反変ベクトルと共変ベクトル
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* 反変ベクトルと共変ベクトル [#cdf614d2]
;,一般に、双対関係にある基底$$ \:e_i $$と$$ \:e^i $$に対...
;.基準となる$$ \:e_i $$を共変基底、$$ \:e^i $$を反変基底...
;,他方、ベクトル$$ \:A $$を$$ \:A $ = $ \sum $ A^i $ \:e_...
;.$$ A^i $$を反変成分、$$ A_i $$を共変成分と呼ぶ。
;,ベクトルやスカラが持つ座標不変性のため、
;,ベクトルの成分と基底は反変と共変が入れ混じる形で、混乱...
;,また、上付きと下付きによる表現は反変と共変を表すのに強...
;,計量的イメージと離れるため更に分かり難い面がある。
;,これに対し、凌宮数学では双対基底を正基底と逆基底に分け...
;,その結果、反変と共変に関する形式的な整理を与える。
* 逆基底表記 [#qf7b42ba]
** 基底 [#xe85f967]
;,凌宮数学では共変基底を正基底$$ \:e_i $$とし、
;,反変基底を逆基底として正基底の逆数の形$$ \ffd1{\:e_i} $...
;,反変と共変で良く扱われる定数倍の座標変換に関して、
;,正基底$$ \:e_i $$が$$ k $$倍の$$ \:u_i $ = $ k $ \:e_i ...
;,逆基底は$$ \ffd1{\:u_i} $ = $ \ffd1{k\:e_i} $ = $ \ffd1...
;,双対基底間の内積は、$$ k $$倍と$$ \ffd1k $$倍が打ち消し...
#ceq(e)
$$ \:u_i $ \sx $ \:u^i $ = $ \:u_i $ \sx $ \ffd1{\:u_...
#ceq(end)
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** 成分 [#ra3535aa]
;,一般に、任意のベクトル$$ \:A $$に対し、その$$ \:e_i $$...
#ceq(e)
$$ A^i $ = $ \:A $ \sx $ \ffd1{\:e_i} $ =: $ \ffd{\:A...
#ceq(e)
$$ \:A $ = $ \sum $ A^i $ \:e_i $ = $ \sum $ \ffd{\:A...
#ceq(end)
;,正基底$$ \:e_i $$が$$ k $$倍に変わる場合、
;,正基底の成分は逆基底の付き方から$$ \ffd1k $$倍に変わる...
#ceq(e)
$$ \ffd{\:A}{\:u_i} $ = $ \:A $ \sx $ \ffd1{k\:e_i} $...
#ceq(end)
;,他方、逆基底の成分は正基底で割算するため、$$ \ffd1{1/k}...
#ceq(e)
$$ \ffd{\:A}{\:u_i^{-1}} $ = $ \:A $ \sx $ \:u_i $ = ...
#ceq(end)
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** 内積 [#h1022f7a]
;,一般に、任意のベクトル$$ \:A $$と$$ \:B $$は一対の反変...
#ceq(e)
$$ \:A $ \sx $ \:B $$
#ceq(e)
$$ = $ \Big( $ \sum A^i $ \:e_i $ \Big) $ \sx $ \Big(...
;, $$ = $ \Big( $ \sum A^i $ \:e_i $ \Big) $ \sx $ \Big(...
;, $$ = $ \Big( $ \sum A_i $ \:e^i $ \Big) $ \sx $ \Big(...
;, $$ = $ \Big( $ \sum A_i $ \:e^i $ \Big) $ \sx $ \Big(...
#ceq(a)
&br;各ベクトルの表記は共変でも反変でも良く、
&br;基底が$$ 0 $$または$$ 1 $$に消える保証があるのは
&br;$$ \:e_i $$と$$ \:e^i $$が組み合わさるとき限り。&...
#ceq(e)
$$ = $ \sum $ \ffd{\:A}{\:e_i} $ \ffd{\:B}{\:e^i} $$
;, $$ = $ \sum $ \ffd{\:A}{\:e^i} $ \ffd{\:B}{\:e_i} $$
#ceq(end)
;,正基底を$$ k $$倍したところで、逆基底が$$ \frac1k $$倍...
