二進数の四則演算
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* もしも二進数を使ったら… [#o1062260]
- 加算は1+1=10とだけ覚えれば良い。敢えて言うなら0+0=0...
- 減算は補数と加算で済む。
- 乗算はシフトと加算で済む。
- 除算はシフトと減算で済む。
;,このように、加減乗除毎に九九が必要な十進数よりは遙かに...
;,十進数の場合、
- 加算九九は普段九九と呼ばないが、覚えさせられている: [[...
- 減算九九も普段九九と呼ばないが、覚えさせられている: [[...
- 乗算九九は、九九と言えば乗算なほど、明示的に暗唱を特訓...
- 割算九九は、割り声とも呼ばれていたが、珠算前提かつ煩雑...
;,+1や−1、×1などが簡単すぎて、または加算と乗算の対称性を...
;,それでも、数十もの計算結果を覚える必要があるのが十進数...
;,対して、二進数では精々数個の結果を覚えていれば十分。
;,残念ながらこの世界では、世界規模で十進数で標準化されて...
;,しかしながら、もしニ進数を使った場合は様々なところで、...
;,以下では、そんな二進数の世界を纏めてみる。
/////////////////////////////////////////////////////////...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 自然数と二進法 [#k7711c4b]
;,何かのモノの多さを指を丸めるか延ばすかで表そう。
;,簡単なため、指を丸めた状態を0、真っ直ぐ延ばして立てた状...
;,なお、0をゼロ、1をイチと読む。
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 無と有 [#ie7c6ac5]
- まず、Aが無い状態を指を丸めたグーで表そう。書く場合は''...
- 次に、Aが有る状態を指1本だけ立てて表そう。書く場合は''...
;,これだけでAの有無について語れる((ref: ブール代数。))が...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
** Aと同じと呼べるモノがもう1つ有る状態(AA) [#l6936b97]
;,既に定義した0とも1とも異なる状態であるので指1本の丸めと...
;,もう1本の指を一緒に使えば表せそう。
;,書く場合1だけではどの指を立てたか分からないので、指の順...
- Aが無い状態を00で書こう。
- Aが有る状態を01で書こう。
- Aがもう一つ有る状態を10で書こう。
;,00は0と全く同じ状態、01は1と全く同じ状態で、使う指の数...
;,00と01では使わない指を折っている0と1と見なすこともでき...
;,10は01と異なる状態を表していて、同じくニ本指を使うが、...
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 自然数を表す二進数 [#bdd1a308]
;,Aが10よりもう1個増やしたら両方の指を立てれば良い。つま...
;,さらにAを1個増やすと、指10本では足りないので、指を更に...
;,その次は101、110、111と続けば良い。
;,以上より、Aを1個増やして行ったときの状態と、それを表す...
|*l:表1: Aの状態と、それを表す指の状態 |<|<|<|<|h
|c: |r:l=:|r: |r: |r: |c
|*Aの状態 |*c:使う指((十進数に慣れすぎた方々へ:こ...
|^ |*1本 |*10本|*11本|*100本|
|* | 0| 00| 000| 0000|t=:
|*A | 1| 01| 001| 0001|tx:
|*AA |t.: -| 10| 010| 0010|tx:
|*AAA | -| 11| 011| 0011|tx:
|*AAAA | -| -| 100| 0100|
|*AAAAA | -| -| 101| 0101|tx:
|*AAAAAA | -| -| 110| 0110|tx:
|*AAAAAAA | -| -| 111| 0111|tx:
|*AAAAAAAA | -| -| -| 1000|
|*AAAAAAAAA | -| -| -| 1001|tx:
|*AAAAAAAAAA | -| -| -| 1010|tx:
|*AAAAAAAAAAA | -| -| -| 1011|tx:
|*AAAAAAAAAAAA | -| -| -| 1100|
|*AAAAAAAAAAAAA | -| -| -| 1101|tx:
|*AAAAAAAAAAAAAA | -| -| -| 1110|tx:
|*AAAAAAAAAAAAAAA| -| -| -| 1111|tx:
;,ここで、正確で話しやすいように便利な言葉を定義しよう。
////////////////////////////////
*** 数と表記法 [#v55cbfd8]
- Aの状態を表す指の状態を''数''(''スウ'')と呼び、
- Aの無い状態から、Aを1個ずつ増やしていく状態を表す数を''...
