定数係数4階線形常微分方程式
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開始行:
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* $$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \d...
** 固有値が重根1つ、虚根2つ、非同次形、非共鳴 [#l48e5801]
;,[[定数係数2階線形常微分方程式]]の考え方は、定数係数4...
#ceq(e)
$$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ +...
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3}{x^3} $...
#ceq(a)
式1: 線形常微分演算子化
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bi...
#ceq(a)
式2: 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg)^{\!-...
#ceq(a)
式3: 逆演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ \bigg( $ e^{-\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{\:ix}...
#ceq(a)
式4: 逆演算子を積分に置換
((1階線形常微分方程式の解を利用:$$ \ddd{y}{x} $ + $...
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
#ceq(a)
式5: 4回の逐次積分
#ceq(d)
%bodynote
;,以下からは具体的な積分計算が始まる。$$ C_\ast $$は全て...
#ceq(e)
$$ y_1 $ = $ \int\! e^{x} $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{x} $ + $ C_1 $$
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_2 $ = $ \int\! $ y_1 $ dx $ = $ \int\! $ \bigg( ...
#ceq(e)
$$ = $ e^{x}$ + $ C_1 $ x $ + $ C_2 $$
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_3 $ = $ \int\! $ e^{x-\:ix} $ y_2 $ dx $ = $ \in...
#ceq(e)
$$ = $ \int\! $ \bigg( $ e^{2x-\:ix} $ + $ C_1 $ ...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd1{2-\:i} $ e^{2x-\:ix} $ + $ \ffd{C_1}...
| ((部分積分により $$ \int $ xe^{ax} $ dx $ = $ \ff...
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_4 $ = $ \int\! $ e^{2\:ix} $ y_3 $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ \int\! $ e^{2\:ix} $ \bigg( $ \ffd1{2-\:i}...
#ceq(e)
$$ = $ \int\! $ \bigg( $ \ffd1{2-\:i} $ e^{2x+\:i...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd1{(2-\:i)(2+\:i)} $ e^{2x+\:ix} $ + $ ...
&br; $$ - $ \ffd{C_1}{(1-\:i)^2(1+\:i)} $ e^{x...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ ...
$$ - $ \ffd{C_1}{2(1-\:i)} $ e^{x+\:ix} $ + $ \ff...
#ceq(a)
(($$ (1-i)(1-i)=2 $$、$$ (2-i)(2-i)=5 $$))
#ceq(e)
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ ...
$$ + $ \ffd{C_2}{2} $ e^{x+\:ix} + $ \ffd{C_3}{2\...
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(($$ \ffd1{(1-i)} + \ffd1{(1-i)} = \ffd{(1-i) + (1+i)...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ ...
$$ + $ \ffd{C_2-C_1}{2} $ e^{x+\:ix} + $ \ffd{C_3...
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_{\phantom0} $ = $ e^{-\:ix} $ y_4 $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{-\:ix} $ \bigg( $ \ffd15 $ e^{2x+\:ix} ...
$$ + $ \ffd{C_2-C_1}{2} $ e^{x+\:ix} + $ \ffd{C_3...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ x $ e...
$$ + $ \ffd{C_2-C_1}{2} $ e^{x} + $ \ffd{C_3}{2\:...
#ceq(d)
$$ c_1 $ = $ \ffd{C_1}{2} $$、$$ c_2 $ = $ \ffd{C_2 - C_1...
#ceq(e)
$$ y $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_...
$$ + $ c_3 $ e^{\:ix} $ + $ c_4 $ e^{-\:ix} $$
#ceq(a)
複素関数解
#ceq(d)
%bodynote
さらに解集合を実係数に限定したければ、$$ c_3 $ e^{\:ix} $...
#ceq(e)
$$ c_3 $ e^{\:ix} $ + $ c_4 $ e^{-\:ix} $$
#ceq(e)
$$ = $ c_3 $ ( $ \cos $ x $ + $ \:i $ \sin $ x $ ) $ ...