;,歴史的に、ベクトルを成分のみで表す習慣が根強い。
;,そのため、反変成分で表記されるベクトルを反変ベクトル、
;,他方では、共変成分で表記されるベクトルを共変ベクトルと...
;,同一のベクトルでも表記次第で反変ベクトルにも共変ベクト...
;,反変ベクトルと共変ベクトルの区別はベクトル自体の性質''...
;,しかし、名前からベクトルの種類と勘違いされ易く、学者((...
;,特に内積においては、反変成分と共変成分の組合せで基底を...
;,片方のベクトルを反変成分で、他方を共変成分で表す表記法...
;,その結果、物理学ではベクトル量毎に表記法が決められる場...
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** 勾配 [#abf08021]
;,習慣的に、ベクトル幾何では長さの基底を正基底とする。
;,位置ベクトルや微小変位ベクトルでは共変基底が多用される。
;,例:
#ceq(e)
$$ \:r $ = $ \sum $$ $$ r^i $ \:e_i $ = $$ $$ x $ \...
#ceq(e)
$$ d\:r $ = $ \sum $ dr^i $ \:e_i $ = $ dx $ \:e_x $ ...
#ceq(end)
;,関連して、任意のスカラー場((位置ベクトルを独立変数とす...
;,$$ f $$の勾配ベクトル$$ \:g $ = $ \:\nabla f $$と微小変...
;,そのため、$$ d\:r $$を共変基底と反変成分で表す場合、勾...
;,その習慣のため、勾配が共変ベクトルの代表例に選ばれ易い。
#ceq(e)
$$ df $ = $ \:\nabla f $ = $ \ppd{f}{x} $ dx $ + $ \ppd...
#ceq(e)
$$ = $ \sum $ (\:\nabla f)_i $ dr^i $ = $ \Big( $ \s...
#ceq(e)
$$ = $ \sum $$ $$ g_i $$ $$ dr^i $ = $ \Big( $ \su...
#ceq(end)
;,逆基底表記を使うと次のように書ける:
#ceq(e)
$$ df $ = $ \ddd{f}{\:r} $ = $ \ddd{f}{x} $ dx $ + $ \d...
#ceq(e)
$$ = $ \sum $ \ddd{f}{r^i} $ dr^i $ = $ \Big( $ \sum...
#ceq(end)
;,簡単な例として、1次元における関数$$ f $ = $ a $ x $$の...
;,$$ \ppd{f}{x} $ = $ a $$が勾配の共変成分に該当するのが...
#ceq(e)
$$ df $ = $ \:\nabla f $ d\:r $ = $ \ppd{f}{x} $ dx $ =...
#ceq(end)
;,正基底を$$ k $$倍にして、$$ \:e_u $ = $ k $ \:e_x $$な...
;,ベクトルの座標不変性で$$ du $ \:e_u $ = $ dx $ \:e_x $$...
;,$$ u $ = $ \ffd1k $ x $$を$$ f $$に代入すると、$$ f $ =...
#ceq(e)
$$ df $ = $ \:\nabla f $ d\:r $ = $ \ppd{f}{u} $ du $ =...
#ceq(e)
$$ = $ ( $ ka $ \:e^u $ ) $ \sx $ ( $ du $ \:e_u $ ) $$
#ceq(e)
$$ = $ ( $ ka $ \ffd{e^x}{k} $ ) $ \sx $ ( $ \ffd{dx}{k...
#ceq(e)
$$ = $ ( $ ka $ \ffd{1}{ke_x} $ ) $ \sx $ ( $ \ffd{dx}{...
#ceq(end)
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* [#z14d045b]
終了行:
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* 反変ベクトルと共変ベクトル [#cdf614d2]
;,一般に、双対関係にある基底$$ \:e_i $$と$$ \:e^i $$に対...
;.基準となる$$ \:e_i $$を共変基底、$$ \:e^i $$を反変基底...
;,他方、ベクトル$$ \:A $$を$$ \:A $ = $ \sum $ A^i $ \:e_...
;.$$ A^i $$を反変成分、$$ A_i $$を共変成分と呼ぶ。
;,ベクトルやスカラが持つ座標不変性のため、
;,ベクトルの成分と基底は反変と共変が入れ混じる形で、混乱...