- 数を表すのに使う0と1を''数字''(''スウジ'')と呼ぶ。
- 数字を使って数を表す''表記''(''ヒョウキ'')と呼ぶ。
- 表記の規則を''表記法''(''ヒョウキホウ'')と呼ぶ。各表記...
- ○○法で表される表記を''○○表記''と呼ぶ。数と混同する恐れ...
////////////////////////////////
*** 位と桁 [#yb7fe74e]
- 指の位置を''桁''(''けた'')もしくは''位''(''くらい'')と...
- 桁の数を''桁数''(''けたすう'')と呼ぶ。
- 各桁を右から左に向かって、順に''第1桁''、''第10桁''、''...
- もしくは、古の習慣で順に''1の位''、''10の位''、''100の...
- 左側の位を上位(''ジョウイ'')、右側を位を下位(''カイ'')...
- 同じ数字でも位置によって異なる数を表す表記法を''位取り...
////////////////////////////////
*** 二進法 [#h21cfc76]
- 0と1だけを下位から順番に繰り返して使う位取り表記法を''1...
- 古の言葉で''二進法''(''ニ-シンホウ'')と呼ぶこともある。
- 使う桁の数に応じて、順に''1桁10進法''、''10桁10進法''、...
////////////////////////////////
** 確認問題 [#f9200739]
;,''問1:'' 次の状態を''11桁11進法''、''100桁11進法''、''1...
> AAAAAAA
%bodynote
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* 自然数の等価と無限桁二進数 [#qb64ccb2]
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 自然数の等価 [#aa6c1584]
;,1は1桁二進数、01は10桁二進数、001は11桁二進数、0001は10...
;,これらは異なる表記法に基づく異なる表記であるが、共にAと...
;,同じ数であることを''等しい''や''等価''と呼ぶ。
;,2つの数が等しいこと、2つの数を記号「=」で結んで簡単...
;,例えば、001と0001が等しいことを「001=0001」と書く。
;,3つ以上の数が互いに等しい場合、数を並べて、隣同士を「...
;,例えば、1と01と001と0001が全部等しいことを「1=01=001...
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 無限桁二進数 [#me992c72]
;,1=01=001=0001であるように、二進数の最上位から続く0を...
;,逆に、任意の二進数は、最上位の更なる上位に0がずっと続い...
;,例えば、0の数に関係無く、1=0……00000000000000000000001...
;,そこで、上位に0がずっと続く二進法を''無限桁二進法''と呼...
;,対して、桁数が決まっている特定の桁数を持つ二進法を''有...
;,表1にあるように、有限桁二進法では表せる状態が有限である...
;,そのため、以降は無限桁二進法を用いる。
;,ただし、ずっと続く0は書き切れないため、通常は最上位の0...
;,また、何も書かないのは識別できないため、0のみ、1の位に...
;,以上で定義した言葉や表記を使って表1を整理しなおすと、表...
|*l:表2: Aの状態と、Aの数|<|<|<|<|<|h
|c: |r:l=: |r: |r: |r: ...
|*Aの状態 |*c:固定桁二進法 |<|< |< ...
|^ |*c:1桁 |*c:10桁 |*c:11桁 |*100桁...
|^ | 二進法 | 二進法 | 二進法 | 二進...
|* |bg#EEF:0| 00| 000| ...
|*A |bg#EEF:1| 01| 001| ...
|*AA |t.: -|bg#EEF:10| 010| ...
|*AAA | -|bg#EEF:11| 011| ...
|*AAAA | -| -|bg#EEF:100| ...