#ceq(a)
((オイラーの公式:$$ e^{\:i\theta} $ = $ \cos $ \thet...
#ceq(e)
$$ = $ ( $ c_3 $ + $ c_4 $ ) $ \cos $ x $ + $ ( $ c_3...
#ceq(d)
改めて$$ c_c $ = $ c_3 $ + $ c_4 $$、$$ c_s $ = $ ( $ c_3...
#ceq(e)
$$ y $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_...
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(a)
実関数解
#ceq(d)
%bodynote
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** 検算 [#ve0779b1]
#ceq(e)
$$ y $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_...
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(d)
;,より、
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x}\;$$
$$ = $ \ffd25 $ e^{2x} $ + $ \;\, $ c_1 $ e^{x} $ + $...
$$ - $ c_c $ \sin $ x $ + $ c_s $ \cos $ x $$
#ceq(e)
$$ \ddd{^2y}{x^2} $$
$$ = $ \ffd45 $ e^{2x} $ + $ 2 $ c_1 $ e^{x} $ + $ c_...
$$ - $ c_c $ \cos $ x $ - $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(e)
$$ \ddd{^3y}{x^3} $$
$$ = $ \ffd85 $ e^{2x} $ + $ 3 $ c_1 $ e^{x} $ + $ c_...
$$ + $ c_c $ \sin $ x $ - $ c_s $ \cos $ x $$
#ceq(e)
$$ \ddd{^4y}{x^4} $$
$$ = $ \ffd{16}5 $ e^{2x} $ + $ 4 $ c_1 $ e^{x} $ + $...
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(d)
;,与式の左辺に代入すると、
#ceq(e)
$$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ ...
#ceq(e)
$$ = $ \bigg( $ \ffd{16}5 $ - $ 2 $ \times $ \ffd85 $...
&br;$$ + $ \bigg( $ \cancelto{\!\!\!-\bcancel{2}}{4 \,-\,...
&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{1-2+2-2+1} $ \bigg) $ c_1 $ x...
&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{1-2+2-2+1} $ \bigg) $ c_2 $ e...
&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{c_c + 2 c_s - 2 c_c - 2 c_s +...
&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{c_s - 2 c_c - 2 c_s + 2 c_c +...
//&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{c_c} $ + $ 2 $ c_s $ - $ 2 ...
//&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{c_s} $ - $ 2 $ c_c $ - $ 2 ...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{\cancel{16-16}+\cancelto{\bcancel{\,5\,}}...
#ceq(e)
$$ = $ e^{2x} $$
#ceq(d)
変数に依らずに右辺に一致するため、得られた解は全て与式を...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 簡略化した演算子法 [#n056f9fb]
;,演算子法では線形常微分の因子と解の基底の対応関係から、...
斉次方程式の一般解は基底と積分定数の線形結合に相当し、特...
;,具体に、&color(#C00){斉次};方程式$$ \bigg( $ \ddd{}{x} ...
- 微分因子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg) $$を持つ...
- 微分因子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^2 $$を持...
- 微分因子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)\;\;\bi...
;,このため、微分方程式を因数分解できた時点で、斉次方程式...
#ceq(e)
⇒ $$ y_* $ = $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $...
#ceq(d)
;,積分定数は一般解で考慮しているため、残る特殊解$$ y_s $$...
#ceq(e)
$$ y_s = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
#ceq(c)
// $$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
$$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
#ceq(e)
$$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
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$$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
#ceq(e)
$$ = $ e^{-\:ix} $ \ffd{1}{2-\:i} $ \cdot \!\!\in...
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$$ = $ e^{-\:ix} $ \ffd{1}{2-\:i} $ \ffd{1}{2+\:i...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{2-\:i} $ \ffd{1}{2+\:i} $ e^{2x} $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $$
#ceq(d)
;,もしくは、特殊解は右辺を基底とする項を持つ事実を利用し...
#ceq(e)
$$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3}{x^3} $ +...