;,また、上付きと下付きによる表現は反変と共変を表すのに強...
;,計量的イメージと離れるため更に分かり難い面がある。
;,これに対し、凌宮数学では双対基底を正基底と逆基底に分け...
;,その結果、反変と共変に関する形式的な整理を与える。
* 逆基底表記 [#qf7b42ba]
** 基底 [#xe85f967]
;,凌宮数学では共変基底を正基底$$ \:e_i $$とし、
;,反変基底を逆基底として正基底の逆数の形$$ \ffd1{\:e_i} $...
;,反変と共変で良く扱われる定数倍の座標変換に関して、
;,正基底$$ \:e_i $$が$$ k $$倍の$$ \:u_i $ = $ k $ \:e_i ...
;,逆基底は$$ \ffd1{\:u_i} $ = $ \ffd1{k\:e_i} $ = $ \ffd1...
;,双対基底間の内積は、$$ k $$倍と$$ \ffd1k $$倍が打ち消し...
#ceq(e)
$$ \:u_i $ \sx $ \:u^i $ = $ \:u_i $ \sx $ \ffd1{\:u_...
#ceq(end)
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** 成分 [#ra3535aa]
;,一般に、任意のベクトル$$ \:A $$に対し、その$$ \:e_i $$...
#ceq(e)
$$ A^i $ = $ \:A $ \sx $ \ffd1{\:e_i} $ =: $ \ffd{\:A...
#ceq(e)
$$ \:A $ = $ \sum $ A^i $ \:e_i $ = $ \sum $ \ffd{\:A...
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;,正基底$$ \:e_i $$が$$ k $$倍に変わる場合、
;,正基底の成分は逆基底の付き方から$$ \ffd1k $$倍に変わる...
#ceq(e)
$$ \ffd{\:A}{\:u_i} $ = $ \:A $ \sx $ \ffd1{k\:e_i} $...
#ceq(end)
;,他方、逆基底の成分は正基底で割算するため、$$ \ffd1{1/k}...
#ceq(e)
$$ \ffd{\:A}{\:u_i^{-1}} $ = $ \:A $ \sx $ \:u_i $ = ...
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** 内積 [#h1022f7a]
;,一般に、任意のベクトル$$ \:A $$と$$ \:B $$は一対の反変...
#ceq(e)
$$ \:A $ \sx $ \:B $$
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$$ = $ \Big( $ \sum A^i $ \:e_i $ \Big) $ \sx $ \Big(...
;, $$ = $ \Big( $ \sum A^i $ \:e_i $ \Big) $ \sx $ \Big(...
;, $$ = $ \Big( $ \sum A_i $ \:e^i $ \Big) $ \sx $ \Big(...
;, $$ = $ \Big( $ \sum A_i $ \:e^i $ \Big) $ \sx $ \Big(...
#ceq(a)
&br;各ベクトルの表記は共変でも反変でも良く、
&br;基底が$$ 0 $$または$$ 1 $$に消える保証があるのは
&br;$$ \:e_i $$と$$ \:e^i $$が組み合わさるとき限り。&...
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$$ = $ \sum $ \ffd{\:A}{\:e_i} $ \ffd{\:B}{\:e^i} $$
;, $$ = $ \sum $ \ffd{\:A}{\:e^i} $ \ffd{\:B}{\:e_i} $$
#ceq(end)
;,正基底を$$ k $$倍したところで、逆基底が$$ \frac1k $$倍...
;,歴史的に、ベクトルを成分のみで表す習慣が根強い。
;,そのため、反変成分で表記されるベクトルを反変ベクトル、
;,他方では、共変成分で表記されるベクトルを共変ベクトルと...
;,同一のベクトルでも表記次第で反変ベクトルにも共変ベクト...
;,反変ベクトルと共変ベクトルの区別はベクトル自体の性質''...
;,しかし、名前からベクトルの種類と勘違いされ易く、学者((...
;,特に内積においては、反変成分と共変成分の組合せで基底を...
;,片方のベクトルを反変成分で、他方を共変成分で表す表記法...
;,その結果、物理学ではベクトル量毎に表記法が決められる場...