|*AAAAA | -| -|bg#EEF:101| ...
|*AAAAAA | -| -|bg#EEF:110| ...
|*AAAAAAA | -| -|bg#EEF:111| ...
|*AAAAAAAA | -| -| -|bg#EEF...
|*AAAAAAAAA | -| -| -|bg#EEF...
|*AAAAAAAAAA | -| -| -|bg#EEF...
|*AAAAAAAAAAA | -| -| -|bg#EEF...
|*AAAAAAAAAAAA | -| -| -|bg#EEF...
|*AAAAAAAAAAAAA | -| -| -|bg#EEF...
|*AAAAAAAAAAAAAA | -| -| -|bg#EEF...
|*AAAAAAAAAAAAAAA | -| -| -|bg#EEF...
|*………………………| -| -| -| -|………|
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* 自然数の大小関係 [#j2d0d00c]
(後回し)
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/////////////////////////////////////////////////////////...
* 自然数の加法と二進法に基づく筆算 [#w2f35230]
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 自然数の加法 [#c02c48db]
;,2つのAの状態Xと状態Y、そして、XとYを合わせた状態SのAの...
;,状態X、Y、SにおけるAの数をそれぞれx、y、sと置こう。
;,以下では、とりあえずxとyを少しずつ増やしながら、状態の...
////////////////////////////////
*** xとyが0の場合 [#qaa48f3f]
|r:|r:|c:l=: |c: |c: |c:l=:|c
|*x|*y|*状態X|*状態Y|*状態S|*s |
|r:|r:|c:l=: |c: |c: |r:l=:|c
|*0|*0| | | | 0|
;,XもYもAが無い状態なので、合わせてもAが無い状態である。
////////////////////////////////
*** xとyの片方が0、もう片方が1の場合 [#pa732f3a]
|r:|r:|c:l=: |c: |c: |c:l=:|c
|*x|*y|*状態X|*状態Y|*状態S|*s |
|r:|r:|c:l=: |c: |c: |r:l=:|c
|*0|*1| | A | A | 1|
|*1|*0| A | | A | 1|
;,片方にAが無く、もう片方にAが1個だけある場合、合わせると...
////////////////////////////////
*** xとyが両方とも1の場合 [#f65d0063]
|r:|r:|c:l=: |c: |c: |c:l=:|c
|*x|*y|*状態X|*状態Y|*状態S|*s |
|r:|r:|c:l=: |c: |c: |r:l=:|c
|*1|*1| A | A | AA | 10|
;,1個のAともう1個のAを合わせることは、1個のAにもう1個のA...
;,その結果、10個のAがある状態になる。
////////////////////////////////
*** まとめ [#s2438509]
;,このように、状態の図を書けば、どんなxとyについてもsを調...
;,例えば、xとyを3桁まで増やした結果は、表3のようになる:
|*l:表3: 2つの状態を合わせた状態|<|<|<|<|<|h
|c: |c: |c:l=: |c: |c: |c:l=:|c
|*x |*y |*状態X|*状態Y|*状態Z|*z |
|r: |r: |c:l=: |c: |c: |r:l=:|c
|* 0|* 0| | | | 0 |t=:
|* 0|* 1| |A |A | 1 |tx:
|* 0|*10| |AA |AA | 10 |tx:
|* 0|*11| |AAA |AAA | 11 |tx:
|* 1|* 0|A | |A | 1 |
|* 1|* 1|A |A |AA | 10 |tx:
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|* 1|*11|A |AAA |AAAA |100 |tx:
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|*10|* 1|AA |A |AAA | 11 |tx:
|*10|*10|AA |AA |AAAA |100 |tx:
|*10|*11|AA |AAA |AAAAA |101 |tx:
|*11|* 0|AAA | |AAA | 11 |
|*11|* 1|AAA |A |AAAA |100 |tx:
|*11|*10|AAA |AA |AAAAA |101 |tx:
|*11|*11|AAA |AAA |AAAAAA|110 |tx:
;,xとy、zだけを取りだして整理すると、表4が得られる:
|*l:表4: 2つの状態を合わせた状態の数量関係|<|<|<|<|<|
|c: |c: |r:l=:|r: |r: |r: |c
|* |*y |* 0|* 1|* 10|* 11|
|*x |*z |* |< |< |< |
|r: |r: |r:l=:|r: |r: |r: |c
|* 0|* | 0| 1| 10| 11|t=:
|* 1|^ | 1| 10| 11| 100|
|* 10|^ | 10| 11| 100| 101|
|* 11|^ | 11| 100| 101| 110|
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* もしも二進数を使ったら… [#o1062260]
- 加算は1+1=10とだけ覚えれば良い。敢えて言うなら0+0=0...
