ceq(e)
$$ y $ = $ -\ffd{1}{2}x $ e^{-3x} $ + $ c_1 $ e^{-3x} ...
#ceq(a)
式8: 積和形の一般解
#ceq(end)
%bodynote
** 補足$$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$の計算 [#u0ffc3...
#ceq(e)
$$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ \int $ x $ \ddd{(e^{\lambda...
#ceq(a)
部分積分:$$ \int $ e^{\lambda x} $ dx $ = $ \ffd{1}{...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ \int $ \bigg( $ \ddd{(xe^{\...
#ceq(a)
$$ \ddd{(fg)}{x} $ = $ \ddd{f}{x} $ g $ + $ f $ \ddd{...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ x $ e^{\lambda x} - $ \ffd{...
#ceq(a)
積分実行、$$ C $$は積分定数
#ceq(end)
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* つなぎ [#ec86a775]
- [[定数係数2階線形常微分方程式]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} ...
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* 【執筆中】$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ ...
** 固有値が実数2つ、同次形で共鳴 [#r90b0b40]
#ceq(e)
$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ ...
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $...
#ceq(a)
式1: 線形常微分演算子化
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ \bigg( $ \...
#ceq(a)
式2: 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg)^{\!\...
#ceq(a)
式3: 逆演算子表記
((演算子$$ AB $$の逆演算子は一般的に$$ (AB)^{-1} $ = ...
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-x} \!\!\!\int\!\! e^{x} $ \cdot $ e^...
#ceq(a)
式4: 逆演算子を積分に置換
((1階線形常微分方程式の解を利用:$$ \ddd{y}{x} $ + $...
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \int $ dx^2 $$
#ceq(a)
式5: 2階の積分式
#ceq(end)
;,以下からは具体的な積分計算が始まる。
#ceq(e)
$$ y $ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \int $ dx^2 $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \bigg[ $ x $ + $ C...
#ceq(e)
$$ = $ e^{-x} $ \int $ \bigg( $ x $ e^{-2x} $ \ + $...
#ceq(a)
式6: 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数
((積分定数は最後に書くのが普通だが、微分方程式では任...
(($$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$の計算は補足を参...
#ceq(e)
$$ = $ e^{-x} $ \bigg[ $ \ffd{1}{-2} $ x $ e^{-2x} ...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{-2} $ x $ e^{-3x} $ + $ \bigg( \ffd{...
#ceq(a)
式7: 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数
#ceq(end)
;,ここで、$$ c_1 $ = $ \bigg( \ffd{1}{4} - \ffd{C_1}{2} \...
#ceq(e)
$$ y $ = $ -\ffd{1}{2}x $ e^{-3x} $ + $ c_1 $ e^{-3x} ...
#ceq(a)
式8: 積和形の一般解
#ceq(end)
%bodynote
** 補足$$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$の計算 [#u0ffc3...
#ceq(e)
$$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ \int $ x $ \ddd{(e^{\lambda...
#ceq(a)
部分積分:$$ \int $ e^{\lambda x} $ dx $ = $ \ffd{1}{...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ \int $ \bigg( $ \ddd{(xe^{\...
#ceq(a)
$$ \ddd{(fg)}{x} $ = $ \ddd{f}{x} $ g $ + $ f $ \ddd{...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ x $ e^{\lambda x} - $ \ffd{...
#ceq(a)
積分実行、$$ C $$は積分定数
#ceq(end)
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* つなぎ [#ec86a775]
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