#ceq(e)
$$ \bigg( $ \ffd{16}5 $ - $ 2 $ \times $ \ffd85 $ + $...
#ceq(a)
検算と同じ計算
#ceq(e)
$$ \bigg( $ \cancel{16-16} $ + $ \cancelto{5}{8-4+1\;...
#ceq(e)
$$ k $ = $ \ffd15 $$
#ceq(e)
$$ y_s $ = $ \ffd15 $ e^{2x} $$
#ceq(d)
これより非斉次方程式の一般解$$ y $$を、特殊解$$ y_s $$と...
#ceq(e)
$$ y $ = $ y_s $ + $ y_* $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_...
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(d)
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終了行:
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* $$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \d...
** 固有値が重根1つ、虚根2つ、非同次形、非共鳴 [#l48e5801]
;,[[定数係数2階線形常微分方程式]]の考え方は、定数係数4...
#ceq(e)
$$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ +...
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3}{x^3} $...
#ceq(a)
式1: 線形常微分演算子化
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bi...
#ceq(a)
式2: 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg)^{\!-...
#ceq(a)
式3: 逆演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ \bigg( $ e^{-\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{\:ix}...
#ceq(a)
式4: 逆演算子を積分に置換
((1階線形常微分方程式の解を利用:$$ \ddd{y}{x} $ + $...
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
#ceq(a)
式5: 4回の逐次積分
#ceq(d)
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;,以下からは具体的な積分計算が始まる。$$ C_\ast $$は全て...
#ceq(e)
$$ y_1 $ = $ \int\! e^{x} $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{x} $ + $ C_1 $$
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_2 $ = $ \int\! $ y_1 $ dx $ = $ \int\! $ \bigg( ...
#ceq(e)
$$ = $ e^{x}$ + $ C_1 $ x $ + $ C_2 $$
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_3 $ = $ \int\! $ e^{x-\:ix} $ y_2 $ dx $ = $ \in...
#ceq(e)
$$ = $ \int\! $ \bigg( $ e^{2x-\:ix} $ + $ C_1 $ ...
#ceq(e)
$$ = $ \ffd1{2-\:i} $ e^{2x-\:ix} $ + $ \ffd{C_1}...
| ((部分積分により $$ \int $ xe^{ax} $ dx $ = $ \ff...
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_4 $ = $ \int\! $ e^{2\:ix} $ y_3 $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ \int\! $ e^{2\:ix} $ \bigg( $ \ffd1{2-\:i}...
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$$ = $ \int\! $ \bigg( $ \ffd1{2-\:i} $ e^{2x+\:i...
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$$ = $ \ffd1{(2-\:i)(2+\:i)} $ e^{2x+\:ix} $ + $ ...
&br; $$ - $ \ffd{C_1}{(1-\:i)^2(1+\:i)} $ e^{x...
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$$ = $ \ffd15 $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ ...
$$ - $ \ffd{C_1}{2(1-\:i)} $ e^{x+\:ix} $ + $ \ff...
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(($$ (1-i)(1-i)=2 $$、$$ (2-i)(2-i)=5 $$))
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(($$ \ffd1{(1-i)} + \ffd1{(1-i)} = \ffd{(1-i) + (1+i)...
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$$ = $ \ffd15 $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ ...
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複素関数解
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さらに解集合を実係数に限定したければ、$$ c_3 $ e^{\:ix} $...
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$$ c_3 $ e^{\:ix} $ + $ c_4 $ e^{-\:ix} $$
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((オイラーの公式:$$ e^{\:i\theta} $ = $ \cos $ \thet...
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$$ = $ ( $ c_3 $ + $ c_4 $ ) $ \cos $ x $ + $ ( $ c_3...
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改めて$$ c_c $ = $ c_3 $ + $ c_4 $$、$$ c_s $ = $ ( $ c_3...
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$$ y $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_...
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
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実関数解
#ceq(d)
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** 検算 [#ve0779b1]
#ceq(e)
$$ y $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_...