- 減算は補数と加算で済む。
- 乗算はシフトと加算で済む。
- 除算はシフトと減算で済む。
;,このように、加減乗除毎に九九が必要な十進数よりは遙かに...
;,十進数の場合、
- 加算九九は普段九九と呼ばないが、覚えさせられている: [[...
- 減算九九も普段九九と呼ばないが、覚えさせられている: [[...
- 乗算九九は、九九と言えば乗算なほど、明示的に暗唱を特訓...
- 割算九九は、割り声とも呼ばれていたが、珠算前提かつ煩雑...
;,+1や−1、×1などが簡単すぎて、または加算と乗算の対称性を...
;,それでも、数十もの計算結果を覚える必要があるのが十進数...
;,対して、二進数では精々数個の結果を覚えていれば十分。
;,残念ながらこの世界では、世界規模で十進数で標準化されて...
;,しかしながら、もしニ進数を使った場合は様々なところで、...
;,以下では、そんな二進数の世界を纏めてみる。
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* 自然数と二進法 [#k7711c4b]
;,何かのモノの多さを指を丸めるか延ばすかで表そう。
;,簡単なため、指を丸めた状態を0、真っ直ぐ延ばして立てた状...
;,なお、0をゼロ、1をイチと読む。
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** 無と有 [#ie7c6ac5]
- まず、Aが無い状態を指を丸めたグーで表そう。書く場合は''...
- 次に、Aが有る状態を指1本だけ立てて表そう。書く場合は''...
;,これだけでAの有無について語れる((ref: ブール代数。))が...
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** Aと同じと呼べるモノがもう1つ有る状態(AA) [#l6936b97]
;,既に定義した0とも1とも異なる状態であるので指1本の丸めと...
;,もう1本の指を一緒に使えば表せそう。
;,書く場合1だけではどの指を立てたか分からないので、指の順...
- Aが無い状態を00で書こう。
- Aが有る状態を01で書こう。
- Aがもう一つ有る状態を10で書こう。
;,00は0と全く同じ状態、01は1と全く同じ状態で、使う指の数...
;,00と01では使わない指を折っている0と1と見なすこともでき...
;,10は01と異なる状態を表していて、同じくニ本指を使うが、...
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** 自然数を表す二進数 [#bdd1a308]
;,Aが10よりもう1個増やしたら両方の指を立てれば良い。つま...
;,さらにAを1個増やすと、指10本では足りないので、指を更に...
;,その次は101、110、111と続けば良い。
;,以上より、Aを1個増やして行ったときの状態と、それを表す...
|*l:表1: Aの状態と、それを表す指の状態 |<|<|<|<|h
|c: |r:l=:|r: |r: |r: |c
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;,ここで、正確で話しやすいように便利な言葉を定義しよう。
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*** 数と表記法 [#v55cbfd8]
- Aの状態を表す指の状態を''数''(''スウ'')と呼び、
- Aの無い状態から、Aを1個ずつ増やしていく状態を表す数を''...
- 数を表すのに使う0と1を''数字''(''スウジ'')と呼ぶ。
- 数字を使って数を表す''表記''(''ヒョウキ'')と呼ぶ。
- 表記の規則を''表記法''(''ヒョウキホウ'')と呼ぶ。各表記...