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** 勾配 [#abf08021]
;,習慣的に、ベクトル幾何では長さの基底を正基底とする。
;,位置ベクトルや微小変位ベクトルでは共変基底が多用される。
;,例:
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$$ \:r $ = $ \sum $$ $$ r^i $ \:e_i $ = $$ $$ x $ \...
#ceq(e)
$$ d\:r $ = $ \sum $ dr^i $ \:e_i $ = $ dx $ \:e_x $ ...
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;,関連して、任意のスカラー場((位置ベクトルを独立変数とす...
;,$$ f $$の勾配ベクトル$$ \:g $ = $ \:\nabla f $$と微小変...
;,そのため、$$ d\:r $$を共変基底と反変成分で表す場合、勾...
;,その習慣のため、勾配が共変ベクトルの代表例に選ばれ易い。
#ceq(e)
$$ df $ = $ \:\nabla f $ = $ \ppd{f}{x} $ dx $ + $ \ppd...
#ceq(e)
$$ = $ \sum $ (\:\nabla f)_i $ dr^i $ = $ \Big( $ \s...
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$$ = $ \sum $$ $$ g_i $$ $$ dr^i $ = $ \Big( $ \su...
#ceq(end)
;,逆基底表記を使うと次のように書ける:
#ceq(e)
$$ df $ = $ \ddd{f}{\:r} $ = $ \ddd{f}{x} $ dx $ + $ \d...
#ceq(e)
$$ = $ \sum $ \ddd{f}{r^i} $ dr^i $ = $ \Big( $ \sum...
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;,簡単な例として、1次元における関数$$ f $ = $ a $ x $$の...
;,$$ \ppd{f}{x} $ = $ a $$が勾配の共変成分に該当するのが...
#ceq(e)
$$ df $ = $ \:\nabla f $ d\:r $ = $ \ppd{f}{x} $ dx $ =...
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;,正基底を$$ k $$倍にして、$$ \:e_u $ = $ k $ \:e_x $$な...
;,ベクトルの座標不変性で$$ du $ \:e_u $ = $ dx $ \:e_x $$...
;,$$ u $ = $ \ffd1k $ x $$を$$ f $$に代入すると、$$ f $ =...
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$$ df $ = $ \:\nabla f $ d\:r $ = $ \ppd{f}{u} $ du $ =...
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* [#z14d045b]
ページ名:
xu基底系.png
6324件
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xu座標系.png
6335件
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x座標系.png
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2ApplePlate.png
336件
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Apple.png
617件
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符号ix(ixj).png
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符号Ax(BxC).png
378件
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符号判定(AxB)xC.png
692件
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詳細
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符号判定Ax(BxC).png
758件
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PerpPerp.png
764件
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BxC.png
850件
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AxBxC+-.png
419件
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Ax(BxC).png
1011件
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Ax(BxC)+-.png
403件
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原子半径の温度変化.jpg
1129件
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密度の温度変化.jpg
914件
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添字付き関数名.png
472件
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添字式.png
448件
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根号式.png
426件
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分数式.png
427件
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
482件
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
500件
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ベクトル除算.png
619件
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基底除算.png
629件
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立方体.jpg
154件
[
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中2文教P12図.PNG
557件
[
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ffd_p_q_2d.gif
308件
[
詳細
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ffd_p_q.gif
308件
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Ouv.png
418件
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Ors.png
446件
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CosSinMap.png
671件
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1cosIsinMap.png
582件
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正弦減法.png
517件
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Sp1.png
387件
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Sp0.png
354件
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Sp4.png
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Sp3.png
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Sp2.png
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yeqaplx3.png
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dyfrdceqtan.png
505件
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Fx微分.png
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Fx差分.png
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Fx差.png
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F差.png
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x差分.png
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x差.png
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F対xの微分商.png
2659件
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F対xの差分商.png
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F対xの差商.png
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Fの微分.png
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Fの差分.png
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xの微分.png
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xの差分.png
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xの差.png
2600件
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f=0y+9t.png
458件
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f=1y+6t.png
638件
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f=2y+3t.png
498件
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微小座標系.png
6004件
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偏微分の多義性.png
5795件
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HennBibunnAll.png
5775件
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