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
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;,より、
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x}\;$$
$$ = $ \ffd25 $ e^{2x} $ + $ \;\, $ c_1 $ e^{x} $ + $...
$$ - $ c_c $ \sin $ x $ + $ c_s $ \cos $ x $$
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$$ \ddd{^2y}{x^2} $$
$$ = $ \ffd45 $ e^{2x} $ + $ 2 $ c_1 $ e^{x} $ + $ c_...
$$ - $ c_c $ \cos $ x $ - $ c_s $ \sin $ x $$
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$$ \ddd{^3y}{x^3} $$
$$ = $ \ffd85 $ e^{2x} $ + $ 3 $ c_1 $ e^{x} $ + $ c_...
$$ + $ c_c $ \sin $ x $ - $ c_s $ \cos $ x $$
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$$ \ddd{^4y}{x^4} $$
$$ = $ \ffd{16}5 $ e^{2x} $ + $ 4 $ c_1 $ e^{x} $ + $...
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;,与式の左辺に代入すると、
#ceq(e)
$$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ ...
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$$ = $ \bigg( $ \ffd{16}5 $ - $ 2 $ \times $ \ffd85 $...
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&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{1-2+2-2+1} $ \bigg) $ c_2 $ e...
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//&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{c_s} $ - $ 2 $ c_c $ - $ 2 ...
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$$ = $ \ffd{\cancel{16-16}+\cancelto{\bcancel{\,5\,}}...
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$$ = $ e^{2x} $$
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変数に依らずに右辺に一致するため、得られた解は全て与式を...
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* 簡略化した演算子法 [#n056f9fb]
;,演算子法では線形常微分の因子と解の基底の対応関係から、...
斉次方程式の一般解は基底と積分定数の線形結合に相当し、特...
;,具体に、&color(#C00){斉次};方程式$$ \bigg( $ \ddd{}{x} ...
- 微分因子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg) $$を持つ...
- 微分因子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^2 $$を持...
- 微分因子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)\;\;\bi...
;,このため、微分方程式を因数分解できた時点で、斉次方程式...
#ceq(e)
⇒ $$ y_* $ = $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $...
#ceq(d)
;,積分定数は一般解で考慮しているため、残る特殊解$$ y_s $$...
#ceq(e)
$$ y_s = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
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// $$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
$$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
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$$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
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$$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $...
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$$ = $ e^{-\:ix} $ \ffd{1}{2-\:i} $ \cdot \!\!\in...
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$$ = $ e^{-\:ix} $ \ffd{1}{2-\:i} $ \ffd{1}{2+\:i...
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$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $$
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;,もしくは、特殊解は右辺を基底とする項を持つ事実を利用し...
#ceq(e)
$$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3}{x^3} $ +...
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$$ \bigg( $ \ffd{16}5 $ - $ 2 $ \times $ \ffd85 $ + $...
#ceq(a)
検算と同じ計算
#ceq(e)
$$ \bigg( $ \cancel{16-16} $ + $ \cancelto{5}{8-4+1\;...
#ceq(e)
$$ k $ = $ \ffd15 $$
#ceq(e)
$$ y_s $ = $ \ffd15 $ e^{2x} $$
#ceq(d)
これより非斉次方程式の一般解$$ y $$を、特殊解$$ y_s $$と...
#ceq(e)
$$ y $ = $ y_s $ + $ y_* $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_...
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(d)
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xu基底系.png
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xu座標系.png
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2ApplePlate.png
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符号判定Ax(BxC).png
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PerpPerp.png
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BxC.png
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Ax(BxC).png
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Ax(BxC)+-.png
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原子半径の温度変化.jpg
1129件
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密度の温度変化.jpg
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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根号式.png
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分数式.png
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
500件
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ベクトル除算.png
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基底除算.png
629件
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立方体.jpg
154件
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中2文教P12図.PNG
557件
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ffd_p_q_2d.gif
310件
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ffd_p_q.gif
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