- ○○法で表される表記を''○○表記''と呼ぶ。数と混同する恐れ...
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*** 位と桁 [#yb7fe74e]
- 指の位置を''桁''(''けた'')もしくは''位''(''くらい'')と...
- 桁の数を''桁数''(''けたすう'')と呼ぶ。
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- 左側の位を上位(''ジョウイ'')、右側を位を下位(''カイ'')...
- 同じ数字でも位置によって異なる数を表す表記法を''位取り...
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*** 二進法 [#h21cfc76]
- 0と1だけを下位から順番に繰り返して使う位取り表記法を''1...
- 古の言葉で''二進法''(''ニ-シンホウ'')と呼ぶこともある。
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** 確認問題 [#f9200739]
;,''問1:'' 次の状態を''11桁11進法''、''100桁11進法''、''1...
> AAAAAAA
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* 自然数の等価と無限桁二進数 [#qb64ccb2]
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** 自然数の等価 [#aa6c1584]
;,1は1桁二進数、01は10桁二進数、001は11桁二進数、0001は10...
;,これらは異なる表記法に基づく異なる表記であるが、共にAと...
;,同じ数であることを''等しい''や''等価''と呼ぶ。
;,2つの数が等しいこと、2つの数を記号「=」で結んで簡単...
;,例えば、001と0001が等しいことを「001=0001」と書く。
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** 無限桁二進数 [#me992c72]
;,1=01=001=0001であるように、二進数の最上位から続く0を...
;,逆に、任意の二進数は、最上位の更なる上位に0がずっと続い...
;,例えば、0の数に関係無く、1=0……00000000000000000000001...
;,そこで、上位に0がずっと続く二進法を''無限桁二進法''と呼...
;,対して、桁数が決まっている特定の桁数を持つ二進法を''有...
;,表1にあるように、有限桁二進法では表せる状態が有限である...
;,そのため、以降は無限桁二進法を用いる。
;,ただし、ずっと続く0は書き切れないため、通常は最上位の0...
;,また、何も書かないのは識別できないため、0のみ、1の位に...
;,以上で定義した言葉や表記を使って表1を整理しなおすと、表...
|*l:表2: Aの状態と、Aの数|<|<|<|<|<|h
|c: |r:l=: |r: |r: |r: ...
|*Aの状態 |*c:固定桁二進法 |<|< |< ...
|^ |*c:1桁 |*c:10桁 |*c:11桁 |*100桁...
|^ | 二進法 | 二進法 | 二進法 | 二進...
|* |bg#EEF:0| 00| 000| ...
|*A |bg#EEF:1| 01| 001| ...
|*AA |t.: -|bg#EEF:10| 010| ...
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|*………………………| -| -| -| -|………|
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* 自然数の大小関係 [#j2d0d00c]
(後回し)
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* 自然数の加法と二進法に基づく筆算 [#w2f35230]
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** 自然数の加法 [#c02c48db]
;,2つのAの状態Xと状態Y、そして、XとYを合わせた状態SのAの...
;,状態X、Y、SにおけるAの数をそれぞれx、y、sと置こう。
;,以下では、とりあえずxとyを少しずつ増やしながら、状態の...
////////////////////////////////
*** xとyが0の場合 [#qaa48f3f]
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*** xとyの片方が0、もう片方が1の場合 [#pa732f3a]
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;,片方にAが無く、もう片方にAが1個だけある場合、合わせると...
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*** xとyが両方とも1の場合 [#f65d0063]
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;,1個のAともう1個のAを合わせることは、1個のAにもう1個のA...
;,その結果、10個のAがある状態になる。
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*** まとめ [#s2438509]
;,このように、状態の図を書けば、どんなxとyについてもsを調...
;,例えば、xとyを3桁まで増やした結果は、表3のようになる:
|*l:表3: 2つの状態を合わせた状態|<|<|<|<|<|h
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|*11|*11|AAA |AAA |AAAAAA|110 |tx:
;,xとy、zだけを取りだして整理すると、表4が得られる:
|*l:表4: 2つの状態を合わせた状態の数量関係|<|<|<|<|<|
|c: |c: |r:l=:|r: |r: |r: |c
|* |*y |* 0|* 1|* 10|* 11|
|*x |*z |* |< |< |< |
|r: |r: |r:l=:|r: |r: |r: |c
|* 0|* | 0| 1| 10| 11|t=:
|* 1|^ | 1| 10| 11| 100|
|* 10|^ | 10| 11| 100| 101|
|* 11|^ | 11| 100| 101| 110|
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ページ名:
xu基底系.png
6323件
[
詳細
]
xu座標系.png
6333件
[
詳細
]
x座標系.png
6438件
[
詳細
]
2ApplePlate.png
336件
[
詳細
]
Apple.png
617件
[
詳細
]
符号ix(ixj).png
365件
[
詳細
]
符号Ax(BxC).png
377件
[
詳細
]
符号判定(AxB)xC.png
687件
[
詳細
]
符号判定Ax(BxC).png
755件
[
詳細
]
PerpPerp.png
763件
[
詳細
]
BxC.png
849件
[
詳細
]
AxBxC+-.png
419件
[
詳細
]
Ax(BxC).png
1009件
[
詳細
]
Ax(BxC)+-.png
402件
[
詳細
]
原子半径の温度変化.jpg
1129件
[
詳細
]
密度の温度変化.jpg
912件
[
詳細
]
添字付き関数名.png
472件
[
詳細
]
添字式.png
447件
[
詳細
]
根号式.png
425件
[
詳細
]
分数式.png
426件
[
詳細
]
現在中国語乗算因数の命名.jpg
482件
[
詳細
]
現在中国語乗算演算子読み.jpg
498件
[
詳細
]
ベクトル除算.png
617件
[
詳細
]
基底除算.png
626件
[
詳細
]
立方体.jpg
153件
[
詳細
]
中2文教P12図.PNG
555件
[
詳細
]
ffd_p_q_2d.gif
304件
[
詳細
]
ffd_p_q.gif
305件
[
詳細
]
Ouv.png
416件
[
詳細
]
Ors.png
443件
[
詳細
]
CosSinMap.png
671件
[
詳細
]
1cosIsinMap.png
581件
[
詳細
]
正弦減法.png
516件
[
詳細
]
Sp1.png
385件
[
詳細
]
Sp0.png
352件
[
詳細
]
Sp4.png
345件
[
詳細
]
Sp3.png
360件
[
詳細
]
Sp2.png
346件
[
詳細
]
yeqaplx3.png
501件
[
詳細
]
dyfrdceqtan.png
503件
[
詳細
]
Fx微分.png
641件
[
詳細
]
Fx差分.png
691件
[
詳細
]
Fx差.png
661件
[
詳細
]
F微分.png
689件
[
詳細
]
F差分.png
617件
[
詳細
]
F差.png
595件
[
詳細
]
x微分.png
644件
[
詳細
]
x差分.png
666件
[
詳細
]
x差.png
639件
[
詳細
]
F対xの微分商.png
2656件
[
詳細
]
F対xの差分商.png
2679件
[
詳細
]
F対xの差商.png
365件
[
詳細
]
Fの微分.png
376件
[
詳細
]
Fの差.png
335件
[
詳細
]
Fの差分.png
336件
[
詳細
]
xの微分.png
2627件
[
詳細
]
xの差分.png
2550件
[
詳細
]
xの差.png
2599件
[
詳細
]
f=0y+9t.png
456件
[
詳細
]
f=1y+6t.png
637件
[
詳細
]
f=2y+3t.png
497件
[
詳細
]
微小座標系.png
6002件
[
詳細
]
偏微分の多義性.png
5795件
[
詳細
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HennBibunnAll.png
5775件
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詳細
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